РТЦиС Баскаков.С.И (557461), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Методика нзущгия такиз дискретных сигналов соснин в тем, по полученная «ыборка огсчетимх 3 ачений мысленно повторится бесконечное число раз. В результате сигнал оганов«те» периодическим (рис. !54). р 15л д и пмирдс ш ешр и щла тю Г па 15.дщнш менее м.нр нм н 4ие «4 тр Оннюпюнв такому сап»ау некоторую матемет»тескую модель, мозэю «оспользоватьс» раэлопеннем в рад Фурье п найт» состав сгеующн амплитудные «оз44ициеатм Савоку ность этих коэффнцпмпов образует спектр ллскрегного песцголнтеского сигнала. 5(мну»пню ареебразевевве Фурье.
йгюпальэуемел моделью в виде последомгтгльностн дельта нмпулыхп и соне»ганны походному колебанию х(г! его ллскрегное МНП-прслсгавд»- нас: х «п(г(-б у х,б(г — ьбу. Прелсг»анм дискретную модель (15.141 комплексным радон Фура»с кмнп(г! = б у. С.еп (!5.!4! (15.1Я с козфф»дпентамп т С„- — 5!. „пп(г!.— "веа, 1 Г Тб 1 е (15.1б! Подставлю формулу (15.14! в (15.!щ н ввод» безразмернуцг переменную о г/б, поэучвм юл-г С„= — ~ «бф — »б! -з лбг 1 Г%э "=Нб~~,' о* е хл- 1 Гцэ — ~ уэ х,б(к — Пе-Г ~ха, э-а цэ = — ~ х Гбгс — Це Л «Мбь.
и~,"( ь-е е а Наконец используя.фнльтрующее свойство дельта уувк- ремню задачу 2 ющ нмсем а х-г С„= — ~ х,с 'э 'х". Н~,* (15.17) э-е Формула (!5.151 определяет.посщловательносгь «озффнцневтев, обрезующнэ дйсцмм»ае «любремхюн»» Фине (ДПФ! расеаютрвтасмого сигма в. Отметим неком:рые от»анапы йавййра ПНФ.. 1. дяакрепюе преабраэова яме Фурье есп, хннейное преобраэованне, т.. аумм аягналов от ечает сумма нк ДПФ. Т, Число раэлнчньш ипффпцяентов Со Со Сэ, ..., С„ь вычнслясмык по фо(ыул (15.17), равно чнслу П отсчетов эа ладил! Нрн н = П «оэффпцнеят С„= СО.
2. Коэффвцнент СО (постоянная саста чпощая) яияется сред«ям эваченнем всех отачетавг и — ! С,- — ' ~~ хю э-е ми Фт)не 4. Ислн П вЂ” четное число, то ° -а 5. Пуск. Оючеггщ энач ння «ь — «ещштащны чнсла Тогда «оэффнцненты ДПФ, номера «огарев располагюотся аямметрнчно отноаятельна П/2, Образу«к сопрянеюлю нарыл В-! „, -Р.Š— Мгк „Щ» поэтому моэма счятятю по коэффнвненты снд ! -" снатвечают отрицательным частотам Прп щученнн амплнтудного в!ветре сягнаяа онн не лиог пояых свереннй Иу р 103.Доро! й «и нвукег Н Р д д Ре ! Нми =[1,1,1,0,0,0)па юрфц дпюююгосцлца ш у а у фармуху ((щ7), е редспеяяа ем- С / 0.5, С,='/,(!О -ЭГ'-Ь«-ЯЮ)='/,(1-/)/52 С '/ (1 + ! " + г ! ! О, С '/,(1 + е ц + е ! ) = '/ . и Оу ш э Оэфф! Нюпм В Ол еэ О:яаВэякя ееейс 5г с.
с!=а, с,-су-'/,(1+Пфэ). Итак, ргавнаш д р огппм СОЧГЕ П =б м! Ою яэйгя вкта у шу, в гапке аа юеи «ьп ампэагулн леркой, вторая н трет й ар к «аылюго яе- Юнрнююга скопле. Яс о, лр юб П Ш р вюе л«ег пола яну чнюв юс е ац Эю ю. нвн Реют аег нз тоннмм ко немев, деяствягецьэо, моэмою тра ц о у е спеире дккре !ярус о о нщыа еэедуег накояягь яэ свп Ояв У, 3Д2Ь) (П/ДУО ДД - 1/Г- ерюй герм ника ш 01 234 5 Заранее предищаиютея, чта нсходкый сягяал удоялсгвервет условнвм тенремы Ко- тельникова чвбло вычясляь мых пщме«кк тю Гнпэ 15. двцевнне пкю . Пр в н ц Орвюя Оюп 1н» Весстааааапще аегаыаепг ивнева не ДПФ.
