yavor2 (553175), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В молекулярной физике доказывается, что средняя скорость теплового движения частиц зависит от температуры по закону и )~ Т. Для того чтобы объяснить экспериментальную зависимость ч от Т вида 7-1!Т по формуле (44.15) или (75.1), можно предположить, что произведение пХ обратнопропорциональноо ~~ Т (т. е. и).— 1(~ Т). Пользуясь выражением для ). из кинетической теории газов (см. в 25.3), невозможно обосновать такую зависимость. Таким образом, классическая электронная теория не объяснила зависимости удельной электропроводности (илн удельного сопротивления) от температуры. 4.
Исходя из наблюдаемых на опыте значений удельной электропроводности у (или р = 1/у), можно подсчитать, какие значения средней длины свободного пробега электрона 7 соответствуют опытным данным. Это легко сделать по формуле (44.15) или (75.1). Предварительно нужно подсчитать и по формулам кинетической теории газов, а концентрации электронов определить, например, по эффекту Холла (3 44.2).
Оказывается, что 7, при комнатных температурах (Т=300 К) имеет величину порядка 10-' — 10 ' м, т. е. в десятки или сотни раз ббльшую, чем период решетки металла. Между тем в теории Друде — Лоренца считалось, что электрон имеет среднюю длину свободного пробега, сравнимую с расстояниями между ионами в кристаллической решетке металлов. 5. В $ 45.2 показано, в соответствии с экспериментальными данными табл. 44.1, что электронный газ не вносит необходимого вклада в теплоемкость металла. Это находится в резком противоречии с классической теорией, согласно которой электроны в металле ведут себя как одноатомный газ и должны иметь молярную теплоемкость, равную 3 ккал/(кмоль К).
Указанная трудность с теплоемкостыо металлов была особенно существенна потому, что речь шла о кажущемся нарушении закона сохранения энергии. Недостатки и трудности классической теории электропроводности металлов устранены в квантовой теории металлов. в 75.2. Квантование энергии электронов в металле 1. Развитие квантовой механики привело к созданию квантовой теории твердого тела, позволившей более глубоко и с единой точки зрения обьяснить электрические, оптические и другие свойства металлов, кристаллических диэлектриков и полупроводников.
Это, в свою очередь, создало возможность еще более широкого применения твердых тел в различных отраслях науки и техники. В данной и следующих главах будут рассмотрены некоторые идеи современной квантовой теории твердых тел и ее применения, В первую очередь 294 мы рассмотрим основы современных представлений об электропроводности металлов. Для этого необходимо учесть все особенности поведения электронов в металле и принять во внимание, что электроны в атомах, молекулах и кристал.тах подчиняются законам квантовой механики. 2. Будем считать, что свободные электроны в металлах представляют собой электронный газ, частицы которого движутся так, как будто положительные ионы кристаллической решетки не создают никакого электрического поля.
Тогда движение электронов можно описать с помощью модели потенциального ящика с плоским дном (9 70.4). Если считать, что вне металла потенциальная энергия электрона равна нулю, то внутри металла она равна А„где А,— положительная работа выхода электрона из металла.
Другими словами, свободные электроны металла находятся внутри «потенциальной ямы» («потенциального ящика») с вертикальными стенками конечной глубины. В 9 70А показано, что электроны в такой потенциальной яме имеют квантованные, дискретные значения энергии, могут находиться лишь на определенных энергетических уровнях. Правда, значения энергии е7„ электрона в металле, строго говоря, нельзя подсчитывать по формуле (70.1б), ибо стенки потенциалыюго ящика в случае металла имеют конечную высоту. Однако для нас важен сейчас не конкретный вид зависимости энергии электрона от размеров ящика и от квантового числа п. Существенно, что электроны в металле могут, как и в атоме, находиться лишь на определенных энергетических уровнях. Между расположением энергетических уровней электронов в металлах и уровней энергии электронов в изолированных атомах имеется существенное отличие: в атомах разность энергий электронов на двух соседних уровнях значительно больше, чем в кристаллах.
