yavor2 (553175), страница 65
Текст из файла (страница 65)
75.2. му координат, по осям которой отложим значения проекций импульса электрона р„р„, р, (рис. 75.2). Любая точка А в этом своеобразном трехмерном «пространстве» изображает определенное значение импульса электрона не только по величине, но и по направлению. В самом деле, соединив точку А с началом координат, получим вектор р, модуль которого задает численное значение импульса электрона: р=)~ р«»+р„'+р,' или р'= р„'+р'„+р',. (75 5) Углы а, р и у, составленные вектором р с осями, определяют направление импульса электрона: сова = р„(р; соз(1 = р,7р; соз у = р,/р, (75,6) Пространство, о котором идет речь, называется импульсным пространством. Вспомним, что в обычном пространстве положение точки В характеризуется вектором г, проведенным в эту точку из начала координат (рис.
75.3). 2. Импульсное пространство позволяет определить состояние электронов на уровне Ферми. Постоянной энергии электрона по формуле (75.3) соответствует в пространстве импульсов простой геометрический образ — поверхность сферы с радиусом р. Рассмотрим электрон, находящийся на уровне Ферми и имеющий максимальную энергию 8„. Связь энергии 8 с импульсом р„ такого электрона выражается формулой (75.4).
Таким образом, в пространстве импульсов свободному электрону с энергией 8г соответствует поверхность Ферми в виде сферы с радиусом р„(рис. 75.4). Поверхность Ферми иначе называется поверхностью максимальной энергии. В случае несвободного электрона, движущегося в сложном электрическом поле ионов кристаллической решетки, поверхность Ферми имеет весьма сложный вид. 3. Попытаемся связать энергию Ферми 47 с числом и свободных электронов в единице объема металла. Пусть два из них находятся на уровне с энергией е7„.
Тогда импульсы всех остальных электронов должны закчючаться внутри сферы с радиусом ре= — Р 2теуе . Рис. 78.3. Рис. 78.4. Разобьем все пространство импульсов на маленькие ячейки, размеры которых мы попробуем далее оценить. Тогда конец вектора импульса любого электрона — точна А на рис. 75.2 — всегда будет попадать внутрь какой-либо из элементарных ячеек. Важнейшим положением квантовой теории металлов является следующее утверждение: каждая элементарная ячейка представляет собой квантовое состояние с определенной энергией. В каждой ячейке может накодиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Для того чтобы оценить размеры элементарной ячейки импульсного пространства, воспользуемся соотношениями неопределенностей Гейзенберга (9 70.2).
Рассмотрим некоторый кубик металла с линейными размерами з, так что Р= 'и'. Если в таком объеме свободно движется электрон, то его положение в пространстве может быть определено с точностью до линейных размеров металла: Лх т ж Ьуж Агой Тогда из соотношений (70.4) — (70.6) следует, что проекции ймпульса электрона могут быть определены с такой точностью: "зЄ— сзР„- ЛР, = й75 Элементарный объем ячейки импульсного пространства, о которой идет речь, выразится следующим образом (рис. 75.2): Ььз = ЛРз йРз.
ЛРз = — Ь/(з = Ь!)7. (75.7) Точный расчет приводит к результату: $з Ьз Дьз — 8пз (75.8) 998 4. Разобьем теперь все простравство внутри поверхности Ферми — сферы с радиусом лл — на ячейки объема Лю. Если в объеме )г металла находится Лг электронов, то, в соответствии с предыдущим, в каждом квантовом состоянии — ячейке с объемом Лы— разместится по два электрона. Всего окажутся заполненными М/2 ячеек ), которые имеют объем — ° —.С другои стороны, зто есть ДГ 1Н 2 т'' обьем сферы Ферми в импульсном пространстве с радиусом рг.
Следовательно, имеем равенство: 4 3 М 113 и 3 '~ 2 2 г' 2 где и = Ж/)г есть концентрация электронов в металле. Из формулы (75.9) можно получить связь р„и 8„с концентрацией электронов ии (зл )Ыз (75.10) (75.11) Как видно из последних формул, импульс и энергия электрона на уровне Ферми завпсят только от концентрации электронов в металле. Например, при концентрации электронов 11ж 10за м-', подставив в (75.10) численные значения й = 6,62 10 " Дж.с и т = 9 1О " кг, получим р„ = 2 10 " кг мус. Такому значению импульса соответствует скорость о„ электрона в металле, равная г. во„= г ж — — ж 2.10' м/с. ю 9,10-зь По формуле (75.11) можно получить значение 8 .ж 1,6 10-" Дж ж ж 10 зВ.
В 9 75.6 мы увидим, что все приведенные выше оценки справедливы при температуре электронов в металле, равной абсолютному нулю: Т =0 К. 5. Сравним энергию электрона, находящегося на уровне Ферми, со средней энергией ЙТ„„ электрона в классической электронной теории. Из условия 8л= йТ„а получим, что энергию Ф. частица классического электронного газа имела бы при температуре Тию равной Ж'„ 1,3.19- й 1,38 1О т.
