atnasyan-gdz-11-2001 (546293), страница 17
Текст из файла (страница 17)
а) Sосн=32=9 м2;V=11SоснН= ⋅9⋅2=6 м3;33б) h=2,2 м=220 см.111S ∆ABC = ВА⋅ВСsin30°= 20⋅13,5 =67,5 см2,222V=11Sоснh= ⋅67,5⋅220=22,5⋅220=4950 см3.33685. h=12 см, x=13 см.121Sосн=x 2 3 13 2 3 169 3==,44411 169 3Sоснh= ⋅⋅12=169 3 см3.334686. а) DO — высота пирамиды.Из прямоугольного треугольника ∆ADO: DO=H=lsin ϕ .V=Точка О — центр ∆АВС, ОА — радиус описаннойоколо ∆АВС окружности.BC=2ОА, ОА=lcos ϕ .По теореме синусов:sin60°ВС=2⋅3⋅l⋅cos ϕ = 3 lcos ϕ .2S ∆ABC =V=BC2 3 ( 3 ) 2 l2cos2ϕ 3 3 3 2 2==l cos ϕ .44411 3 3l2cos2ϕ3 33 3⋅lsinϕ=S ∆ABC ⋅Н= ⋅l sinϕcos2ϕ=l sin2 ϕ cos ϕ .33484б) ∆ADC — равнобедренный.
∠D=180°−2 α .По теореме косинусов имеем:АС2=l2+l2–2⋅l⋅l⋅cos(180°–2 α )=2l2(1+cos2 α )==2l2(1+2cos2 α−1)=4l2cos2 α ,АС= 4l 2 cos 2 α =2l |cos α |=2l cos α ;AC2 3 (2lcosα)2 3== 3 l2 cos2 α .44Вычислим длину отрезка ОА, ОА=R, где R — радиус окружности, описанACAC 2lcosαACной около ∆АВС.=2АО; ОА==.=3sin60°332⋅S ∆ABC =2Из ∆ADO: DO=H= AD2 − AO2 = l2 −V=11S ∆ABC Н=333 l2 cos2αl3l4l 2 cos 2 α=333 − 4 cos 2 α =3 − 4 cos 2 α .1 3l cos2α 3 − 4 cos 2 α ;3в) ∆BDC — равнобедренный.
По теореме косинусов:ВС2=l2+l2–2⋅l⋅l⋅cos β =2l2(1–cos β )=2l22sin2122β;2BC= 4l2sin 2ββ=2l sin .22S ∆ABC =22BC2 3 4l sin=44β23= 3 l2sin2β.2В треугольнике ∆АВС: ОА — радиус описанной окружности:βBCBC 2l sin 2BC=2ОА; ОА==.=3sin60°332⋅2Из прямоугольного ∆AOD:β24l2sin 2Н= AD2 − AO2 = l2 −3β 13 l2 sin2 ⋅2311V= S ∆ABC ⋅Н=33=3l2 - 4l2sin 2β23=l3β 1β3 − 4sin 2 = l3 sin22 323 − 4sin 2β.23 − 4sin 2β.2687.
Из треугольника ∆BCD найдем боковое ребро. Обозначим DB=DC=DA=d. По теореме коси-нусов: а2=d2+d2−2d2⋅ cos ϕ =2d2(1−cosϕ)=2d22sin2a=2d sinϕ;2aϕ; d=.ϕ22 sin2ПостроимDO⊥плоскостиАВС.DO=H= d − OA , ОА — радиус окружности, описанной около ∆АВС.22aaa=2ОА; ОА==.sin60°2sin60°3По теореме синусов имеем:Н=ϕa24sin 2ϕ2-3 - 4sin 2a22=а⋅.ϕ32sin ⋅ 322V=a 31S ∆ABC H.
S ∆ABC =, поэтому34ϕ2321 a 2 3 a 3 - 4sin 2 a 3 - 4sinV= ⋅⋅=ϕϕ432 3sin ⋅24sin ⋅2ϕ2.2688. Пусть О — точка пересечения диагоналей. Построим ОЕ⊥DC. По теореме о трех перпендикулярахSE⊥DC. Таким образом, ∠OES=β — линейный уголдвугранного угла при основании.123а) ОЕ=н=Н ctg β , AD=2OE=2H ctg β .tgβ114SABCDH= ⋅4H2 ctg2 β Н= ⋅H3 ctg2 β .333б) SO — высота пирамиды. Проведем ОЕ перпендикулярно DC, отрезокSE. По теореме о трех перпендикулярах SE перпендикулярно DC.В правильной пирамиде боковые ребра равны, ∆DSC — равнобедренный, высота SE — биссектриса и медиана.mαm 1Из треугольника ∆DSE:⋅ =tg , SE= α .2 SE22tgSABCD=AD2=4H2ctg2 β .
