85868 (589890), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Теорема Чеви для трикутника. Нехай задан трикутник і три прямі, що проходять через його вершини. Пряма, що проходить через вершину , перетинає пряму в точці . Пряма, що проходить через вершину , перетинає пряму в точці . Пряма, що проходить через точку перетинає в точці . Ці прямі проходять через одну точку або паралельні тоді і тільки тоді , коли

(3.1)

Зауваження. Добуток відношень у теоремі Чеви іноді записують так:

(3.2)

Чевіана – це відрізок, який з’єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні.

Доведення.

Необхідність. Нехай через деяку точку проходять три прямі як показано на рисунку 3.1. Застосуємо теорему Менелая до трикутника , який перетинає пряма

.

Рис. 3.1 До формуліровки теореми Чеви

Аналогічно з трикутника згідно з теоремою Менелая маємо

.

Розділимо перше співвідношення на друге

Залишилося помітити, що

і

Необхідність доведена для випадку прямих, що перетинаються.

Якщо ж прямі і паралельні (див. рис. 3.2), то згідно з теоремою Фалеса маємо

,

.

Перемножуючи пропорції, одержимо

тобто

.

Необхідність доведена в повному обсязі.

Рис. 3.2 До доведення теореми Чеви

Достатність. Нехай для точок і на прямих і виконується співвідношення (3.1), а прямі і перетинаються в точці . Пряма перетинає прямую в деякій точці . По вже доведеному

.

Звідси й зі співвідношення (3.1) випливає , що означає збіг точок і .

Якщо ж прямі і паралельні, то з (3.1) випливає, що і пряма буде їм паралельна. Теорема доведена.

Наслідки з теореми Чеви для трикутника.

В одній точці перетинаються

1. медіани трикутника;

2. висоти трикутника;

3. бісектриси трикутника;

4. відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику вписаного кола (точка Жергонна);

5. відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику відповідних вневписаних кіл (точка Нагеля);

(Вневписане коло трикутника – це коло, що дотикається однієї сторони трикутника та продовженн двох інших його сторін. Для кожного трикутника існує точно три вневписаних кола. Центром вневписаного кола, яке дотикається сторони АВ , є точка перетину бісектрис зовнішніх кутів А та В.)

1. відрізки, що з’єднують вершини трикутника з вершинами правильних трикутників, побудованих на його протилежних сторонах у зовнішню сторону (точка Торричеллі).

Доведення.

1) Оскільки , , , то , отже медіани трикутника перетинаються в одній точці.

2) Розглянемо випадок, коли трикутник гострокутний.

Маємо , , , , , .

Звідси випливає

Якщо трикутник тупокутний, то дві висоти цього трикутника не є чевіанами. У випадку, коли точно один з відрізків є чевіаною, а інші з’єднують вершини з точками продовжень протилежних сторін, при цьому ці відрізки не паралельні, твердження теореми Чеви також виконується. Залишається повторити проведені вище обчислення для тупокутного трикутника.

3) З властивості бісектрис випливають наступні рівності:

, , .

Перемножуючи відповідно ліві та праві частини цих рівностей, одержуємо умову теореми Чеви.

4) З властивостей дотичних, проведених з однієї точки до кола маємо:

, , .

Звідси випливає рівність з теореми Чеви: .

5)

, де - півпериметр трикутника ,

,

Отже, .

Це і означає, що прямі перетинаються в одній точці.

6) Нехай – сторони трикутника . Нехай – вершини правильних трикутників, побудованих на сторонах відповідно, а – точки перетину відрізків з відповідними сторонами або їх продовженнями. Зазначимо, що

,

при цьому знак “мінус” береться в тому випадку, коли точка лежить зовні відрізка . Аналогічно розписуються відношення для точок та . Після перемноження маємо . Наслідки доведено.

Іноді теорему Чеви зручно використовувати, вводячи замість відношень відрізків відношення синусів деяких кутів.

Теорема Чеви в формі синусів. Нехай на сторонах і трикутника взяті точки , . Прямі і проходять через одну точку або паралельні тоді і тільки тоді, коли

. (3.3)

Доведення.

Ми повинні переписати “в синусах” теорему Чеви. Запишемо її у формі (3.2):

.

Доведемо цю теорему для випадку, коли точки і лежать на сторонах трикутника. Випадки іншого розташування точок вимагають несуттєвих змін міркувань.

Нехай .

Інші позначення зрозумілі з рисунка 3.3.

Рис. 3.3 До доведення теорими Чеви у формі синусів

Застосовуючи теорему синусів до трикутників і , маємо

Або

Аналогічно, застосовуючи теорему синусів до трикутників і , маємо

,

і до трикутників і :

.

