yavor2 (553175), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Таким образом, Уже'и Н. Кинетическая энергия К электрона в металле, в области„где вырождение электронов существенно, 3 3 оввв7в имеет величину К ж — *яТ вЂ” — †. Оказывается, что с я выа х ростом концентрации и электронов кинетическая энергия электронов растет быстрее, чем потенциальная энергия их взаимодействия. А это условие определяет большую близость газа к идеальному.
в 75.6. Распределение электронов в металле по энергиям при абсолютном нуле 1. Из содержания предыдущих параграфов этой главы становится совершенно ясным, что вырожденный электронный газ должен подчиняться статистическим законам, существенно отличающимся от классических (см. Ц 25.2, 26.10 и 26.11). Рассмотрим некоторые результаты, полученные в квантовой статистике Ферми — Дирака для электронов в металле. Наиболее разительными являются отличия выводов классической и квантовой статистики при сверхнизких температурах. На рис. 75.6 изображена Рис.
76.6. Рис, 76.7. кривая распределения электронов металла по дозволенным энергетическим уровням при Т = 0 К. По оси абсцисс отложены номера У энергетических уровней, отсчитываемые от дна потенциального ящика, а по оси ординат — числа электронов, находящихся иа данном уровне.
Так как уровни энергии дискретны, то распределение при энергиях, меньших 8г, изображается совокупностью большого числа точек, расположенных по одной прямой (на рисунке показана просто прямая, проведенная через эти точки). Электроны, в соответствии с принципом Паули, попарно занимают все энергетические уровни от дна ящика до уровня Ферми. Номер верхнего занятого уровня ферми равен гг!2, где и — концентрация электронов в металле *). 2. Среднее расстояние между двумя соседними энергетическими 8, 28, уровнями электронов в металлах равно Л8= — = . Приняв л72 и концентрацию электронов и равной 10" м ' и значение 8р ж 10 эВ 12 75.4), получим, что Лб' ж 10 " эВ, т.
е. эиергетйческие уровни расположены весьма близко и образуют густую, почти непрерывную последовательность. Однако кривая рис. 75.6 не дает распределения электронов по энергиям при Т = 0 К . Для того чтобы описать это распределение, необходимо учесть, что, как показывают теоретические расчеты, ') Речь идет о распределении по энергетическим уровням электронов, находящихся в единице объема.
302 число уровней, соответствующих значениям энергии в пределах отодоо.+ Ьеу, прямопропорциональнопроизведению)~8 Л4'. Это позволяет найти число электронов Ап, которые при общем числе и электронов в единице объема при температуре Т = 0 К имеют энергии, заключенные в пределе оте7 дое7-1- Леу. Кривой распределении электронов металла по энергиям называется кривая, изображающая зависимость Ьп(Ь4отеу. На рис. 75.7 изображена эта кривая при Т = 0 К.
Из нее видно, что при абсолютном нуле нег электронов с энергией, большей е7т Кривые рисунков 75.6 и 75.7 соответствуют друг другу и указывают, что энергия 8г (энергия Ферми) является наибольшей энергией электрона в металле при Т = 0 К. $75.7. Влияние температуры иа распределение электронов по энергиям 1. Согласно квантовой статистике, важнейшим свойством электронов в металле является малая чувствительность их концентрации и энергии к изменению температуры. Рассмотрим, как изменяется при нагревании кривая распределения электронов по энергиям, изображенная на рис. 75.7.
С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и, получив энергию, должны переходить на более высокие энергетические уровни. Это должно изменить то распределение электронов по энергиям, которое устано- у вилось при Т= 0 К. Для того В' чтобы понять, как выглядит это изменение, вспомним, что У энергия ферми Г„при абсо- Я лютном нуле температуры г составляет приблизительно 10 эВ, а средняя энергия, Рнс 70 З передаваемая электрону при нагревании, имеет порядок величины средней энергии теплового движения йТ. При комнатных температурах (Тж 300 К) величина 'яТ составляет 0,025 эВ, т. е. выполняется условие йТ КГт (75.
13) 2. Неравенство (75.13) показывает, что в этих условиях тепловому возбуждению могут подвергаться лишь те электроны, которые находятся на энергетических уровнях, расположенных вблизи уровня Ферми — верхнего занятого уровня при Т = 0 К. Эти уровни образуют узкую полосу шириной пТ, непосредственно примьпсающую к уровню Ферми. На рис. 75.8 эти полосы уровней заштрихованы. Особенно важно, что электроны более глубоких уровней остаются практически неза- 303 тронутыми, так как энергия, которую они получили, недостаточна для их возбуисдения, т.
е. перевода за уровень Ферми, а выше расположенные уровни заняты. В результате нагревания часть электронов, имеющих энергию, несколько меньшую, чем куг, перейдет на уровни с энергией несколько большей, чем й'„, и установится новое распределение электронов по энергетическим состояниям. На рис. 75.9 и 75.10 изображены кривые, аналогичные кривым П Х Рис. 75.9. Г ь Рис. 75.10. Коэффициент 2 появляется вследствие того, что, согласно принципу Паули, на каждом уровне могут находиться по два электрона с противоположно направленными спинами. Если предположить, что за уровень Ферми переходит половина всех электронов, размещаю- шихся в полосе шириной йТ, то для числа Ьп электронов, испытавших тепловое возбуждение, получаем соотношение Ла ж — и.