V=2Из треугольника ∆SOE:SO=H= SE2 − OE2 ==m2ctg2mα−1 =22m2α4 tg 22α2−21m2 = m(− 1) =4 tg 2 α42cos 2 −sin 2Площадь SABCD=m2.11mV= SABCDH= m2332 sinαsin 22α2α2=m2 sinm3cosα =6 sinα2αcosα .2cosα .689. SO перпендикулярна плоскости ABCD, SO —высота пирамиды. В правильной пирамиде всебоковые ребра равны. OD — проекция SD наDплоскость основания, ∠SDO= ϕ .Из ∆SOD: SO=m sin ϕ ; OD=m cos ϕ ; BO=OD,BD=2m cos ϕ .Обозначим сторону основания за х.
Следовательно, х 2 =2m cos ϕ ; х= 2 m2cos2 ϕ .V=1SABCDSO= 1 2m2cos2ϕmsinϕ= 2 m3cos2 ϕ sin ϕ .333690. Построим ОВ⊥А5А6. По теореме о трехперпендикулярах SB ⊥ А5А6. ОВ=r, r — радиусвписанной в основание окружности; r=6:2=3 (см).Обозначим х — сторона основания.х2 32⋅r, отсюда х==2 3 см.23S ∆A 5OA 6 = 1 ⋅А5А6⋅ОВ= 1 хr= 1 ⋅2 3 ⋅3=3 3 см2.222Как известно, r=124Sосн=6⋅S ∆A 5OA 6 =6⋅3 3 =18 3 см2.Вычислим высоту пирамиды из ∆SOB.SO= SB2 − OB2 = SB2 − r 2 = SB2 − 92 .Из равнобедренного∆SA5A6 найдем SB. (Т.к.
SB — высота в равнобед-ренном треугольнике, то она является медианой, А5В=ВА6=1х= 3 см.)2SB= SA62 − BA62 = 132 − ( 3 ) 2 = 169 − 3 = 166 см.Из ∆SBO: SO= 166− 9 = 157 см.b11V= SоснSO= ⋅18 ⋅ 157 =6 471 см3.233Найдем площадь боковой поверхности. Sбок=6⋅S ∆A 5OA 6 ,111S ∆A 5OA 6 = ⋅А5А6⋅SB= х⋅SB= ⋅2 3 ⋅ 166 = 3 ⋅ 166 = 498 см2.222Sбок=6 498 см2.691. Построим SO перпендикулярно плоскостиАВС; SO — это высота пирамиды. ∆SOA=∆SOB==∆SOC, они прямоугольные, SO — общий катет, ониимеют равный острый угол.
Тогда, ОВ=ОС=ОА=R,где R — радиус описанной окружности.АСАС105=2R;R===.sin∠B2sin∠B 2sin∠B sin∠BПо теореме косинусов в треугольнике ∆АВС:102=132+132–2⋅13⋅13⋅cos∠B,100=2⋅132—2⋅132⋅cos∠B; 2⋅169⋅cos∠B=338–100; cos∠B=sin∠B= 1 − cos 2∠B = 1 −119 21695 ⋅ 169 169Значит, R=ОВ==.120242=116914400 =Из треугольника ∆SOB найдем высоту SO: SO=S ∆ABC = р(р - 10)(р - 13)(р - 13) , где р=238119=.2 ⋅ 169 169120.169Rotg30=R 3 =169243.10 + 13 + 13 36==18 см.22S ∆ABC = 18 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ 5 = 25 ⋅ 9 ⋅ 2 ⋅ 8 =5⋅3⋅4⋅=60 см2.125V=11169 3 169 3 ⋅ 5 845 3S ∆ABC SO= ⋅60⋅==см3.243⋅2633692. Построим высоту пирамиды DE. Т.к. всеребра одинаково наклонены к плоскостиоснования, то ∆DEA=∆DEB=∆DEC.
ПоэтомуЕА=ЕВ=ЕС=R, R — радиус описанной окружности. Значит, точка Е — это середина гипотенузы АВ, плоскость ADB ⊥ плоскости АВС.11S ∆ABC = ab; АВ= a 2 + b 2 ; ВЕ=a 2 + b2 .22DE=tg ϕ ;BEV=DE=BEtgϕ=a 2 + b 2 ⋅ tgϕ.2aba 2 + b211 1S ∆ABC DE= ⋅ ab⋅⋅tg ϕ = ⋅tg ϕ1233 22a 2 + b2 .693. SO — высота пирамиды. ∆SOA=∆SOB==∆SOC=∆SOD. Тогда ОА=ОВ=ОС=OD ивысота проектируется в точку пересечениядиагоналей прямоугольника ABCD.bOC=ВО=ОА= (по свойству диагоналей пря2моугольника).1S ∆AOB = ⋅ОВ⋅ОА⋅sinα.211S ∆BOC = ВО⋅ОСsin(180°−α)= ОВ⋅ОСsinα.22S ∆AOB +S ∆BOC =2 ⋅SABCD=2⋅S ∆ABC =b21⋅ОВ⋅ОА⋅sinα=OB ⋅ OA ⋅ sin α = ⋅ sin α42b 2sinα.2Обозначим∠OAS= β , следовательно, tg β =SO SO 2= b = SO.АOb21V= SABCDSO;31 b2sinαV= ⋅⋅SO,23SO=6Vb 2sinα,6V12V12V2⋅=;β =arctg 3.b b 2sinα b 3 sinαb sinα694.
