ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Таким образом, число неизвестных контурных токов меньше числа независимых контуров и =- р — д 1 1 па р„,. Для определения неизвестных контурных токов необходимо составить систему иэ р— — Рк, — д 4 ! контУРных УРавнений длЯ контУРов, не содеРжащи" ветвей с источниками тока. Контурные уравнения такой цепи могут быть записаны в такой же форме, как и контурные уравнения цепи, ие содержащей источников тока (4.12), (4.13), Однако матрица контурных сопротивлений в этом случае будет не квадратной: число столбцов будет равно числу независимых контуров и = р — д ь 1, а число строк — числу неизвестных контурных токов р — р„, — с) + 1. После формирования контурных уравнений в форме (4.12), (4.13) входящие в каждое уравнение члены, содержащие известные контурные токи, переносят в правую часть соответствующих уравнений. ЭФФИ ° Пример 4.З.
Составим систему контурных уравненйй для цепи, схема которой приведено ни рис. 4.2, а Число ветвей втой цепи р - б, число узлов у = 4, число ветвеи. содержащих источники тока, рссе = !. Выберем дерево грофа цепи таким образом, чтобы велта с источником тоха вошла в число главных ветвей Соответствуюисая выбранному дереву свете.ва независимых контуров изображена на рис. 4.2, б. В свйзи с тем что число независимых контуров цеаи равна р — у у 1 Э, а число «еиэвестйых контурных токов р — ряч— — у 4 ! = 2, система контурных уравнений имеет йид дно 1„-1 х„м (тс 2„„,)„=-Вм; ХСвс! )сс + Х вв> )вв+ х„в> /вв.
Ввв, гяе 1и = 1з, 1зг = 1з — неижестные контурные токи первого и второго контуров; 1зз = 1з =,1 — иэистный контурный ток третьего контура; Хи —— = — Хз+ Хз,' Хзз = Хз+Хз+Хз — собственные сопротивления первого и второго контуры; Х„=- Х<зз1 = — Хз, Хгзз) = — Х„, Х(зз)=0 — вэаимные сопротивления контуров; Еи —— Е, Е з =- 0 — контурные э.д.с. первого и второго контуров.
11еренося члены, содержащие известный контурный ток, в правую часть уравнений и выражая собственные и взаимные сопротивмния контуров жреэ параметры элементов рассМитривоемой цепи, получием окончательно (Хз-',— Хз) 1и — Хз1зз--Е' Хз 1и+ (Хз+Хз+Хз) 1т =Хе у. Таким обраэом, система кон турнььх уравнений рассматриваемой цепи содержит два уравнения для определения двух неизвестных контурных токов.
Метод критуриых токов можно использовать и для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными иидуктивиостями, однако алгоритм формирования матрицы контурных сопротивлений при этом усложняется. Поэтому при анализе цепей с взаимной индуктивностью целесообразно либо заменять связанные индуктивногти участками цепей, не содержащими связанных индуктивностей, либо формировать уравнения электрического равновесия с помощью метода токов ветвей.
В ряде случаев при составлении контурных уравнений в качестве независимых удобно выбирать ие главные контуры, а контуры, соот. ветствующие ячейкам графа рассматриваемой цепи. Следует, однако, иметь в виду, что такой подход применим только к анализу цепей, граф которых является плаиариым. Метод узловых напряжений При составлении уравнений электрического равновесия цепи по методу напряжений ветвей в качестве независимых переменных были использованы р — рпи неизвестных напряжений. Принимая во виимание, что напряжения ветвей связаны р — д + 1 уравнениями баланса напряжений, количество независимых напряжений, отиосительно которых формируется система уравнений электрического равновесия цепи, может быть уменьшено до с1 — р„„— 1.
Если дерево графа цепи выбрано так, что ветви, содержащие только независимые источиики напряжения, вошли в число ветвей дерева, то в качестве иезависимых переменных можно выбрать неизвестные а — р„„— 1 напряжения ветвей дерева. Такой метод формирования сокращенной системы уравнений электрического равновесия цепи называется м ет о д о м и а п р я ж е и и й в е т в е й д е р е в а. Этот метод ие получил широкого распростраиеиия.
В качестве независимых переменных, относительно которых формируют уравнения электрического равновесия цепи, удобно использовать так называемые у з л о в ы е и а п р я ж е и и я, т. е. иапряжеиия независимых узлов рассматриваемой цепи относительно базисного.
Можио показать, что напряжения всех вепией электрической це- пи могут быть выраженьз через узловые напряжения втой цепи. Действительно, напряжение некоторой ветви, включенной между 1-м и базисным узлами, равно узловому напряжению 1-га узла (),з, взятаго со знаком плюс илн минус в зависимости от направления напряжения этой ветви, а напряжение ветви, включенной между рм и )см узлами (рис. 4.3), — разности узловых напряжений этих узлов (1„— и„. Если исследуемая цепь не содержит независимых источников напряжения, то все д — 1 неизвестные узловые напряжения независимы. Если цепь содержит р„„ветвей, составленных только из независимых (4) Хк ~к (б) о ьл В а Пк="1з пуз й;, Ьо !01 Рис. 4.4. К составлению урзвиений злептричесхого рзвиовесня методом узловых нзпряжеиий Рис.
