Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Величины Ряс. Ет. снстемы координат для ояясания носттаательно.арашательггого движения небес. ного тела. ОТЧŠ— абсолютаая система координат; Освсдсьс — барицентряееская снстема ыьордиаат с осями, нараллельными осям системы ОЕчь1 О я.ч.е — собственная дли 1111 тела МТ система координат. 2 2.Щ ГЛ, 2. УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО.ЕРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 333 р» а(, т, связаны с углами Эйлера кикематическими уравне- ниями Эйлера р! = ф( 5!и ф, 5!пд! + 6! соз ф» ч! = Ц)(сов ф( 5!пб! — 0( 51пф(„ (4.2.02) Г! = ф(соз0! + ф! (1=0, 1, ..., л — 1).
2 2.02. Силовая функция системы тел Обозначим через с!(! силовую функцию взаимного притяжения (или взаимный потенциал) тел М! и М!. Из теории потенциала известно [10), что (4,2.03) Здесь Л(1 — взаимное расстояние между частицами тел М( и Ми отличное от нуля, если тела М! и М; не имеют общей части. Силовая функция У(! является функцией 12 переменных: $„))„ь» $! 2)! ~! ф( ф( б» ф! ф! Вь Для фактического выражения В(1 в виде явной функции этих 12 переменных приходится пользоваться разложением в ряд (4.2.04) Коэффициенты разложения У!! суть целые многочлены отнои) сительно разностей координат центров масс 6! и 6! с коэффициентами, зависящими от углов Эйлера.
В частности, 1)(2) = Л) Л), 1)(!) = О, и ( !' и с)(12!) = — В2,. ( л(! (А,. + В + с — зх(,.' ") + + л) (А! + В, + С( — ЗХ(!' П)1 (4.2.05) (л)( — масса тела М» т! — масса тела М)), если тела М» и М! обладают тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, а оси симметрии, являющиеся одновременно главными центральными осями инерцни, приняты за оси собственных систем коордянат.
В формуле (4.2.05) А„ В„ С, (5 = 1,!) Ч. (Ч. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ Она зависит от би переменных: Ь, ))(, ьь ф(, (р(, д( (1= О, 1, ..., и — 1). й 2.03. Разложение силовой функции двух тел Г, Н. Дубошиным получена (1) явная форма разложения силовой функции двух тел М) и Ме с массами т) и п)ь Силовая функция (4.2.03) для случая двух тел может быть написана В ВИДЕ Й» Й~1 (4.2.07) (м,) (и,) где Л вЂ” взаимное расстояние между частицами тел М( и Мь Имеет место следующее разложение: Е=в (4.2.08) (7у = ~ 6~" л "' Х (йэ — В))' (т), — )))) '(~, — ~)) *, (4 2 09) 61"'*"= Х А',""*'е" " **'Хз'). "'*', (4.2.10) л1+Ь+лл=э Уа;л " *" = ~ ~ (х) — х,')" (р) — у',)'*(г) — ф* йт) (т,.
(4.2.11) (ми) (мв Функция 6е является гармоническим многочленом относительно разностей координат. В формулах (4.2.08) — (4.2.11) использованы следующие обозначения. 1) 1(1 — расстояние между центрами масс тел М) и Мь точками 6) и 6Я с прямоугольными координатами $), ))„Ь( и $ь т)ь ~е соответственно в неподвижной прямоугольной системе координат Ое))ь. 2) А~»' М' "" " '*' *' — численные коэффициенты, зависящие в конечном счете от коэффициентов полиномов Лежандра и коэффициентов биномиальных выражений, главные, центральные моменты инерции тел, а 71'н — момент инерции тела М, относительно прямой, проходящей через центры масс 6, и 6;.
Силовая функция системы тел представляется формулой (1!] л-) л-( =тХ Х' „. (4.2.08) ( о ( о (Ф! 3) Переменные х',— х,', у',— у,', г,' — г,' выражаются через координаты элемента 212п! (х2,уь г!) (1= 1, 2) в собственной си-. стеме координат тела М; (1 = 1, 2) с началом в 0; (! = 1, 2) и через а!22! — косинусы углов, образуемых собственными осями тел с осями системы 0$21ь по формулам х! "2 Й!!х!+ О!2У!+ о!зг!) (О!!хз+ ~!гУ2+ О1згз) у', — у', = (а!2!!!х! + а!2!2!у! + а!мяг!) — (аз!в!хз+ а12>у + ао!г ) г', — г,' = (аз!!!!х! + а1!2!У! + аз!!ззг!) — (Оз!в!хз+ нз!22!У + а!2!г ). Ряд (4,2.08) сходится абсолютно н равномерно, если В ) В!'+ Вз, где Я! (1= 1, 2) — максимальное из расстояний от центра масс тела Мь -точки О, до его поверхности.
