Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Формулы для вычисления т следующие (см. ч. 11, $2.03): с)! Ня = 5 , з)1Н5 — — 5 (й = 1, 2), (3.2.49) ОЕ еа тгег — 1 йа ' (15 — т)=ез)тН5 — Не (й=1, 2), (3.2.50) где д» (Й = 1, 2) вычисляются согласно (3,2.3?). Для контроля вычисляется а-ч е яп Нг — е 5)г Нг + Нг — Нг гг (1, — 11) Это значение а должно совпадать по абсолютной величине с вычисляемым по формуле (3.2.38) .
й 2.07. Определение элементов параболической орбиты по двум гелиоцентрическим положениям !. Вычисляются истинные аномалии О1, Оя на моменты 11, 15 и перигелийное расстояние 5) по формулам (см. ч. 11, $ 2.04) 1а — '= 11, тl(гг + гг)' — Ы вЂ” 2г, ог 2гг — Ч/(гг + г,)г — я' — = , (3.2.52) 2 т/яг — (г — гг)г 2 аггея — (г + гг) Гг гг 5)= Ч= г 1+1я — ' 2 1+ 1я' — 5 2 где 3 = Ч~(Х5 — Х,)'+ (Ря — У,)'+ (Х, — Хг)'.
Значения д, вычисленные по обеим формулам (3.2.53), должны совпадать. 2. Вычисляется момент т прохождения через перигелий: О1 ! 011 т/2 т=(1 — 4"'((а 2 + з !05 ) й (5=1'2)' (3254) Оба значения т должны совпадать друг с другом. 3. Компоненты векторных элемегтов Р„Я„можно найти по формулам я,, кг яг 51 — 51П Ог 5!П Ог — СО5 Ог — — СО5 ог г = " '- "~~ = г' г', (3.2.55) мп 2 (о, — о,) ' " Мп 2 (ог — о ) а компоненты векторных элементов Р„, Яо, Р„(,), по аналогичным формулам, в которых хя заменяются на уя и хя соответственно. Для перехода к элементам О, Пг„(.служат формулы (3.2.42)— (3.2.47) .
264 ч. Пь метОДЫ ОПРеДЕЛеНИЯ И УлучшенИЯ ОРБит И ьаз й 2.08. Уравнения Ламберта и Эйлера В задачах определения н исследования орбит важное значение имеют уравнения Ламберта и Эйлера, связывающие два положения небесного тела на невозмущенной кеплеровской орбите. Пусть г, и гз — гелиоцентрические радиусы-векторы небес. ного тела в моменты 1~ и 14 соответственно, а з — расстояние между концами векторов гп гм т.е. хорда, соединяющая два положения небесного тела на орбите в моменты 1ь 1ь Тогда в случае эллиптического движении имеет место соотношение й(1, — 1) аьз(в — з(п е ~ (б — з!ч б))„(3256) где й — постоянная тяготения, а — большая полуось орбиты, е и б — углы, изменяющиеся в пределах от 0' до 180' и определяющиеся однозначно по формулам з1пт — = ' ' , з)пз — = ' ' , (3.2.57) 2 4а ' 2 4а 1=ГО ! гт(=гм Верхний знак минус в правой части (3.2.56) берется, если угол между радиусами-векторами гь гг меньше 180', а нижний знак плюс, если этот угол больше 180'.
Соотношение (3.2.56) и называется уравнением Ламберти. Оно остается справедливым также для гиперболического движения„ если считать, что а ~ 0 и ~а~ равно действительной полуоси гиперболической орбиты, а величины е и б полагать чисто мнимыми (е = 1еь б = 1бь1= 1~ — 1). Уравнение Ламберти записывается также в ином виде после представления углов в и б в виде рядов по степеням величии г, +г,+а /г, +тр — а Если обозначить т1= я '\/г1+гз+з т2 2 ~/г~+гг з~ (3.2.58) ! 1 то получим вместо (3.2.56) уравнение й (1 — 1 ) = 4 [ — (тз т- т') + — — (т' Т- те) + 1з т, 11за удобное в равной мере для эллиптических (а > 0) и для гиперболических (а ( 0) орбит.