Перемножуючи записані співвідношення, знаходимо

Отже, умова нашої теореми рівносильна умові звичайної теореми Чеви.

Теорема доведена.

При доведенні теореми ми не застосовували відношень орієнтованих відрізків. В загальному випадку необхідно розглянути не тільки орієнтовані відрізки, але й орієнтовані кути, припускаючи, наприклад, що і т.п.

Далі наведемо мало відому стереометричну теорему Чеви для довільного тетраедра.

Теорема Чеви для тетраедра. Нехай – точка всередині тетраедра , – точки перетину площин з ребрами відповідно (див. рис. 3.4). Тоді

(3.4)

І навпаки, якщо для точок , що лежать на відповідних ребрах, виконується співвідношення (3.4), то площини проходять через одну точку.

Рис. 3.4 До формуліровки теореми Чеви для тетраедра

Доведення необхідності легко одержати, якщо помітити, що точки (див. рис. 3.4) лежать в одній площині (це площина, що проходить через прямі та , які перетинаються в точці ), і застосувати теорему Менелая.

Обернена теорема доводиться так само, як і обернена теорема Менелая в просторі: необхідно провести площину через точки і довести, що ця площина перетне ребро в точці .

3.2 Застосування теорем Чеви для розв’язання задач

Задача 3.1. Задано трикутник АВС. Як слід побудувати точку О всередині трикутника, щоб площі трикутників АОС, ВОС та АОВ відносилися як 7 : 11 : 13.

Розв’язок.

1 спосіб.

Розглянемо трикутник АВС й побудуємо точку K, яка ділить сторону AB у відношенні 7 : 11, рахууючи від вершини A, та точку L, яка ділить сторону CA у відношенні 11 : 13, рахууючи від вершини C.

Нехай O – точка перетину відрізків CK та BL. Покажемо, що O – шукана точка. Зазначимо, що у трикутників ACK та BCK спільна висота, яка опущена з вершини С, тому відношення їх площин дорівнює відношенню основ

S_ACK : S_BCK = AK : BK.

Аналогічно, S_AOK : S_BOK = AK : BK.

Застосовуючи властивість пропорції ( ), одержуємо

S_AOС : S_BOС = AK : BK = 7 : 11.

Аналогічно, розглядаючи дві пари трикутників з основами AL та СL, доводимо, що

S_BOС : S_AOВ = CL : AL = 11 : 13.

Отже, S_AOС : S_BOС : S_AOВ = 7 : 11 : 13, що і необхідно було довести.

2 спосіб.

З теореми Чеви випливає, що пряма АO розділить сторону ВС у відношенні 13 : 7, рахууючи від вершини В. Якщо застосовувати теорему Чеви в обернену сторону, то до розв’язку задачі можна було підійти інакше.

Нехай задано відрізок PQ, точка E, яка ділить його у відношенні p : q, де p та q – задані числа, й точка F, яка не належить прямій PQ. Аналогічно з наведеним розв’язком можна довести, що геометричним місцем точок М площини, для яких S_PFM : S_QFM = p : q є пряма EF (за виключенням точок E та F).

Отже, для того, щоб побудувати шукану точку О можна розділити сторони АВ, ВС та СА трикутника АВС відповідно точками K, N та L так, щоб

AK : BK = 7 : 11; BN : CN = 13 : 7; CL : AL = 11 : 13.

Тоді, згідно з теоремою Чеви , отже, відрізки AN, BL та CK перетинаються в одній точці, яка й буде шуканою.

Задача 3.2. В трикутник вписано півколо так, що його діаметр лежить на стороні , а дуга дотикається сторін та відповідно в точках та . Довести, що прямі та перетинаються на висоті трикутника.

Доведення.

З умови задачі випливає, що точки та лежать на сторонах трикутника . Отже, достатньо довести, що

Центр півкола з'єднаємо з точками дотику та (див. рисунок). Позначимо через радіус кола, з прямокутних трикутників та знаходимо

.

З прямокутних трикутників та маємо

.

Зазначимо, що відрізки та дотичних до кола рівні, отже отримаємо

.

Отже, згідно з теоремою Чеви прямі та перетинаються в одній точці.

Задача 3.3. Через вершини трикутника і точку , яка лежить всередині трикутника, проведені прямі, що перетинають сторони відповідно в точках , при цьому .

Довести, що , де – площа трикутника .

Як належить обрати точку , щоб площа трикутника була найбільшою?

Розв’язок.

Позначимо площі трикутників , через .

Так як площі двох трикутників, які мають спільний кут, відносяться як добуток сторін, що утворюють цей кут, то

.

Аналогічно , .

Далі знаходимо

.

Характеристики

Список файлов ВКР