Вычисление величин (4.2.11) сводится к вычислению интегралов вида З!О!и' о! = ( хоуог»'Йи (м,) (4.2.12) представляющих постоянные параметры для тела Мь Если тело М; имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, пересекающиеся в центре масс 0ь то линии пересечения этих плоскостей суть его главные оси инерции и всякий интеграл (4.2.12) равен нулю, если хотя бы одно из чисел з!, зь зз является нечетным. Если оба тела обладают такой симметрией, то тогда Узз+! —— 0 и разложение (4.2.08) принимает вид з о узз+1 (4.2АЗ) где однородный многочлен Узз относительно $ь 212„Ь! степени 2Й содержит только четные степени этих переменных. Предположим, что собственные оси координат тела М, совпадают с главными осями инерции.
Тогда первые три коэффициента разложения (4.2.08) выражаются формулами Сз = пз!Втз О!=О, 02 = — ' (Аз + Вз+ Сз — ЗВ2) + — '(А! + В! + С! — ЗЗ!) ° где Аь В» С; (! = 1, 2) — главные, центральные моменты инерции тела Мз, У! — момент инерции тела М! (! = 1, 2) относительно прямой О!02! ,У = А аз!+ В 82+ С 22 (! = 1, 2), $2.02! Гл. 2.
уРАВнения поступАтельно-ВРАщАтельного дВижения 325 ч. )ч. теория возмрщанного движения )з 2.)и ззе а), б), у, — косинусы углов, образуемых прямой 6)бз с направлениями собственных осей тела: о — ан) й! 1! + он) ч! щ )- (!) 1! й! ! )! Я р! д ! ))3! )р „)о з! — 1! + ,)и) ))! — ч! 1 н) ь! — й! !'! )2 я зз я пзз =а)!) ~! ~! -)- о)!) и! ч! ! ))н) й! г! ~)з (1= 1, 2), Приближенное выражение для силовой функции двух тел еле. дующее: у 1сл)!з! ! ! А2+П!+С! — 35! ! р А!+В!+С! — Зд! 2Л! (4.2.14) Если А, = Вь то 1щ!!и2 и д + !)и! (Сз — Аз) зд! + !)и, (С, — А!) ! (4.2.15) й 2.04. Уравнения поступательно-вращательного движения системы тел в абсолютной прямоугольной системе координат Если направление осей собственной для тела М» системы координат 6)з',.))',ь! совпадает с главными центральными осями инерции этого тела, то полная система дифференциальных уравнений поступательно-вращательного движения системы абсолютно твердых тел Мо, Мь..., М, ! имеет вид [12) ди д$! дУ дч дУ дС! ' (4.2.!б) да, ГдУ В,— ' — (С,— А)г р =(в Ы! 1, д)р дг! дУ С! — г — (А! — В,)р)д)= д ~! ()=О, 1, ..., и — 1).
!)2! ! д)! д'и! 63! — ' !р)! ~~( И)! и)! А, — „— (В! — С,) )1)г! дУ ~ в)п )р — созб — ~ . '+ ' дф,~ мпд, ди + сов ф! ° —, ' де! ди~ ° .р, — сов б, — ~ —. ' д!р Г' !)з В дУ з)пф! дв. ' Система (4.2.16) имеет порядок 12п, так как каждое из уравнений второй группы также является дифференциальным уравнением второго порядка относительно углов Эйлера. Действительно, если воспользоваться кинематическими уравнениями Эйлера, уравнениям поступательно-вращательного движения системы в абсолютных осях можно придать вид !!!в! дУ лч! — = —, ВР дй !Рч дУ П!— !ГР дп ~РГ! дУ !и! ! И! =дс!' (1=0, 1, ° ° °, — =Чг !Р!р! и !Рф ! — =Ф с!Р !' (4.2.17) дс — =9! !ГР и — 1), где /1 1х дУ Чс! в)п 9! =Всф! — 6!!срс спад!+1 — — — 1в(п фр сов!р! ° — + ~А! В!) дд! Аз!и'ф, сов!в!к г дУ дУ х + сОБес 6! ~ — + — ) ~ — — сов тр! — ) + А В )1,дф дф;) +(фс сов йс+ ф!) ~( сА + ' ~ ) ф! в1пф! совф! в(пй! + ! + ( — '' совьф! — ! ' в!п ф!) 6,1, (4.2.18) 1 дУ Ф! = С д — 6М! совес 6! — Ч'! с(К 6! + С! д!р! А! — В; + (ф! 5!Пф! в1пй! + Вссов ф!) (ф! сов ф! в!и 6! 6! ьйп ф!)1 С! г сов!!р и!ос!р 1 дУ 6! = — басф! в(п Вс+ ~ — '+ — '! — + А; В; ) дд! + (ф! сов 6! + ф!) [( ' „' сов' ф! — ' ' в(п'ф!) ф! в(пй! + А, ! + ( А + В ) о! в!и фссовфс1.
