85868 (589890), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рис. 1.6

Порівнюючи з умовою, одержуємо, що

.

Оскільки мова йде про відношення орієнтованих відрізків, то , що потрібно було довести довести. Отже, теорема Менелая повністю доведена.

Зауваження 1. При розв’язанні конкретних обчислювальних задач, якщо відомо, що точки і лежать на одній прямій, можна не турбуватися про запис відношень орієнтованих відрізків в формулі (1.1), а обмежитися відношеннями їх довжин.

Зауваження 2. Якщо замінити в (1.1) орієнтовані відношення відношеннями довжин, обернена теорема перестає бути вірною, тобто точки і , для яких виконується (1.1), не повинні лежати на одній прямій.

Наприклад, нехай точки взяті на сторонах трикутника так, що , і – середина сторони , тоді

,

але точки не лежать на одній прямій.

1.3 Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса

Нетривіальними прикладами використання теореми Менелая є доведення наступних теорем Дезарга, Паппа, Паскаля.

Теорема Дезарга є однією з перших та важливіших теорем проективної геометрії. Вона була доведена в першій половині XVII століття французським математиком та інженером Жераром Дезаргом (1591-1661).

Теорема Дезарга. Трикутники та розташовані на площині так, що прямі мають спільну точку О (див. рис. 1.7). Нехай А – точка перетину пряміх та , В – точка перетину прямих та , С – точка перетинуц прямих та . Тоді точки лежать на одній прямій.

Рис. 1.7

Доведення.

З теореми Менелая для трикутника та прямої (точка лежить на , – на , – на ) випливає, що

Аналогічно, з трикутників та , які перетинаються прямими та відповідно, маємо

,

Перемножуючи виписані рівності, після скорочення одержуємо

Але точки лежать на сторонах або продовженнях сторін трикутника і згідно з теоремою Менелая лежать на одній прямій.

Теорема доведена.

Наступна теорема була доведена в другій половині ІІІ століття древнегрецьким математиком Паппом Александрійським.

Теорема Паппа. На одній з прямих, що перетинаються взяті точки , на іншій – точки (див. рис. 8а). Прямі , , перетинаються в точках відповідно. Тоді точки лежать на одній прямій.

Доведення.

Розглянемо трикутник , де – точка перетину прямих , – точка перетину прямих , – точка перетину прямих (див. рис. 8б). Точки лежать на прямих відповідно.

Рис. 1.8

Запишемо теорему Менелая для трикутника та п’яти прямих , які перетинають сторони (або їх продовження) цього трикутника. Маємо

та пряма : ,

та пряма : ,

та пряма : ,

та пряма : ,

та пряма : .

Перемножуючи одержані рівності, знаходимо

,

отже, точки лежать на одній прямій. Теорема доведена.

Теорема Паскаля. Нехай шестикутник вписано в коло. Тоді точки перетину його протилежних сторін лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай – точки перетину прямих і , і , і відповідно, а – точки перетину прямих і , і , і відповідно (див. рис. 1.9). Необхідно довести, що лежать на одній прямій.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

.

Рис. 1.9

Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

.

Перемножуючи ці рівності, маємо

Використаємо властивості відрізків січних:

, , .

Звідси маємо

,

а оскільки знак кожного з шести співмножників від’ємний, то

,

тому

,

отже точки лежать на одній прямій.

Теорема доведена.

Теорема Гаусса. Середина відрізка, що з’єднує точки перетину продовжень протилежних сторін чотирикутника, лежить на прямій, що проходить через середини діагоналей чотирикутника.

Рис. 1.10

Доведення

Нехай протилежні сторони чотирикутника перетинаються в точках та (див. рис. 1.10). необхідно довести, що середина відрізка , середини та діагоналей і чотирикутника лежать на одній прямій.

Через точки проведемо прямі, паралельні сторонам трикутника : , , .

Згідно з теоремою Фалеса ці прямі перетинають сторони трикутника в їх серединах . Таким чином, точки лежать на продовженнях сторін трикутника , сторони якого є середніми лініями трикутника . Для того, щоб довести, що точки лежать на одній прямій, достатньо довести співвідношення

.

В силу властивості середньої лінії трикутника

, .

Отже, . Аналогічно знаходимо , . Тоді добуток дорівнює . А цей добуток дорівнює –1 згідно з теоремою Менелая, яка застосовується до та прямої . Теорема доведена.