4.3, К определению понятия узлового нвпря- жения )з+ 1з+ ~4 — 1з = 0; — 1,— -1,+1,= 0; 1з — (з+ !з — )з = О. (4.15) 209 источников напряжения, то узловые напряжения р„„узлов могут быть выражены через д — р„„— 1 независимых узловых напряжения, для определения которых записывают д — р„„— 1 уравнений электрического равновесия цепи, называемых у з л о в ы м и. Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи, в котором в качестве независимых переменных используются неизвестные напряжения независимых узлов относительно базисного, называется м е т одом узловых напряжений.
Рассмотрим метод формирования узловых уравнений на примере цепи, не содсржлиггй источников напряжения (рис. 4.4). Рассматриваемая цепь получена из цепи, схема которой изображена на рнс. 4.1, а„путем преобразования источников напряжения в источники тока и замены комплексных сопротивлений ветвей их комплексными проводимостями.
Она имеет три независимых узла, для которых можно составить уравнения баланса токов Выразим неизвестные токи ветвей цепи через напряжения этих ветвей, а напряжения ветвей — через соответствующие узловые напряжения: >> =!ь с>ь =! з ()>а! >а = ! а(>ь= Уа Шм — (>ьа)1 з Уз 1>а = 1"а (7зе~ 7ь= 1'а (7ь = Уз (()зе 1)ае)~ (4 16) )а 1 а (>а = 1 з ((>>о >'>зе)> ~в = !а ()а = !'е (4о. Подставляя выражения (4.16) в (4.1б), получим систему уравнений для определения трех неизвестных узловых напряжений (У,+У,+У,) им — У,()„— У,и =,7;, 1 4 ('>о+ (~ а + ! ь+ ! в) (7м Уь (>во — О,' ! з (7зв 1 ь (>м+ (Уа+ Уа+ Уа) 0зе = )з. Введем ряд новых понятий.
Собственной проводим о с т ь ю Уып >'-го узла будем называть сума>у проводимостей всей ветвей, подключенных к данному узлу. Для рассматриваемой цени У»» ! >+Уз+'Ув ! >м> =Уа+Уь+)в. У>зз>=! з+! з+! ь (4 17) У>>з> = Уга» Уа~ Умз> = У>зз> = Уа; У>>з> = У>зи = — Уз (4.18) У зло в ым ток ом >>о >-го узла называется алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к данному узлу. Если ток какого-либо источника тока направлен к 1-му узлу, то он входит в 7>о со знаком плюс, если ток направлен от 1-го узла, то он входит в 7>о со знаком минус. Для рассматриваемой цепи 7>о = >ь' 7>о=О', 7зо =7з.
(4.! 9) Используя обозначения (4.17) — (4.19), представим узловые уравнения исследуемой цепи в канонической форме записи У»,> (7>о+У>>з> 0зв-Ф У»з> (7зв= Гьо' ! >2» с>за+У(22> а>во+У>аз> ь>за= зев~ (4.20) У>з» 0м+ У<зз> Оав+ У>зз> 0зв=взв Взаимная проводимость Ого и >его узлов — зто сумма проводимостей всех ветвей, включенных непосредственно между этими узлами, взятая с противоположным знаком.
Если в цепи отсутствуют ветви, включенные непосредственно между 1-м и )хм узлами, то У»» = О. Для цепи, схема которой приведена на рис. 4.4: Итак, леван часть любого узлового уравнення, составленного для 1-го неэавнснмого узла, есть сумма членов, один нз которых равен пронзвеаенню узлового папряження 1-го узла на его собственную проводнмост!ч а остальные— яронзведенням узловых напряжений другнк яезавнснмых узлов ка взанмные проводкмостн 1-го узла н этик узлов. Правая часть каждого уравнения равна уз„овому току соответствующего узла. Таким образом, составить узловые уравнения, как и контурные, можно непосредственно по схеме электрической цепи. Написание уравнений электрического равновесия цепи по методу узловых напряжений упрощается еще за счет того, что не возникает необходимости определять систему независимых контуров и строить дерево графа. Для линейной электрической цепи, имеющей и> = (> — 1 незавимых узлов н состоящей только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей н независимых источников тока, система узловых уравнений может быть записана в виде 1 (>!) 1>10+У((2) ()20+" +У()т) с>те= (1е' 1 (2!) 1>10+У(22) ~20+"'+У(тт) 1>те 2201 14.21) У,„н им+У и +...+У...
и„',=У', или 14.22) у„г> ию= ую, где У(„) У((2>... У((т> '1> . — 1 (2!) У[22)" У(2т) 1 (т!) У(т2)" 1 (тт) матрица узловых проводимостей цепи; :! )10 20 уто матрицы-столбцы узловых напряжений и узловых токов. Можно убедиться, что для цепей рассматриваемого типа всегда вы полняется условие У(;;> =- У(„>, поэтому матрица узловых проводи мостей таких цепей квадратная н симметричная относительно главной диагонали. 2>! Решая систему узловых уравнений любым из способов, определяют все неизвестные узловые напряжения. Так, используя формулы Крамера, найдем узловое напряжение я-го узла: Здесь Л вЂ” определитель системы уравнений (4.22); Л;д — алгебраическое дополнение элемента У«э> этого определителя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
