ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Число ветвей, напряжения которых могут быть заданы независимо, не может превышать числа независи мых узлов у — 1. Когда число ветвей, составленных только из независимых источников напряжения, равно числу независимых узлов (р„„= о — 1), число неизвестных напряжений ветвей равно числу независимых контуров р — д+! и они могутбыть определены из р — д+ 1 уравнений баланса напряжений. Метод напряжений ветвей в общем случае нельзя использовать для формирования уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями.
Это связано с тем, что токи таких индуктцвностей могут быть выражены через соответствующие напряжения только при козффициенте связи между индуктивностями, меныием единицы. Это следует из соотношений, полученных для токов связанных индуктивностей, выраженных через напряжения с использованием (2.165): ~а=()-г()~ ~М()гй)со (~ч (.г Мг)!' ~с =(~~ ()г~М(~~)/(!ш(~~ ~.г — М )!.
Полученные выражения имеют смысл только при М чь )Г~,Ь,, т. е. при ям ~ 1. Таким образом, метод напряжений ветвей является менее общим, чем метод токов ветвей. Итак, методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа, позволяют Уменьшить число одновРеменно Решаемых УРавненнй от 2Р— Р„т — Рив до Р— Рвт нлн Р Ран. Метод контурных токов Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей, вьопексиощей из первого закона Кирхгофа и заключающейся в том, что токи всех вептвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей. Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из р — ра, — д+ 1 уравнений, называемых контурными уравнениями.
Рассмотрим методику формирования контурных уравнений на примере простой цепи, не содержащей источников тока, схема которой приведена на рис. 4.1, а. Выбирая произвольно дерево графа этой цепи, убеждаем- ся, что токи ветвей дерева однозначно выражаются через токи главных ветвей. В частности, используя дерево графа и соответствующую ему систему контуров, изображенных на рис. 4.1, е — д, находим на основании первого закона Кирхгофа, что токи ветвей дерева 1„1з, 1ь могут быть выражены через токи главных ветвей 1„1„1,: 11 13 1м 12 1ь 13 16 14 +1Ь Таким образом, если каким-либо образом определить токи главных ветвей, то далее, используя соотношения (4.5), можно найти токи остальных ветвей цепи, а затем найти неизвестные напряжения ветвей.
Следовательно, для полного описания процессов е цепи достотонно определить только токи главных ветвей исследуемой цепи. Из соотношения (4.5) также следует, что максимальное количество токов ветвей, которые могут быть заданы независимо, не может превышать числа главных ветвей. Для определения токов главных ветвей цепи (см. рнс. 4.1) воспользуемся уравнениями, составленными на основании второго закона Кирхгофа, выразив входящие в них напряжения ветвей через токи главных ветвей. Подставляя (4.3), (4.5) в уравнение (4.2), получаем (4.6) Разумеется, решить контурные уравнения (4.6), легче, чем основную систему уравнений электрического равновесия цепи (4.1) — (4.3) или систему уравнений (4 4). На практике контурные уравнения формируют с помощью простого алгоритма, не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия, поэтому применение этого метода позволяет упростить и составление, и решение уравнений электрического равновесия цепи.
Для того чтобы сформулировать правила составления контурных уравнений, введем ряд новых понятий. Собственным сопротивлением Япп 1 го контура назовем сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур. В цепи (см. рис. 4.1, а) выделено три независимых контура (см. рис. 4.1, в-д); их собственные сопротивления В каждом из уравнений (4.6) имеется член, равный произведению собственного сопротивления 1-го контура на ток главной ветви, входящей в данный контур. Этот член можно рассматривать как падение напряжения на собственном сопротивлении 1-го контура, вызванное током главной ветви, если бы он протекал через все ветви, входящие в данный контур, т.
е. замыкался бы в 1-м контуре. Такой ток называется к о н т у р н ы м т о к о м. Таким образом, контурный ток г'-го контура 1» равен току главной ветви, входящей в данный контур. Направление контурного тока во всех элементах контура совпадает с направлением его обхода, т. е. с направлением соответствующей главной ветви. Для цепи, схема которой представлена на рнс. 4.1, имеем 11 ег Ж зг ЗЗ 3 (4.8) Лп~> =Л(д =2~, 'Лгзз> =Епю> = — Л~,' Л< з> =ага» =Лы (4 9) К он ту р н о й э. д.