1.4 Застосування теореми Менелая для розв’язання задач

Задача 1.1 У трикутнику медіана ділить відрізок (точка належить стороні ) у відношенні 5:3 , починаючи від вершини . У якому відношенні відрізок ділить медіану

Розв’язок.

1-й спосіб

Н ехай

Введемо вектори .

Розкладемо вектор за неколінеарними векторами і :

Оскільки , то

,

.

Виходячи з єдиності розкладу вектора за неколінеарними векторами і , маємо:

,

Відповідь 3 : 1.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої

Виходячи з умови, маємо :

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої

Тоді

Відповідь: 3 : 1.

Задача 1.2 У трикутнику відрізок ( належить стороні ) ділить медіану у відношенні 3:4, починаючи від вершини . У якому відношенні точка ділить сторону

Розв’язок.

1 -й спосіб

Проведемо

За умовою За теоремою Фалеса . Нехай , тоді

Відповідь: 3:8.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

Тоді .

Відповідь: 3 : 8 .

Задача 1.3 Сторони трикутника поділено точками і так, що

.

Знайти відношення площі трикутника, обмеженого прямими і , до площі трикутника .

Розв’язок.

1-й спосіб

Н ехай

.

Використовуємо теорему синусів для трикутника :

(1.3.1)

З трикутника :

.

, тому

(1.3.2)

Поділимо почленно рівність (1.3.1) на рівність (1.3.2):

З (1.3.3)

З : (1.3.4)

Поділимо почленно рівність (1.3.3) на рівність (1.3.4):

,

(*)

Нехай .

З (1.3.5)

З : (1.3.6)

Поділимо почленно рівність (1.3.5) на рівність (1.3.6)

З (1.3.7)

З : (1.3.8)

Поділимо почленно рівність (1.3.7) на рівність (1.3.8):

,

,

Оскільки , то

(**)

Використовуючи співвідношення (*) і (**), запишемо:

.

Аналогічно одержимо

.

Використовуючи властивості площ, маємо:

Відповідь: 3:7.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

(1.3.9)

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

(1.3.10)

Використовуючи (1.3.9) і (1.3.10) дістанемо:

Аналогічно

А далі розв’язуємо, як в 1-му способі.

Відповідь: 3 : 7.

Задача 1.4 Висота рівнобедреного трикутника з основою поділена на три рівні частини. Через точку та точки поділу проведено прямі, які ділять бічну сторону, що дорівнює см, на три відрізки. Знайти ці відрізки.

Розв’язок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

,

,

Звідси см , см.

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

,

Звідси см, (см)

Відповідь: 12 см, 18 см, 30 см.

Задача 1.5 Через середину сторони паралелограма , площа якого дорівнює 1, і вершину проведено пряму, яка перетинає діагональ у точці . Знайти площу чотирикутника .

Розв’язок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

,

,

Оскільки площі трикутників з рівними висотами відносяться як основи, то

Відповідь:

Задача 1.6. У трикутнику на стороні взято точку , а на стороні точки і так , що і . У якому відношенні пряма ділить відрізок .

Розв’язок.

За умовою .

.

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

,

,

.

Відповідь: 11 : 3.

Задача 1.7 На сторонах і трикутника дано відповідно точки і такі , що .У якому відношенні точка перетину відрізків і ділить кожен з цих відрізків ?

Розв’язок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

.

,

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

,

,

Відповідь: , .

Задача 1.8 Ортоцентр трикутника (ортоцентр – точка перетину висот) ділить висоту навпіл. Довести , що , де – кути трикутника.

Доведення.

Н ехай

- даний трикутник, - його ортоцентр, .

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

Виходячи з умови .

З .

З .

З .

Підставимо знайдені залежності в теорему Менелая:

,

,

,

що і треба було довести.

Задача 1.9 З вершини прямого кута трикутника проведено висоту , а в трикутнику проведено бісектрису . Пряма, що проходить через точку паралельно , перетинає у точці . Довести, що пряма ділить відрізок навпіл.

Р озв’язок.

Нехай , тоді , .

( - бісектриса).

.

Тому - рівнобедрений, .

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

Трикутники і подібні,

.

Тоді

(1.9.1)

З подібності трикутників і запишемо:

(1.9.2)

З трикутника за властивістю бісектриси:

(1.9.3)

Характеристики

Список файлов ВКР