В обоих случаях правая часть этого уравнения не содержит мнимых величин. 268 гл. е опееделение оевит В пределе при 1а! -~ ао мы получим так называемое уравнение Эйлера для параболической орбиты й(12 — 1~) = 6 1.(с~+ ге+ э) ~ (Г~+ге — з)'). (3.2.60) Если угол между радиусами-векторами т, и ге меньше 180', так что надо брать в правой части данного уравнения знак минус, и если з значительно меньше, чем г~ + гм то правая часть представляет собой разность двух близких чисел и вычисляется весьма неточно. Тогда используют обычно следующую форму уравнения Эйлера: Оо ' 4й' (12 — 1~)е = И (г~ + ге), (3.2.61) (где 9 еес'— 7 Оо= 1, .
с=1 — ), з!ну= 1/с, (3.2.62) 18+18'Ч' '"+" или Оч —— 1+ — с+ — с + — с'+ — с'+ — с + 1 1 е 7 88 96 12 48 864 20 786 41 472 Уравнение (3.2.30), используемое при определении гелиоцентрических положений в случае параболической орбиты (см.
9 2.04), представляет собой некоторый аналог уравнения Эйлера. 9 2.09. Определение элементов эллиптической или гиперболической орбиты по двум гелиоцентрическим положениям с помощью уравнения Ламберта Пусть даны гелиоцентрические (экваториальные или эклиптические) прямоугольные координаты хм св, ее (Й = 1, 2) и соответствующие радиусы-векторы гь ге небесного тела на моменты времени 1ь 1, соответственно.
Вычисляем длину хорды з, равную з = 4/(х, — х,)е + (у, — у,)'+ (г, — е,)е, и величины ть те по формулам (3.2.58), Уравнение (3.2.59) переписываем в следующем виде: 7а'2 ° 4~ ~ е/ 9а'2 ° 46~! д = Я вЂ” — — Гт' — т'~ — — — гте — и 1+ ° ° (3.2.64) где () «(1 1 ) (,пз,пз) 1 1 В качестве неизвестной величины принимается —. Если Я=- 1 а 1 = О, то — = О, а = со (параболическая орбита). Если Я М О, а 1 то — находится методом последовательных приближений. За а нулевое приближение принимается Р 1оО (3.2.65) а )о аз1 — аз; з з При этом, если Я ~ О, то получим положительное решение— 1 а уравнения (3.2.64) и а равно большой полуоси эллиптической орбиты.
Если же Я ( О, то решение уравнения (3.2.64) отрицательное и )а~ равна действительной полуоси гиперболической орбиты. Эксцентриситет е эллиптической орбиты находится на основании тога, что углы е и б, определяемые согласна (3.2.57), удовлетворяют соотношению (3.2.66) а — Ь=Ез — Ен где Е, и Ез — эксцентрические аномалии небесного тела в моменты 11 и 1з соответственна. С помощью же соотношения г = а(1 — е сов Е) могут быть выведены формулы в — б (г, — г,) созес— 2 (3,2.67) 1 К 2 в — б ' (2а — г~ — г ) зес— 2 ) г, )=гь ) гз)=ам причем знаки синуса и косинуса угла (Е~ + Ез)/2 совпадают са знаками числителя и знаменателя правой части последней формулы соответственно. По формулам (3.2.67) находим эксцентриситет е я угол Е| + Егь а затем с помощью (3.2.66) находим эксцентрические аномалии Еь Ез. По формулам (3.2.40) и (3.241) вычисляем далее средние аномалии 'Мн Мз на моменты 11 и 12 соответственно, а также 266 ч.