хТ 2~и (75.14) Прн комнатных температурах и значениях 4'„ж 5 — 1О эВ получим, что Ьпlп < 0,01. Таким образом, лишь незначительная доля 304 рис. 75.6 и 75.7 и удовлетворяющие неравенству (75.13). Сравнение кривых при Т =0 К и Т ~0 К показывает, что они отличаются друг от друга лишь характером спада вблизи уровня с номером п)2 и вблизи уровня 4 р. При Т = О К кривые спадают резко, скачкообразно, по вертикали, а при Т ~ 0 К спад происходит по плавной кривой, сливающейся с осью абсцисс.
Кривые рис. 75.9 и 75,10 выражают тот факт, что при нагревании возбуждаются лишь электроны, расположенные на уровнях, ближайших к уровню Ферми. Распределение же по состояниям и энергиям электронов, находя- шихся на глубинных энергетических уровнях, остается таким же, как и при Т=О К. 3. Оценим приближенно число электронов Ли, которые на. ходятся ниже уровня Ферми в полосе уровней шириной йТ. В этой полосе размещается яТ)М уровней, бк7 = 24'„lп — расстояние между соседними уровнями (2 75.6). Число электронов, которые смогут разместиться на этих уровнях, равно ЬТ 2ЬТ а ЬТ 2 — = — = — а.
Лб" 2~г ф.г электронов, меньшая 1%, возбуждается при нагревании. Это означает, что во всем диапазоне температур, в котором электронный газ вырожден, распределение его электронов по энергетическим состояниям весьма мало отличается от распределения при абсолютном нуле.
Но, как показано в Э 75.5, электронный газ является вырожденным при всех температурах, допускающих существование металла в конденсированном состоянии. Следовательно, распределение электронов металла по энергетическим состояниям при любых температурах мало отличается от распределения при абсолютном нуле. Отсюда следует важный вывод о том, что концентрация электронов в металлах и скорость их теплового движения не зависят от температуры металла. 4. До сих пор мы совершенно не касались вопроса о том, влияет ли нагревание металла на положение верхнего занятого электронами уровня — уровня Ферми.
Подчеркнем, что до сих пор мы во всех соотношениях испольэовали 4е — энергию Ферми при абсолютном нуле. В квантовой статистике доказывается, что с повьииением температуры уровень Ферми несколько понизсается. В контактных явлениях, происходящих при соприкосновении разнородных металлов, незначительная температурная зависимость энергии Ферми является причиной термоэлектрических явлений 6 44.8). 5.
В заключение заметим, что между кривой распределения частиц по энергиям в квантовой статистике (рис. 75.10) и классическим законом максвелловского распределения молекул газа по энергиям имеется закономерная связь. При высоких температурах, когда газ перестает быть вырожденным, кривая распределения частиц по энергиям в квантовой статистике переходит в кривую максвелловского распределения (см. 4 25.2). $ 75.8. Теплоемкость вырожденного электронного газа !. Как мы видели (Я 45.2 и 75.1), классическая электронная теория металлов не сумела объяснить того, что электроны практически ие вносят вклада в теплоемкость металла. Теплоемкость электронного газа чрезвычайно мала по сравнению с теплоемкостью кристаллической ионной решетки.
Причина этого была выяснена только после того, как были вскрыты свойства вырожденного электронного газа в металлах, 2. Вычислим ту энергию И/, которую поглощают при нагревании электроны, испытывающие тепловое возбуждение. Для того чтобы затем перейти к теплоемкости металлов, удобнее вести рассуждение относительно числа ЛйГ электронов, которые из общего числа ЛГ свободных электронов, содержащихся в киломоле металла, подвергаются тепловому возбуждению. Очевидно, что Ьп ЬМ и Л~ 305 где числа электронов Лп и п относятся к единице объема металла. При тепловом возбуждении каждый электрон поглощает энергию, равную по порядку величины яТ. Все электроны ЛУ, которые возбуждаются и переходят на более высокие энергетические уровни, получают энергию ЛУ =-йТ ЛУ=)УйТ вЂ”.
2б"-р ' При этом мы использовали соотношение (75.14). Как известно (к 44.2, табл. 44.1), у одцовалентных металлов на один атом приходится по одному свободному электрону. Тогда число Л' свободных электронов в кнломоле металла совпадает с числом Авогадро Ух, а произведение М„й = Л есть универсальная газовая постоянная (см, 2 26.9). Таким образом, ЛУ„= — РТ 'нТ)2б.р, Теплоемкость одного киломоля электронного газа получим по формуле (45.4): С = — =1 —, сд~~ ИТ Т 2б"р ' (75.15) 3. Сравним выражение (75.15) с теплоемкостью С„, невырожденного одноатомного газа, подчиняющегося законам классической кинетической теории газов. Как известно (см. формулу (27.14)), С„, = '/„)с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
