Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 53
Текст из файла (страница 53)
$1.04) в качестве лагранжевых координат !7! и введем обозначения к!=чз1-з у;=1!0!-! Е1=!71! (1=1, 2, . ° ., и — 1), (4.1,59) а величины !з» (см. (4.1.09)] обозначим следующим образом: Р! = Р01-з = Рм-! = !!з! (! = 1 2 ° ° ° л 1). Ч. !Ч. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ з!4 !% !.!й поэтому обобщенные импульсы будут равны д1' ° .з Р = —.=ИФ. д4' I В канонических переменных р' н д' дифференциальные уравнения относительного движения йме!От такой внд: ! дг/ дН др/ дН дд/ ... Зл — 3); Г др / (4.1.60) !)=1„2 $ 1.18.
Вторая каноническая форма уравнений относительного движения Вместо прямоугольных координат Якоби х', у,', а,'. 1$1.04) введем цилиндрические координаты р,'., Х,', ь,' по формулам х',=р,'.соз/2О у',=р,'э!пА,', г/=Ц (1 =1, 2, ..., л — 1) (4.1.61) Н (Р» Рз Рз,-з' '?! /)2 4/зз — з) = (Р! РЗ . ° Рз -1) Н(4/н 42 ' в /)за-3)> Зз-3 зз з-! 3-! т'= — ~' — "., и = — 1'.) /-! "/ !=о / о / †! ! з~э ~-! РЗЧЗ /21/=~ /)3/-2 /)3!-2+ х'.з О ) + 2=! 2 +(г —, +К'"''-)+(, —, +'К вЂ” "'-) 1) ) 1). Четыре известных первых интеграла системы (4.1.66) выражаются равенствами з-! ,~', Ыз!-!Рз! /)з!Рз!-!) = с!* 3-! ,Х, ( /РРРг~я 143!РЗ1-2 /)3!-2/23!) 21 3-! Х( — )в С з ! з з 3 з ,, (/731-ЗРЗ/-! 4/э!-!Рэ/-2) = сз Н' = )З'. $ !.!О! ГЛ, !.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ !! ТЕЛ 3гд Введем обобщенные импульсы р'„ Л'„ У!! дт' ! дТ м =ир Л„ ! з дТ 2/ ~/ ! д4! ! (4.1.63) В этих переменных уравнения др! дН' д! дР~ дЛ; дН И дд! ' дь! дН М дХ, движения имеют внд дН др~ ' дН дЛ дЛ',. 14.1.64) дН д7.', д я'. 11=1, 2, ..., я — 1), причем н'=т' — и, л ! и! р! ю-! ! — ! О ! О 1-! г ! ~1О О!АР» СОЗЛА 1 ЬО =1 р' сов Л' — р', сов Л', + ~~) 1 + А! 1-! А-! й !' и примем их за лагранжевы координаты.
В этих переменных кинетическая энергия системы Р!, Ръ ..., Р„! определяется равенством Ч-! Т'= я ~~' р!(р,"+ р', Л! +~! ). (4.1.62) Ч. !У. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ н !.!9 з!е Четыре известных первых интеграла системы (4.1.64) даются соотношениями в-! Е [>',в[ >,л,' — с! с ! и-! ~ [с! (Е ...л! ( л' Р, 'з!и Л', + —,' соз Л; = си Рс > всп Лс Лс! — РсХ! соз Лс ! = Ев, Рс л-! > сов Л т [р',. Л, (Р', ьг Л, '9 — *, ' Л,)— >=! Рс > — р, з!ОЛ,1Рс соВЛ, — —,Лс 11= с„ Рс и'=ьр. $1.19.
Третья каноническая форма уравнений относительного движения Рассмотрим координаты г,', тами Якоби х,', в качестве лагранжевых координат сферические Л;, ф,'., связанные с относительными координа- у,', г,' (! = 1, 2, ..., п — !) формулами х,' = г', соз ср', сое Л'„ у,' = г,' соз ср,' з! и Л,', г,' = г,'.
Вбп ф'с (! =1, 2, ..., и — 1). (4.1.65) поэтому обобщенные импульсы равны дт' дд дт' !р = —.. =рг, ф,, с ! дт* Л' = —. =- р г,' Л,' созв ф,' дЛ' (с = 1,. 2, ..., и — 1). Кинетическая знергия системы точек Рс, Рв, ..., Р ! Определяется равенством «-! — — !сс (,гс +г,' ф,' +г', Л,' сое'ф')> с ! ГЛ, 1.
