Задачник по термодинамике (555278), страница 35
Текст из файла (страница 35)
14.53. Стальная обшивка сверхзвукового летательного аппарата толщиной б„= 1 мм защищена от аэродинамического нагрева слоем теплозащитного покрытия толщиной Ь = — 2 мм (рис. 14.5). Считая обшивку плоской, определить распределение температур в слое покрытия и температуру обшивки на 2, 4, 8, 8 н 10-й секундах полета. Коэффициент теплоотдачи а, (Вт/(м' К)1 н адиабатная температура стен- ьп Т,*.к (К) со стороны покрьппя изменяются со временем по законам ц (т); 7,", (т) «ч а, (с) = — 23,3т + 930; 7'„'з (т) = 60т + 293. Теплоотдачей с внутренней стороны обшивки и продольными перетоками теплоты а,(т), 7,/т) пренебречь.
Физические свойства покрытия: с = 615.((ж/ /(кг ° К); р = 770 кг/м'; Х Рис. 14.5 ==: 0,1163 Вт/(и ° К). Физические свойства металлического слоя: с„ = 460,6 Дж/(кг К); р„ = 7900 кг/м'. Степень черноты поверхности покрытия е„ =- 0,94. Начальная температура обшивки и покрытия Т„„, = 293 К. Р е ш е н и е. 1.
Математическая формулировка задачи. Распределение температур в пластине может быть найдено путем решения одномерного уравнения теплопроводности дТ/дт = а (дзТ/дхз) при следующих граничных условиях (см. рис. 14.5): а,(т)(Т' (т) — Т,) — ) ~ — /1 — зрТ( 0; / дТ т ~ дк /сз / дтт дТ )с ~ — ~ — аз (т) (҄— Тхз (т)) = ск рк 6„ ( дк 1ст дт 0,5 аттис (о/з"') + а,/(срз) 0,3 с.
0,5 0 185. 1О-з/(1Π— з) в+ 930. 770. 1О-з и Петрахинзпй Г. Бч Полехаее В. И, Инженерный кетол рзсчета нестзционзрныз процессов теплопроводностн. теплоэнергетика, 1962, № 2. 194 Согласно начальным условиям при т = 0 Т = Т„„. 2. Выбор конечно-разностной схемы для численного решения уравнения теплопроводности. Уравнение теплопроводиостн при переменных граничных условиях и наличии лучистого теплообмена на границе тела может быть решена методом сеток*.
При решении задачи по явной разностной схеме допустимый шаг по времени При Лт ~ О,З с явная схема неустойчива (19! и, следовательно, для решения уравнений с большим шагом по времени необходимо использовать неявную схему. 3. Составление системы коиечно-разностных уравнений. Используя неявную конечно-разностную схему для уравнения теплопроводности т;,— эт,. +т,„, а (14. 1) и' условия теплового баланса на границах обшивки, запи- сываем систему конечно-разностных уравнений в следующем виде.: = — ~ а1 (Т;; — Т1 ) + — !Т; — Т!)— 2 г..., х ср5 5 т,'— т, — рт;1., — т' — хс Тт ~:Ц Лт 5 Т! — Тэ Т! — 2Т!+т! Я (14.2) т„'— т„ —" - — ~ — (Т„', — Т„')+ ас срса с + а~ (Т', — Т„').
В этих уравнениях Т,— температура в 1-м узле пространственной сетки; ! = 1, 2, 3, ..., гц з и Ат — шаг по координате и шаг по времени; температуры и коэффициенты тепло- отдачи, отмеченные штрихом (Т;; Т;;, Т,'„э, а(, аэ), относятся к моменту времени т+ Ьт; температуры, ие отмеченные штрихом, соответствуют моменту времени т; а, и Т„„— коэффициент теплоотдачи и температура среды с внутренней стороны обшивки (в рассматриваемой задаче а, = О); а = Х1(ср); С, — коэффициент излучения абсолютно черного тела, равный 5,7 Вт/(м' К'); ф = е,„С, эс эс 1О ', о = 1+ "р '"; и — число узлов пространстэсм рм ан срс венной сетки.