не методы опгадвления н элэчшення оэвнт и злэ ГЛ. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ 267 среднее угловое движение л. Вторая из формул (3.2.41) служит при этом для контроля предыдущих вычислений. В случае гиперболической орбиты (тогда мы получим при решении уравнения (3.2.64) а ( О) зксцентриситет орбиты и момент прохождения через перигелий находятся следующим образам. Вычисляем величины е! и б! на основании формул з)22 — ' =- ' ', Б)22 — ' = ' ' . (3.2.68) 2 4!а! ' 2 4!а! Эти величины таковы, чта е! — Ь! — — Н2 — Н!, (3,2.69) (Г ! Г2) !! е! — б! 2 а (3.2.70) По этим формулам находим е, Н, '+ Н,, а затем Н! и Н, с помощью (3.2.68).
Контролем вычислений служит формула (3.2.51). С помощью (3.2.50) находим далее момент т прохождения небеснога тела через перигелий орбиты. Вычисление элементов ее, 2, 22 производится одинаково для эллиптической и гиперболической орбит по формулам (3.2.42)— (3.2.47). При этом следует иметь в виду, что указанные формулы предполагают использование экваториальных гелиоцентрических координат хы уы ее (й = 1, 2). Если же хы уе, ее — эклиптические координаты, то нет необходимости в преобразованиях, указанных в $2.05, п.
8. Тогда мы получим вместо (3.2 47) фор- мулы з!и!'21пГЕ=Р„ 5 !П ! СОВ 22 = ее'е, и!и! з!и!3 = Я„, ейп ! соз 14 = — )те, сов! = Я„ (3.2.7 !) где 1Г„..., Я, определяются согласно (3.2.42), (3.2.43), (3.2.45). а Н, и Не удовлетворяют (3.!.05), (3.1.06) при ! = !! и ! = !2 соответственно и представляют собой аналоги эксцентрических аномалий в случае гиперболического движения.
С помощью соотношения Г = а(1 — е с)! Н) (а ~ О), рас. сматриваемого при ! = !! и ! = 1„можно вывести формулы, аналогичные (3.2.67): е— ! ! !2)а!+Г, +Г,)2 4а! е! — б! е)Г! — ' 2 !)Т ОГ+ а'е Г! — Г! . е! — б, с!'и 2 2!а(+Г!+Ге 2 »66 ч. 1П. метОды ООРеделения и улучшения ОРБит [6».!» 5 2АО.
Определение элементов круговой орбиты по двум наблюдениям С» = — (й»Х» + р»У» + у»Х»), гт» = Х~~ + У~ + Хм » . С» А = — (7117)т+ рр, + ч ч ), В = Л!Х» + р Уз+ ч)Х„ С = 7)»Х) + р»У) + ч»21, 0 = — (Х)Х» + У)У» + Х!Х»). (3.2.72) 3. Составляются соотношения для геоцентрических расстояний р), р» и для гелиоцентрических прямоугольных координат х» 71»р» — Х», У=РР,— У, Р, УФ вЂ” Б,'— С', [» 1,2), г» = ч»р» — Х», (3.2.73) а также для угла 2[ между гелиоцентрическими радиусами-век- торами г) (хь у), е!), У»(хм уь х»): а' соз 21 = х,х, + у,у» + г)г» (3.2.74) з1п» 7 = я + з ! (АР)Р»+ ВР1 + СР»+.0).
(3.2.75) 1 1 Пусть небесное тело наблюдалось только два раза в моменты 11 и 1», и пусть а», б» (й = 1, 2) — две пары зафиксированных в зти моменты геоцентрических экваториальных координат. Для определения эллиптической орбиты двух наблюдений недостаточно, но возможно определить элементы круговой орбиты, соответствующей этим двум наблюдениям. Такая орбита мажет служить неплохим первым приближением для описания фактического движения небесного тела, если, разумеется, фактическая орбита имеет не слишком большой эксцентриситет. Круговая орбита определяется четырьмя элементами: а (радиус орбиты), 11 (долгота восходящего узла), 1 (наклон), 1» (долгота планеты в некоторый фиксированный момент времени 1»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