е. при такой температуре, когда само существование твердого металла невозможно — он расплавится. Совершенно очевидно, что 299 *) При этом мы предполагаем, что все ачейии внутри сферы Ферми заполняются с равной вероятностью. электронный газ в металлах не подчиняется классической статистике Л!аксвелла — Больцмана. Для изучении свойств и поведения электронов в металлах необходимо учитывать, что электронный газ в металлах — это особый «квантовый газ», который подчиняется квантовой статистике. 9 75.5. Понятие о вырождении электронов в металле 1.
В квантовой статистике электронов и других систем частиц со спином 6~2 учитываются принципиальная неразличимость тождественных частиц, подчинение их принципу Паули, а также то, что электрон в металле может иметь лишь определенные, дозволенные значения энергии. Из численных оценок, приведенных в пп. 4 и 5 предыдущего параграфа, видно, что свойства электронного газа сильно отличаются от свойств классического электронного газа. Отклонение свойств газа от его классических свойств называется вырождением газа. Температурой вырождения Т,„называется температура, ниже которой данный газ ведет себя как вырожденный.
Зтот вопрос уже обсуждался в 2 26.8. 2. Покажем, что электронный газ всегда является вырожденным. Для этого оценим температуру вырождения Т,„системы микрочастиц (в частности, электронов в металле), обладающих квантовыми свойствами. Как показано в 2 26.8, температура вырождения имеет следующий вид: Т, =- Й'и'""~Зйт. (75 !2) Если пренебречь конечностью постоянной Планка и считать ЙжО, то Т,„»-~-0, откуда видно, что вырождение газов имеет квантовую природу. Для элентронного газа в металлах п- 10" м-' и т =9 10-" кг.
Формула (75.12) дает Т,„р ж 1,84.10' К. Следовательно, электронный газ в металлах практйчески всегда вырожден вследствие малой массы электрона и большой плотности частиц. Только при температурах выше нескольких десятков тысяч градусов электроны металла подчинялись бы классической статистике Максвелла — Больцмаиа. Однако существование металла в конденсированном состоянии при таких температурах невозможно. В полупроводниках концентрация электронного газа много меньше, чем в металлах, и составляет иногда !О" м '. В этих условиях температура вырождения ничтожно мала (Т,„, 10 ' К) и электронный газ в полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике.
Кроме электронов в металлах, примером вырожденного газа является фотонный газ. В самом деле, представим себе, что в замкнутой полости, стенки которой имеют температуру Т, находится электромагнитное поле. Такой случай мы рассматривали в главе о тепловом излучении (гл. 67). Рассматривая это излучение как фотонный газ и учитывая, что масса покоя фотона равна нулю (о«=0), получим, что для фотонного газа Т„= оо. Фотонный 300 Рис 75 5 ') Если в обьеые ! ма находится и частиц. а среднее расстояние вежду ч астицами есть Лх, то очевидно, что Лха и=.
1, откуда Лх= в газ при любых конечных температурах является вырожденным газом. На рис. 75.5 показана зависимость энергии электронного газа в металлах от температуры. При Т~ Тв„, на участке ВА электронный газ ие вырождеи и энергия его пропорциональна температуре, как и у обычного газа (см. $ 26.5). Ниже Т„„„при Т = Т,„„ электронный газ становится вырожденным. Энергия электронов и скорость их движения в этой области температур (участок СВ кривой) практически не зависят от температуры. Этот результат показывает, что классическое определение температуры как физической вели- х чины, пропорциональной средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа (см. $ 26.5), справедливо лишь при температурах, ббльших, чем температура вырождения газа.
О Для обычных, молекулярных газов Фвв классическое определение температуры является пригодным практически при всех температурах (см. $ 26 8). 3. Резкие отличия свойств вырожденного электронного газа от свойств обычных классических газов можно иллюстрировать одним весьма поучительным соображением. Как известно (см. 3 26.3), в основе понятия об идеальном газе лежит возможность пренебречь взаимодействием между молекулами и считать, что молекулы движутся свободяо, лишь сталкиваясь друг с другом.
Можно сказать, что обычный газ тем идеальнее, чем меньше потенциальная энергия взаимодействия его молекул по сравнению с их кинетической энергией. Известно, что чем более разрежен газ, чем меньше его плотность, тем более его свойства приближаются к свойствам идеального газа. Для вырожденного электронного газа в металлах справедливо обратное: он тем ближе по свойствам к идеальному газу, чем больше его плотность, т. е. чем меньше расстояние между электронами. В самом деле, потенциальная энергия 1У взаимодействия электронов пропорциональна ев/а„ где е — заряд электрона, а — среднее расстояние между электронами, равное по порядку величины ч ч п- и в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