Есл» на осно- вании совокупноста оючетов хо «н хн ..., х„, некоторого сигнщю вайщны «озффнщюпм ДПФ С С Съ "., Спп то по ннм асегли мовно восстановить нсходаый сигнал л ф) с ограниченным аюкгром, «оторый был полверпгут диск- ретизация. Рял Фурье такого сигнала прнвимаег, очщндио, вип конечной суммы: х (Г) = С, + 2) С, ) сов (йи/Т+ Ой О + 2) сз ) щн(лю/т+ гэх) + ... ... Е ) Сад) Он(У/ИГ/Т+ О л), (15.18) где щ = юй С, — фазоюей угол «озффнпиента ДПФ.
го 0.1 Рнс 155. Сипи, о а эюнинй «нфр ц игам ДПФ В качестю примера иа рис. 15.5 изобранен сигнал «(18 воссгановвенный по аюим отсчетам в ссотютствин с даннммн примера 15.1. На основании формулы (15.18) этот сюнал х(г) '/ + / соз(2сг/Т-к/3)+ %он(щп/Т). ремизе задачу 3 (15.15) Следует подчеркнуть, что щистановление нспрерьииого сигнала по формуле (15.18) есть нс приблихазппщ а точная ощрацив, щюностью зкаявалентная поаучеивю те«ущих значений сигнала с ограниченным спектром по его отсютам. Олнако процедура, нспользующа» ДПФ, в ряле случаев предпочтительна.
Она щиводвт к конечным суммам гармониг, в та врем» «ак ряд Котельникова лля пвриолпческого ситным принципиально дол«си содержать бынопечиое число Обратное лвекрепаы гймебрэщающе Фууье. Засеча двскрегного сов«храпа«ого анелю* монет быть пес*аваева и но-иному. Допустим, по коэффициенты С образующие ДПФ, запевы. Полоиим в формуле (15.19 г йб н Тпем, что суммируегся липы мнючгнм число членов рава, «огорые отвечают гармоникам, содерзыгцимса в сневгре исходного оппели. Таюсч образом, полу вем формулу лл» вычисления огсчетиых зиаченнйг Гве е 15.
дяс ! т свп м. гщ а«рассея Йель еи л рс па зс~агт 4 (1 520) ея- г = (О, 0:, О, ..., !), сбразуксцна базис. вотсрый будем называть ее июяееинмм »аз»сом. При этом очсвцлнс:, что я — ~ л= 2 х„ге, г-с т. е. отсчстные значеипа л, слуиат проса»вамп вектора г на соотщтствующие бвзвгиью выпори. Поскольку рассматриваемое пространство явластся еаклнловым, норм» этого випора в то время как скалярное прсвзеедеиие пауз еектрров к и у вычнссеегсл по формуле я — г РЬУ)= Х ыю Векторы л н у ортопщалывс сели (л, у) О.
Нащду с есгссщсв»мм базисом в Аг мерном евкявлоаом прсстрв«нтгй момно ввсстк много друг»к бвзвсвыз сястем. вырчжающую алгорятм обратного двскрстного пресбразо- ФИ (ОДПФ). В во дгщглцщвщгне друг друга формулы (15.17) н (15.19) являются дюкретвыми аналогами обычнОЙ н«ры прссбразований Фурье лля пепрерыавы«сигналов. В йастсящее время двскрстный сщвтрвльный анаянз кана«ю» одн»м щ наиболее распрсстраиенныа методов исследования сигналов с помощью ЭВМ. В Прилсвгснюы дав» программе иа ФОРТРАНЕ плв вычпсленнв ДПФ.
Г 1 .,р д р . РЕ 'бр Фууье. Следует подчеркнуть, что МИПчзийы щда (!А представляет собой ляжь олпу яз всзможвык молслсй двщрстного сигнала Такие модулнрмюпные последммтслыпютн естественно применять для !маса»як импульснмл «олщееий АИМ илн ЮИМ. Пр» сбрабгжка же рвцногезническнз свгналов с помощью выммлнмльныз устройств двсаретный снгяал выступает не «ак последовю«та»овгз нмпулыки, а «ак ущщаасченнвл последовательность чисел. Роль времен» при этом играет целая перемени⻠— номер соствсюгвующего отсчета. Дне«уст»сагу преобразоааивю Фурье можно придать ннтерсспую и глубокую ннтсрпрегацюо, если поглсловательносгь к (г кп .,., к 0 рамматрнаать как вентер в И.мерном щглиювом пргюграпсщс.