Г!ри составлении балансовых конечно-разностиых уравнений для границ стенки к узлу 1 относилась масса слоя покрытия толщиной э~2, а к узлу л — масса слоя покрытия толщиной а(2 и масса металлического слоя толщиной б„. При этом предполагалось, что для металлического слоя.вы- полпаетсЯ Условйе Ввв = ввв б„/)в„( 0,1 н поэтомУ Т, ж — Т,, Лучистый поток из окружающей среды к обшивке считаем равным нулю,, Для решения задачи принимаем л = 3, з =- б!2 = 2 10 '/2 = 10 'м. Выбираемсвт !с. Приводим систему уравнений (14.2) к виду: где й Х/з = 0,1163/1Π— ' = 116,3 Втl(мв ° К); Л = Лс/(срз) = 1/(815 770 ° 10 ') = =1,593 ° !О в с' ° К/кг; 2смРмам =1 - 2 460 О 7900 1О в = 12,6; сРв ' 8!О 770 10-в вР = —" = — '' = 5,35 1О-' Вт/(и' К'); Св вст Б,7 0,94 1Ов 10в 1 в= св(+й! Рв=ссв+й; 1!в =-ав Т,— вРТ1, () =о' Т' Значения коэффициентов уравнения (14.3) сведены в табл.
14.4. Решаем систему уравнений (14.4) — (14.6) наименее трудоемким методом прогонки. Коэффнниенты прогонки определяем по формулам: Ав Е Ов+ С!Ев в Вв-С,Ев, ' В,-СвЕ,, йа» 7, + 2ЯО, Ял' 1+2ЛР, 1+2ЯР, 1+Яд(2 — Е,! 2Л т,+яле, + (~ +~~1 Е,= ' ' ! Ев=б; Гв= 1+Ял(2 — е,1' ' ' ' 2Я 1 + — 1Р,— ЯЕ,1 а — А; Тв'+ +В„Т; ' — Свт,', — гйй Т; + (1+ 2йРв) Т; — ййТв +,(1+ 2йй) Тв — йй Т! ОЯ ! ., 2ЯЛ 1+ — Рв~ Тв — — Тв а а = 0;; (14.3) = Т, -1- 2ЛЯв! (1 4.4) = Тв' (! 4.5) Т,+ — Я~ (14.6) 2л а Таблица 14А с, и! Неизвестные температуры вычисляем, начиная с последней Т„' =-, Тз; Тз == Ез', Тз =- Е,Тз + Ез', Т! = ЕзТз + + Гз." Результаты вычислений приведены в табл. !4,5 и !4.6. Таблица 145 ! Р~+— за а !ст зз.зз ~+ злз, 14,54. На 10-й секунде полета температура в точках!, 2, 5 (см.
рнс. 14.5) двухслойной стенки крыла управляемой ракеты достигла значений Т, = 3!5 К, Т, ='486 К и Т, = = 795 К. Стенка плоская и состоит из слоя стали толщиной 1 мм и слоя теплозащитного покрытия толщиной 2 мм. Степень черноты поверхности стенки со стороны набегающего потока е„ = 0,94. Взяв физические свойства стали и покрытия из предыдущей задачи, вычислить температуры в точках 1, 2 и 3 через последующие десять секунд 'полета, считая, что тепловой поток от аэродинамического нагрева распространяется только в направлении нормали к стенке. 197 1 2 3 5 6 7 8 9 10 23,3 69,9 93,2 116,5 139,8 163; 1 186,4 209,7 233,0 906,7 883, 4 860, ! 835,8 813,5 790,2 766,9 743,6 720,3 697,0 1337 13! 4 1290 1267 1244 1220 1197 1174 1 151 1127 0,0870 0,0885 0,0902 0,0918 0,0935 0,0953 0,0972 0,099!.
0,1011 0,1032 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 353 413 473 533 593 653 713 773 833 893 СО С'Ъ «О Ф В СЧ СО Ф в сч сч сч о О ОС .М а «О С Ф ОЪ В ! О «О Ф В О О СО СЧ «О аъ чъ ф чъ в " Оъ и« л ф Ф Я и ч ч Ф Фч мъ Й «О О Ф С «О СЧ Ф ««О Сб РЪ Ч' Ч' «' «О «О «О М.'«Ф О иЪ В Ф мЪ Ф СЧ вЂ” Н С Ф О Ф МЪ С О«Ф 33333662 о о о о о о о о о о « о иъ ъ л са Ф Ф л са ЯМВ6лФВ.=63 л а мъ с« «О мъ ч' ч' съ в Р х ф си си м ~ О«я в ««О «ъ «' м иъ иъ 3 с « сч Ф ч' иъ Ф с са в о « а м ! а ма и м О иъ о в сс иъ иъ В «««О Ф О Ф вЂ” в л «'Ъ С« ъ-. Ос и ъ аъ о О Ъ О О Ф мЪ «'ъ «О ъ иъ Ф «О О«О«Я О«ОЪ Д Ф сч о о сч са «О Ф В Ф ОЪ О$ иъ Ф О« о ФСЧ Ф СЪ «О С'Ъ с + сч 93 Ф съ 1 ч +! 1съ Х 3» + О ч с $ с)= Ъ 1 .ч ч + ю иъ а сч о 'е о ю ю ю ф ф ЧС а ЪЪ Ю О Ч Ф сссчсчййач'апач а ч сч о ч сч о с., ю Ия ~я а о" а а" а а ю" о ааааа ОСЪЮО Яссчччйзиъючь о с а ю ю ч' О сч ъ- ю ю й чса сс о а юесаюосчюа зюююъссюааф О О О О О О О О О О а 33 33 сч сч сч 5 Ю Ю Ю иЪ Ю 333 Ю Ю Ю Оъ а сч а с'» с'ъ с 3 с'3 а Ч' С О 6Ъ Ю Ф С'Ъ С О О О О О О О О О О Ю О 3 Ч' 3' Ю Ч' СЪ СЧ " ю 3 юо О о 8 ' с" 3.- Ю Ю а 3' О ю Ф съ съ ю 'с' 3' я я ю СО с а чъ ю М Ю Ю Ю О3 3 Ю 3 3 Р ю а ч' а ч' чъ ю Ф с ю с мъ с с ° ч ч ю а О сч с нъ ю СЧ Сч СЧ СЧ СЧ СС Ч о В МВ + а В В.