УРАВНЕНИЯ ДвижЕНИЯ ЗАДАЧИ л ТЕЛ з2р $1.!З! В этих переменных канонические уравнения относительного движения записываются в виде ас,' ан' ~ьк,' ан' 1 и! дг Ф,' ан' д! д1р! дЛ дН д! аЛ,' ..., и — 1), и аг,'. йр, дН аг дФ; аЛ! дН и! дл; (4.1,66) (1'=1, 2, где л-! св сз !с ! Г м Ф1 А Н'= — р — ~К + — + в х'. 1, с! св 2 с ,,в! 21 С! СОЗ ф, l л-!и-1 1 — 1 '„-(,-.,-.'-„..„...',-к г-1 -в( л,л с! —,' ° лл с!с2 ! †! .|-(, л,' —,л.в, -1-С. с с 2 лс гз созфвсозхз + с с !х2 осзгз соз фз в!и Лз + с Ъв лслгв в!и !рз (() 1) л-1 ~, (гр,'з(пЛ,'. — Л',(н ф,'соз л-1 ~ (6р!' соз Л,'.
+ Л;.1и ф1'з(п 1 1 Л;.) =с'„ Л.) — — с, л-1 Л'=с' ! в Н'=К Четыре известных первых интеграла системы (4.1.66) выражаются соотношениями в ьзь ч, пс теоьия возмзщенного движения з!и 2 1.20. Уравнение Гамильтона — Якоби. Метод Гамильтона — Якоби В 22 1.13 — 1.19 были приведены канонические формы уравнений абсолютного и относительного движения задачи и тел. Интегрирование канонических уравнений движения механической схемы с А степенями свободы тесно связано с интегрированием одного уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона — Якоби. Оно имеет вид дб I дб дд длх Правило его составления следующее: обобщенные импульсы рь входящие в функцию Гамильтона Н (4.1.51), заменяются частдб ными производными — некоторой неизвестной функции дд, Ю(1, дь дз, ..., дь), после чего записывается уравнение (4.1.67).
Если функция Гамильтона Н не зависит явно от 1, то вместо уравнения (4,1.67) обычно записывается уравнение Н(ф дз ° ° ° ~ Чь'* д ° ° .ю д )=Ь (4.1.66) с неизвестной функцией И'(дь дз,..., дь). Переход от уравнения (4.1.68) к уравнению (4.1.67) осуществляется заменой Я= — Ы+ Ч7. (4.1.69) дл — =рп даз дб — =Р! де (1= 1, 2, ..., й). (4.1.70) О и р е д ел е н и е. Полным интегралом уравнения в частных производных первого порядка называется такое его решение, в котором число неаддитивных (существенно различных) произвольных постоянных равно числу независимых переменных. Если в уравнение в частных производных не входит сама функция б, как зто имеет место в уравнении Гамильтона— Якоби, то число существенно различных произвольных постоянных на единицу меньше (!О]. Якоби доказал (1О1, что нахождение общего интеграла канонической системы (4.1.52) зквивалентно нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби (4,1.67).
Это утверждение известно под названием теоремы Гамильтона — Якоби. Теорем а Гамильтона — Я к о б и. Если известен полный интеграл Я(1, дь дм ..., дь', аь аз, ..., аь) уравнения Гамильтона — Якоби (4.1.67), то общий интеграл канонической системы (4.1.52) дается равенствами $ ь»Ц гл. ». хвхвнения движения злпхчн ~ тел 319 Первые й уравнений определяют обобщенные координаты»1» как функции 1 н 2й произвольных постоянных а», 6». Подставляя »1» = 4»»(1, аь аг,..., аь,' 6», бг..., бг) во втоРУю гРУппУ УРавненнй (4,1.70), находим обобщенные импульсы р» как функции 1 и 2Й произвольных постоянных а», 6».
Если известно общее решение канонической системы уравнений (4.1.52) ч»=9»(1, а», а„..., аг' 6~ Рг ~ рг)» Р»=Р»(г а» а, " аг; Р» Рг, Рг) (1=1, 2, ..., й), (4.1.71) то методом Якоби [1О) можно построить полный интеграл В(1, д»,..., 4»д; и», аг,..., аь) уравнения (4,1.67). Имеем дифференциальное равенство 1В = — Н 11+ Х Р» й1» »=! (4.1.72) Найдем из первых й равенств (4.1.71) величины = х»(1, 4»», »1м ..., »1»; иь ам .... аь) и подставим их в другие й соотношений.