с. Еп 1-го контура называется алгебраическая сумма э. д. с, всех идеализированных источников напряжения, входящих в данный контур. Если направление э. д. с. какого-либо источника, входящего в г-й контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая э. д. с, входит в Ег> со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Контурные э, д, с. рассматриваемой цепи Е>>=Е>', Ею=Ею' Езз=Ез — Ез. (4.10) Используя обозначения (4.7) — (4.!О), представим контурные уравнения (4.6) в канонической форме записи: Лп„~„+гпз> )„+Лы„),з=Е„; агап 1„+Х~зз> !~+Я~,~~ 1„= Е гюп )„+л„„~„+г,.„~„=Е„. (4. 11) Анализируя (4.11), нетрудно установнть, что все контурные уравнения нмеют одннаковую структуру: левая часть контурного уравнения есть сумма членов, один нз которых равен пронзведенню контурного тока соответствующего контура на собственное сопротнвленне этого контура, а остальные — пронзведенням контурных токов других контуров на взанмные сопротивления этого контуРа я других контуров; правая часть контурного уравнення содержит только один член — контурную з.д.с.
рассматриваемого контура. 205 Как следует из (4.5) и (4.8), токи всех ветвей цепи могут быть выражены через контурные токи этой цепи. Взаимным, или общим, сопротивлением гго и гсго контуров называется сопротивление Я~„>, равное сумме сопротивлений ветвей, общих для этих контуров. Взаимное сопротивление 201> берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении; если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления, то взаимное сопротивление берут со знаком минус.
Если рассматриваемые контуры не имеют общих ветвей, то их взаимное сопротивление равно нулю. Взаимные сопротивления контуров цепи (см. рис. 4.1) Полученные результаты могут быть обобщены на случай произволь>ой линейной пепи, составленной из сопротивлений, емкостей, нн[уктивностей и независимых источников напряжения: гп„~п+г„.„у„+ ...
(-Ло«> 1«„:=-я„; ~м» >>> > ~>2>> >м ! - ! л>з«> >«» =аз»> (4. 12] ~>»» ~и+~>«з> 1м+ ° "+т>««> ~«» Е»» де и =- р — о 1- ! — число независимых контуров цепи. Итак, зная труктуру контурного уравнения, нетрудно сформировать систему онтурных уравнений любой цепи, не прибегая к составлению основой системы уравнений электрического равновесия Используя матричную форму, уравнения (4.12) можно переписать ~п» 1н=Еп. (4.13) 1десь Е<»> 2,»> ... 2,>»> » <з» Х>>з>," ~ы»> ~<>г> = г„, г„, ...к,„„> матрица контурных сопротивлений; 1» !п= Еп Е>а Е»» матрицы-столбцы контурных токов и контурных э. д.
с. Для линейных цепей„составленных только из сопротивлений, емостей, индуктивностей и независимых источников напряжения, матица контурных сопротивлений квадратная, причем вследствие того, го для таких цепей всегда выполняется условие Л!>4> —— Лц», мавнца Х»>> симметрична относительно главной диагонали.
Решая систему уравнений (4.13) любым из методов, можно найти се неизвестные контурные токи цепи. Например, используя формулы .рамера, запишем выражение для контурного тока й-го контура « где Л вЂ” определитель системы уравнений (4.!3); Ьсв — алгебраиче,кое дополнение элемента 2ссы этого опРеделителя. В аналогичной форме могут быть записаны выражения для контурных токов всех остальных контуров. Следует отметить, что формулы Крамера, позволяющие получить в явной форме аналитические выражения для контурных токов, нашли применение лишь при теоретическом исследовании свойств электрических цепей. Вычисление значений контурных токов при и ~ 3 с помощью формулы Крамера является весьма трудоемким. Поэтому на практике обычно используют более экономичные методы, такие, например, как метод исключения Гаусса или ЬУ-преобразование 14, 31 Если электрическая цепь помимо сопротнвлвссий, емкостей, индук. тивностей и независимых источников напряжения содержит также независимые источники тока, то последние с помощью Рассмотренных в 4 2.6 преобразований можно заменить независимыми источниками напряжения.
Однако систему контурных уравнений такой цепи можно составить и не прибегая к преобразованию источников. Пусть в состав исследуемой цепи модин р„, ветвей, включающих независимые источники тока. Выбереы дерево цепи таким образом, чтобы ветви с источниками тока вон|ли в состав главных ветвей. Очевидно, что контурные токи контуров, которые замыкаются главными ветвямн, содержащими источники тока, равны токам соответствующих независимых источников. 3гги токи заданы и не требуют Определения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