М В ВМ ч с М". «~ ь х ."+ х 1 Ф съ ч' а» О О Оссч В Осф-ЧфОМЭЧООМ «ъ мъ мъ ао е в Въ ао О О сч аъ иъ ао сч' О сч ао МЪ ' О О О О О сч еа «ъ . В' ч' ч' В' 'а' 'Ф ч' В' ч' СЪ О О МЭ МЪ СЧ МЪ т В О ВМ ИЭ ВО МЪ МЪ МЪ ВЪ О ВМ ВМ са Вч сч сч сч сч сч са сч сч О О О О О О О О О О Въ Вэ Вэ мъ аъ аъ съ Вм ВЪ мэ МЪ «Ъ ИЭ ВМ МЪ ИЪ «Ъ «Ъ МЪ МЪ сч сч сч ач сч сч сч сч ач О О О О О О О О О О О О О О О ОО О СЪ а а В' 'а' В'ъ мъ аъ сч ма сч аъ ма В'ъ я \ э \м я аъ Вч с'ъ МВ ам Вю ю мэ со Ж Ж Ч«В ,О О О О О' О О О О О О са 'а' О О В В..ΠΠ— ВЧ я я" ю' ма О О мъ аъ Я Я Вм ам аъ мэ мъ мъ мэ Ф Ф а ю 3й Вч Ф Ф аъ О В В ВО ам Ф О О сч сб Адиабат»»ая температура с!тенин Т;,'.
(К) и коэфф»»ц»»е»г", теплцотдачн а» (Вту(мч . К)1 со стороны потока изменяютс.» со временем по следующим законам: ' сс, (т) = ( — 23,26с +-697,4); 7", (т) = (60» +-893), '. Повйрхность' стенки,' обращенн)ю внутрь крыла. счн. „- тать теплоизолированной. ! !4.55. * До какой температуры ' нагреются поверхности н!»!»граниченной.плоской стенки (пластины) толщиной 2 мм» теченйе 'первйх ' трех 'секунд, если с одной из сторон стен»а» омывается потоком нагретого гзвз, имекхцего тв»энэратур !000 Ку Коэффициент теплоотдачи от газа. к стенке равен 2900 Вт/(м К).
Теплоотдачей с другой стороны стенки пре. небречь. Материал, из которого изготовлена пластина, имеет следующие физнмескке свойства» а = Х/(с»») = 185 х х !О-' мт!с; Х = 0,116 Вт/(м ° К). Темявратура пласти»п» в начальный момент времени 290 К. Теплообмен излучением не учитывать. Решение получить с помощью ЭВ»»э методом сеток. применяя неявную конечно-рвэяс»стяу»сг схему. Длн того чтобы — »ижазать; нз»г влияя»г''параметры разностной сетки на тоность численного решения, выполнить расчеты на сетка» с числом узлов, равным 3, 7, 13 и 29. Шаг по времени принять равным 0,01 с.
Сравнить полученные результаты с точным аналитическим решением. !4.56. Для исследования влияния шага по времени н» точность численного решения решить предыдущую задач» методом. сеток при значениях временного шзта 1; 0,1 и 0,0! <, приняв число узлов равным 29. Используя существующее точное аналитическое решение, сравнить с ним полученные результаты.
!4.57.- Вычислить температуры иа внутренней и вне»пне1 сторонах однослойной стенки сопла ракетного двигателя в моменты времени 0,3; 1,2; 3 и 6,6 с, отсчитываемые от начала запуска двигателя. Температура газообразных продуктов сгорания, омывающих стенку дозвуковой части сопла; рина 727 'С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