Дифференциальные уравнения (4.2.! 6) или (4.2.17) имеют только десять известных первых интегралов, вытекающих из основных теорем механики. в кос! гл, к ьрлвывнр!я посттпхтвльно-врз!плтельного движения вор ч. 1у. теОРия ВОзмущеннОГО движения !Ф 2лз Интегральс движения центра масс системы: »11 вс ' аа (4.2.19) 1= — „'1+ — „'. $ = — 1+ —. а, Ьс сп »П т1 = — 1+ —, аг Ьс »П вс В формулах (4.2.19) $, т), ь — координаты центра масс системы материальных тел М0, Мс,..., М„с, пс — общая масса системы, а», ась аз, Ьс, ЬЗ, Ьз — произвольные постоянные. Интегралы площадей: л-1 ~ (сп, (Т),.~» — ~,т1») + Аср»а»1»1» + В»д»а»1»0» + Сст»а»1»ЗГ) 0-1 ~ (сп» (~Д» — Ц,) + А,р»аз»»1> + В»дсаг»»0» + С»т»аф л-1 ~, (сп» ($»11» — т1Д») + А,Р»а)сс + В»д»а»0»гс + Сст»а»м»г) =е„ (4.2.20) =е з~ где сс, см сз — произвольные постоянные, а(сс — направляющие косинусы собственных осей тела М», выражаемые через углы Эйлера по формулам (4.2.01).
Интеграл энергии: л-1 — (сп» (етс +»)с + ь»)+ А»рг»+ Вдг+ Стзс) — тт+ й (42.21) »-0 где Ь вЂ” произвольная постоянная. $2.05. Уравнения поступательно-вращательного движения системы тел в относительной прямоугольном системе координат х, = $» — ~0, у» = т1» — т11, г, = ~с — ~0 (4.2.22) (1=1, 2, ..., и — 1). Очевидно, зто преобразование не влияет на углы Эйлера. Таким образом, состояние движения системы материальных тел Возьмем начало координат новой системы в центре масс 60 тела М0, оставляя направления осей координат параллельными соответствующим осям абсолютной системы.
Обозначим относительные прямоугольные координаты центра масс О» тела М» через хь у», г», так что относительно центра масс 62 определяется переменными х„у„г,", х,.у,,х,; ...; хл „ул „гл,; с(10ю ФО~ ~0 Ф!~ Фс ~11 ср»ю Фзв ~21 ' ' '1 Фл — 1» Фл 1 лл 1' Уравнения движения тел Мь Мз, ..., М„с относительно центра масс 62 и вращательного движения тела МВ имеют вид с22» тз+ т, ди дл ссссд с!22 дц т сл д» + д» .
0 1 1 ' С дсус тз+тс аисз агс + сгсФ дсс с!С~ тзлсс ду дус сс'» тз+ т, диса дсс сСС' т т д» д» (1=1. 2... „л — 1, 2=0, (4.2.23) 1, ..., и — 1). Здесь ищ — взаимный потенциал тел М; и Мз, л-1 ч 'Г1 аи„а и!2 аис„~ Йс= ~„~ — Си+ — ~хс — +ус +ес )1 ° Ь ~тс т21, а, ду д» ) ! 1 !ус функции Ч'„6„Ф, выражаются формулами (4.2.18). Порядок системы (4.2.23) равен 12л — б. Система (4.2,23) имеет четыре первых интеграла (три интеграла площадей и интеграл энергии), которые можно получить, если в равенствах (4.2.20) и (4.2.21) сделать замену (4.2.22): л-! Х (слс ((Ус + 2)2) (х! + гЬз) (ес + гьо) (Ус + 212)! + с о + А р,а!!с!!+ В с)са)О2+ С гса(сз!) =с, л-1 Х (лзс ((»с+ ~о) (хс+ $2) — (хс+ $2) (е! + 12)!+ с о + Асрсассс! + В сц аз!2! + Ссгс а!2!з!) = с, л-1 Х (слс ((хс+ Во) (Дс+ 212) — (Ус+ т)о) (хс+ Фз))+ с-о + Асрсазс!11+ В!!у азссзс+ Ссгсазсз!) = с, (слс((хс+Ы +(ус+ 212) +(»с+Во) )+ + А,рз+ В!аз!+ С,гз) = У+ а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