В тютю прсстранюм пмсеюя И линейно-»свае»самы« векторов ес - (1, 0; О, ..., О), е, (О, 1,0,...,0), база( Фурье (1521) (15.22) (ЮД)= Х С,((оУ) 1Зх Д ПН ПИПМ ПЧВВГКЧВЧЮ СКГНВЮЗ Срелн ввк сюбую роль нграсг бсюс Фурье, шементамя которого служат мктсры Д (111 ° - ° 1) У П )шн н,п апгн — еок) у П г,гн )ьм ш -ч кг) У (1 сзгтн-Ччн ЛГН-ЦН, с)21«- В Г ) Скаллрнсс прснзпеденае шсментоа базиса Фуры н-г (( Д)=~~~~~ есм-сн ~ы.м=(, (о, о( ""'""' о('рагюютс» в прн гп;а 1, паскользу все слагаемые «пляются комппексвыма чнслемп с сднннчвым модула» н лннейпо нараспношам аргумвпом.
Прн суммпрсваннн сошпетствуюшне яекмры всегда образуют на «омпчексной плссюжтн празнльный замкнутый многоуговьнпг. Итак, базы Фуры Шгюгонаеен, но не нормнршан на Шгагшг(у, гахвользу (Х ('=УС м=й. 1, 2, ..., Н вЂ” 1. Найдем «оэффнпвенты разложения некоторого ввггор» к по элементам баэнса Фуры: — г к- )'. С,й.
г-с Длл экого умножям обе часта равенства (15.2Е) скаларно на бюасный вектор Д с фвкснровпнвым номером и: Так юш базнс Фуры ортогонален, то в правой асти отписным от пупа окажете» лишь слагаемое с номером 1 =п: (к, У.) С. 1А (', и — г 1 С = — — т-(жу,)=-- «„е Юо "= (и г-с что полностью ссвпадаст с фортгулой (15.17) полученной нв санже модены МИП-акгнагю. .чгв Фпм юмсеею иуесбувнюевш Фурье. как вндво вз формул» (15.17) впв (1529), чтоб» аычвслвть дПФ вкв Очевидно, что Вй компонентов и го бвзвсяего вектора внлпстсп чпшю схр()2пнй)Ж).
Прв любых н в й шв шоле валяется одины вз везмюкаых заачшшй перна И-й смывав вз едн- шщы ОДПФ последа»»таль»ости щ И элп»сидю, требуется выполнить И' асср»»яд а к»мил»изыми чвслэмн. Если длины абрабвты»»смык мяссююв импат порядок тыавчи вив более, то ипюльзспвть эти элторигмм дяакрстиага спсвтрэлыюго а»»лиза в рсввьпом мясист»ба врсыа»и э»груп»»таль»о яз-зв стран»чав»ого быстров»Вопим щоиплитппвмх устрой»и ам»одом щ полопав»я яввлся алгоритм быстрого»раабразоса»и» Фурзс (БПФ), прсдлопаввыВ в 00-х галя». Существсщю сократить чисяо вылолвламыз опсрвпий эдас» улвется эв очаг топь что абрабапа вщлиага мяссявя аводитая к выпиванию ДПФ (или ОДПФ) мвсппюв а мсвьшим числом глава». Бумм праююлягять, и эта сущсствсвяо лля мстодя БПФ, что число огсз»гав И 2, гда р — пело» число.
Рвзабь»м юищвую исследо»этсльщюп, (кз) ив лвс части с чстяымв в исчогвьп»и »омар»миг пр»пивы разбив»яи вяолиоВ ггппяадо- ввтвльщпти (лз)чт (лм) (щ)ич (лзз з), ! 0,1,2,...,И/2 — ! (15.25) и прая»та»им»-В козффнписит ДПФ в ввда з гтз+ ок — (» " ак а " )= -о » -з»л- !/ Б. г»»д С а я»згг„п яд И~ ~„ з-а Нсвосрслстщино в»два, па первая половина кщффзввплтав Дпф ясюдиаго с»гнпп с псы»рами от 0 ло )ч/2 — 1 зырэпютс» чар»э казффиоиевты ДПФ лаут чваппп псслсдощтальиаогсй: -е С„=С„„+а "Смм, » О, 1, 2, ..., ИД вЂ” 1., '(152б) теперь рпич, что послсдавэтгльиости «сзффвалппав, от»оп»пиза» к чспюй и иачвпюй сваг»м вкодвого мясппщ «вв»ютс» парводвчссквми а пор»одом И/2з С"и С +яд п С пч С»дич.
Кроме того, вюдпянй в формулу (1529 мвоя)втс»ь прп и Л И/2 мощно прсабрвзоввть твкз ь ага+с м гз о " с-г'а». -е зв» гяи» 15. д в я ° с»гвв»м. Нв»вэм а»рвзвая Ф ивам г С л,.-С.,О-С иС.нч. л б, 1,2,...,УГП-). (1527) (1528) у..- 5'с„н з"-"ги, 6 и — г и — г (15.19) Отсюда наыдпм вырапалле нла второй паловнны многзгсгзв кшф(шпнштгп ДПФ6 Фармулм (152б) н (1521) пенат в сомове алгорвтма БПФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