Получим Р»=Р»(1, »1», 4»г, ..., дг, а„ат, ..., аь). Если в равенстве (4.1.72) заменить р» на Рь то, согласно методу Якоби, оно будет полным дифференциалом функции Я. Его интегрирование дает нам полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби„ так как найденная функция о зависит от 1, »1», »1»,..., Чи, а», им, ам Если (Р'(4»», »1»...., »1», 'а, им ..., аз) является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби (4,1.68), то общий интеграл канонической системы (4.1.52) выражается равенствами даг д%' двà — =1+ 6. да ' да, '* дЧ, (» = 2, 3, ..., А, 1'= 1, 2, ..., Ф). (4.1.73) 2 1.21. Уравнения движения системы в векторной форме Если 1»» — равнодействующая всех сил, приложенных к точке Рь то можно написать дифференциальные уравнения движения Пусть 㻠— радиус-вектор точки Р» в некоторой системе координат, а тг» и й» вЂ” скорость и ускорение точки Р» в выбранной системе координат.
Тогда, очевидно, М !.11 Ч. 1У. ТЕОРИЯ ВОЗМУ!ЦЕННОГО ДВИЖЕНИЯ системы в векторной форме: 1 г,= — хт! (1=0, 1, ..., а — 1). Различные формы уравнений движения системы будут отличаться друг от друга видом записи вектора )г!. Например, в абсолютной прямоугольной системе координат имеем )с!=12 гп,!и! ! (1=0. 1, ..., и — 1, 1Ф1).
Е (1 Проекции вектора 1т! суть и-! ч ~! х1 — к, тт1 з ° !=О Ь Ц к-! У! У! л,„= ~',) 1о !! к — ! Й„=~~~ Щ!ш, '~! Для прямоугольной относительной системы координат с на- чалом в точие Р, имеем 1 /(~~+~) т ' I г! — г! к-! ! ! Р-! ! ! к — ! 1 ! (1=1, 2, ..., и — 1). Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ В этой главе приводятся различные формы дифференциальных уравнений поступательно-вращательного движения п взаимно притягивающихся абсолютно твердых тел. Эта задача представляет большой практический интерес. Достаточно упомянуть две проблемы: задачу о поступательно-вращательном движении системы «Земля — Луна» и задачу о поступательно-вращательном движении искусственных спутников Земли. Подробные выводы можно найти в работах [8[, [9[, [11[, [12[.
0 полностью задается координатами $ь т)ь Ь) центРа инеРции 6; тела М; в системе 0$))ь и направляющими косинусами, а)з)) собственных осей 6,9)о 6)т)р 6)ь), неизменно связанных с телом Мь в системе 0$))Ь. Индексы направляющих косинусов аТ) характеризуются табл. 49. Направляющие косинусы для каж- , н) аы ам н) азз н) , н) ")з н) ахз) дн) (и ~з) ,(и аз) дого значения ) связаны шестью известными соотношениями, поэтому можно выбрать три независимых угла, которые однозначно определяют направляющие коси. нусы каждого тела.
Чаще всего выбираются углы Эйлера: угол прецессии ф» образуемый линией пересечения плоскостей 0$т) и 6)ь)т)', 11 Под дед. Г, н. д)гннннне 5 2.01. Углы Эйлера. Кинематические уравнения Эйлера Пусть имеется система свободных, абсолютно твердых тел Мо, М), ..., М„). Известно, что положение и ориентация каждого тела М; [1= О, 1, ..., и — 1) относительно абсолютной прямоугольной системы координат 0$т)~ с центром в произвольной точке ! Таблица 49 Ч.
1Ч. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !Я 2.б! 322 с положительным направлением оси Оя !рис. 63); угол собствгн. ного враи!Ения фь Образуемый положительным направлением оси Отя,'. с линией пересечения О1М; угол нутации дь образуемый положительными направлениями Осей О~ и ОД. Направляющие косинусы выражаются через углы Эйлера с помощью соотношений [8], Я: а!11! = сов ф, соя тр1 — з1п ср, Я1п 2рс соз бн аД = сов 1р, вш трс + Я!и ф, сов трс сов б„ сбл11'=Я1пф1 Я1пдсг йи! = — Я 1 и ф, соз ф, — сов ф, Я1п ф. сов бс г й122г — — Я1пф в!и тр + Совф Сов ту СОЯ'9 г азиз =совф, Я1пд„ арз = Я1п тр, зшбс, а)12! = — сов трс в!и 6„ аю = соз бс. (4.2.01) Пусть рн дь тс — проекции абсолютной угловой скорости вращения тела Мс на оси координат Е1н 211н Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