Построим линейные углы двугранных углов при основании и высотупирамиды SO; ON⊥DC, OK⊥BC, OL⊥AB и OM⊥AD.tg β =126По теореме о трех перпендикулярах SN⊥DC,SK⊥BC, SL⊥AB, SM⊥AD. ∆SOM=∆SON=∆SOK=∆SOL (по катету и острому углу). Следовательно,ОМ=ON=OK=OL=r, r — радиус вписанной воснование окружности.Треугольник ∆SON — равнобедренный, SO=ON==1,5 см.SABCD=AD⋅МК=6(1,5⋅2)=6⋅3=18 (см2).11V= SABCDSO= ⋅18⋅1,5=6⋅1,5=9 (см2).33695.
а) Построим высоту DE, отрезки ЕА, ЕВ, ЕС.∆DEA=∆DEB=∆DEC. Тогда ЕА=ЕВ=ЕС=R, R— радиус окружности, описанной около ∆АВС.Значит, точка Е является серединой ВС,cплоскость CDB ⊥ плоскости АВС; СЕ=ЕВ= .2DEИз треугольника DEB:=tgθ, DE= c ⋅tgθ.EB2В треугольнике АВС: АС=с sin ϕ , AB=c cos ϕ ;11S ∆ABC = AC⋅AB= c2 sin ϕ cos ϕ .22V= 1 S ∆ ABC DE=331 1 2⋅ ⋅c sin ϕ cos ϕ ⋅ c tgθ= c tgθsin2ϕ .23 224б) Проведем OL⊥AB, ОК⊥СА, ОМ⊥СВ.По теореме о трех перпендикулярах имеем DL⊥AB,DM⊥CB, DK⊥CA. ∆DOL=∆DOK=∆DOM.
Тогда,ОМ=ОК=OL=r, r — радиус вписанной в ∆АВС окS10 + 10 + 12=16 см.ружности. r= , p=p2S= р(р - 10)(р - 10)(р - 12) = 16 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 4 =48 см2.а=r=4811=3 (см). Из ∆DOL: DO=OL=3 см. V= S ∆ABC ⋅DO= ⋅48⋅3=48 см3.1633в) AS⊥SC, AS⊥SBAS перпендикулярна плоскости BSC, AS —высота пирамиды.abc11 11S∆CSB= ab. V= S∆CSBAS= ⋅ ab⋅c=.233 26696. DA — высота пирамиды.127Построим АК⊥ВС, отрезок DK. По теореме отрех перпендикулярах DK⊥BC, ∠AKD=60° — линейный угол двугранного угла DBCA.S ∆ABC = р(р - АB)(р - АC)(р - BC)∆ ABC — прямоугольный по теореме Пифагора (202++212=292).
Следовательно, ABC=12⋅ 20⋅21=210(см ) и2точка К совпадает с В.С другой стороны, S ∆ABC =11ВС⋅АК=210, АК= =20 (см).22DA=tg60°= 3 , DA=20 3 (см).AВ11V= S ∆ABC DA= ⋅210⋅20 3 =70⋅20 3 =1400 3 (см3).33Из ∆DAВ:697. V=1h(S+S1+ SS1 ), где h=O1O, S=S ∆ABC , S1=S ∆A 1 B 1 C 1 .3Проведем МТ перпендикулярноAN. TN=BCBC=ON–O1M, ON=, O1M= 1 1 .2 32 3aaaON=, O1M==,2 32⋅2 3 4 3aaa=.–TN=2 3 4 3 4 3Из ∆MTN: MT=O1O= MN 2 − TN 2 = a 2 −1 2S ∆ABCV=a2 a=48 42( ) 3aa2 3a2 3=; S ∆A 1 B 1 C 1 = 2=.44161 a⋅3 4⋅473⋅(a 3 47 ⋅ 7 7 47 a 3a2 3 a2 3a2 3 a2 3⋅++=.)=4164164 ⋅3⋅ 4 ⋅ 4192698. Построим С1М⊥А1В1 и CN⊥AB, отрезок MN.Т.к. АВ⊥CN и АВ⊥С1С, то плоскость С1СNM⊥AB,MN⊥AB, MN — апофема.
Проведем МТ⊥CN, МТ —высота пирамиды. ∠MNT= ϕ — линейный уголдвугранного угла МАВС.nm; CN=NB=.С1М=МВ1=2212847.3TN=CN−C1M=m2−n2=m-n2.MTm-n=tg ϕ , MT=TN tg ϕ =tg ϕ .2TNm.АВ=АС 2 , m=AC 2 , AC=2В ∆MTN:S ∆ABC ==1 m 2 m4n2⋅=. S ∆A 1 B 1 C 1 =.2 244V=1MT (S ∆ABC +S ∆A 1 B 1 C 1 + S∆ААB ⋅ S∆А1B1C1 );3V=m4 n2m 2 + n 2 mn1 m-nm-nm2 ⋅n2+⋅tg ϕ (++)=tg ϕ ()=44324⋅4644(m3 − n 3 )1⋅tg ϕ (m−n)(m2+mn+n2)=⋅tg ϕ .2424699. Построим высоту пирамиды DO.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