$ 73.3. Уровень Ферми для электронов в металле 1. Классическая электронная теория металлов исходила из того, что электроны в металлах подчиняются классической статистике Максвелла — Больцмана. Именно этим путем Лоренц получил для удельной электропроводности формулу (73.1). Но электроны и другие микрочастицы обладают рядом свойств, которые совершенно не принимаются во внимание при классическом описании коллективов частиц в статистике.
Напомним, что в классической физике не могла приниматься во внимание двойственная корпускулярно-волновая природа частиц. Она не была известна до 1924 г., когда начала развиваться квантовая механика. Кроме того, принципиальная неразличимость тождественных микрочастиц (Я 73.1, 74.3) тоже не учитывалась в классической статистике.
Наконец, электроны и другие микрочастицы, которые имеютспин, равный В!2, подчиняются принципу Паули (9 73.1), который вносит ограничения в возможное распределение электронов по знергети- 295 ческим состояниям. В 1926 г. Ферми и Дирак разработаликвантовую статистику системы частиц, в которой учитывались все перечисленные характерные свойства электронов и других частиц со спином Ь/2. 2.
Основной задачей статистики коллектива частиц является отыскание закона распределения частиц по скоростям или энергиям. Например, в Я 25.2, 26.10 и 26.11 мы рассмотрели закон распределения газовгях молекул по скоростям, установленный Максвеллом, и распределение молекул газа по энергиям в поле силы тяжести. Основная задача статистики для свободных электронов в металлах формулируется следующим образом: отыскать, какая доля электронов из общего числа их при данной температуре Т имеет скорости, заключенные в интервале от о до о+ Ьо, или, соответственно, энергии, заключенные в интервале от гу до,й'+ Лег.
Точнее: если имеется п электронов, находящихся в единице объема металла, то какая часть из них Ьп имеет энергии, заключенные в узком интервале Ьву энергий. 3. При решении этой задачи необходимо учесть основные свойства электронов в металлах, перечисленные в п. 1 этого параграфа, Необходимо исходить из того, что электроны в металле могут иметь лишь некоторые разрешенные значения энергии, иначе говоря, могут находиться на определенных энергетических уровнях. Очевидно, что все электроны стремятся занять наиболее низкие энергетические уровни, как самые устойчивые.
Однако нужно учесть, что электроны подчиняются принципу Паули. Принцип Паули накладывает ограничения на число электронов, которые могут находиться в данном состоянии (з 73.1). Применительно к электронам в металлах принцип Паули можно сформулировать несколько иначе, чем зто сделано в 5 73.1: среди электронов в металле не может быть больиге двух электронов, находящихся в одинаковых состояниях; саины этих двух электронов должны быть антипараллельньи 4. В соответствии с принципом Паули электроны попарно занимают дозволенные энергетические уровни, начиная от Рис.
753. самого нижнего. 11а рис. 75.1 горизонтальными линиями изображены энергетические уровни, заселенные электронами. Из рисунка видно, что работу А, выхода электрона из металла нужно отсчитывать от верхнего из занятых электронами энергетических уровней. Верхний занятый энергетический уровень играет большую роль в квантовых представлениях о твердом теле. Он называется уровнем Ферми, по имени выдающегося физика нашего времени Энрико Ферми, внесшего большой вклад в разнитие современной физики.
Энергия электрона на уровне Ферми обозначается 8р, скорость и импульс на этом уровне обозначаются, соответственно, о, и рв. Из дальнейшего будет видно, как определяются зти величины и от чего они зависят. $75.4. Понятие об импульсном пространстве электронов в металле 1. Если не учитывать потенциальной энергии электронов в металлах, обусловленной электрическим полем ионов решетки, и пренебречь энергией взаимодействия между электронами, то полная энергия 8 электрона будет зависеть только от значения скорости и или импульса р электрона: В частности, на уровне Ферми 2 8в = ~ и рв=- У 2т8в (75 4) Д~ Ру Введем трехмерную декартову систе- Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
