atnasyan-gdz-11-2001 (546293), страница 16
Текст из файла (страница 16)
С1В — проекция диагонали D1В на плоскостьбоковой грани ВВ1С1С. Введем обозначение АВ=а,ВС=b, D1B=d и С1С=с.Из ∆D1BC1: a=1,2d=2a, BC1=dcos30°=2a3=a 3 .2Из треугольника ∆ВС1С: b2+c2=BC12=3a2.c2=3a2−b2, c= 3a 2 − b 2 .V=ab 3a 2 − b 2 .V=SABCD⋅CC1;656. Диагонали в прямоугольнике равны,АС=BD=12 см. А1В1||АВ, АВ⊥В1В и BD⊥В1В,∠ABD=60° — линейный угол двугранного углаА1В1ВD.Из ∆B1BD: B1B=BD=12 см.Из ∆ABD: АВ=13⋅ 12=6 см, AD=12=6 3 см V=6⋅6 3 ⋅12=432 3 см3.22657. а) Заметим, что∆С1СА — равнобедренныйпрямоугольный, СА=СС1=1⋅С1В⊥АВ,∆АВС1 — прямоугольный.
АВ=Из ∆АВС: ВС= АC 2 − АB2 =V=22=м,221 1⋅ ⋅ 2 =12 2 281 1− =2 41 1= м.4 22 м3.б) Из ∆АА1С1: АА1=АС1=24sin45°=24Из треугольника ∆A1C1D: AD=C1D=24cos30°=241м.22=12 2 см.21AC1=12 см,23=12 3 cм.2Из ∆С1CD (∠С1СD=90°): (12 3 )2=(12 2 )2+CD2,CD2=3⋅122−2⋅122=122; CD=12 см.V=B1B⋅AD⋅CD; V=12 2 ⋅12⋅12=1728 2 см3.1658. S∆АВС= АВ⋅АС.2АС= BC2 − AB2 = 37 2 − 35 2 =12 см.1121⋅35⋅12=35⋅6=210 см2.V=S∆АВС⋅АА1=210⋅11=2310 см3.2659. а) Из треугольника ∆АВС по теореме косинусов:1ВС2=АВ2+АС2−2⋅АВ⋅АС⋅cos120°=25+9+2⋅5⋅3⋅ =49;2ВС=7 см.Т.к.
АА1=ВВ1=СС1, то максимальную площадьимеет та боковую грань, у которой вторая сторонанаибольшая, то есть ВС=7 см.S BB1C1C =35, 35=ВВ1⋅7, ВВ1=5 см.S∆АВС=S∆АВС=V=313 15 3см2.=⋅АВ⋅АС⋅sin120°=⋅5⋅3224815 375 3см3.⋅5=44б) Т.к. призма прямая, то В1В перпендикулярна плоскости АВС, В1В⊥ВС.∠АВС=90o — линейный угол двугранного угла с ребром В1В.Из ∆АВ1С по теореме косинусов:АС2=32+22−2⋅3⋅2⋅cos60°=9+4–2⋅3⋅2⋅Обозначим АВ=а, ВС=b, ВВ1=с.В треугольника ∆АВС а2+b2=7.В треугольника ∆АВ1В а2+с2=9В треугольника ∆СВ1В b2+с2=4.Запишем систему:⎧a 2 + b 2 = 7,⎪⎪⎧⎪a 2 + b 2 = 7,22a+c=9,⎨ 2⎨⎪⎩a − b 2 = 5.⎪ 22b+c+=4.⎩⎪2а2=12, а2=6,1=13−6=7, АС= 7 .2(1)(2)(3)а= 6 см;b =7−а =7−6=1,b=1 см;с2=4−b2=4−1=3,с= 3 см.22V=S ∆ABC ⋅ВВ1;V=11abc= ⋅ 6 ⋅1⋅ 3 =1,5 2 .22660.
∆АВС — равнобедрен-ный. Из треугольника ∆ABD: BD=mcosBB1=mcosϕ,2ϕ.21131 2m sinϕ.21V=S ∆ABC ⋅BB1= m2sinϕ⋅2ϕϕ 1 3⋅mcos = m sin ϕ ⋅ cos .2 22661. Обозначим а=ВА=ВС. Из прямоугольного ∆А1В1С: А1С1=lcos β ,СС1=lsin β .AC=A1C1=lcos β .S ∆ABC =По теореме косинусов в треугольнике ∆АВС:АС2=l2cos2 β =a2+a2−2a2cos α =2a2(1−cos α ),a2=l 2 cos 2 β(1 − cos 2 α) ⋅ 2S ∆ABC =l2 cos 2 β11⋅AB⋅BC⋅sin α = a2sin α = 1 ⋅sin α ;222 2 ⋅ (1 − cos 2 α)V=S ∆ABC ⋅CC1==.l 2 cos 2 β ⋅ sinα4 ⋅ (1 − cos 2 α )α22α4 ⋅ 2 ⋅ sin2α2l3sinβ cos 2 β ⋅ sin cos ⋅ 2=⋅lsin β =l3sinβ cos2 β ⋅ sinα=4(1 − cos α)l3sinβ cos 2 β4 tgα2.662.
В сечении — параллелограмм А1В1СD. ВплоскостисеченияА1В1СDпроведемА1Еперпендикуряно DC; проведем отрезок ЕА. По теореме,обратной теореме о трех перпендикулярах, АЕ⊥DC.QA1E= .S A1B1CD =Q=DC⋅A1E=a⋅A1E;aИз прямоугольного треугольника ∆А1АЕ:QQАЕ=А1Е cos β = cos β ;A1A= sin β .aaQSABCD=AE⋅BС= cos β ⋅a=Qcos β .aQ2Q2Qsin β =sin β ⋅cos β =sin2 β .aa2aaa663.
Имеем ОА=ОВ=R=;r=OK=;OK⊥AB.180°180°2sin2tgV=SABCD⋅AA1=Q⋅cos β ⋅nnПравильный n-угольник состоит из n треугольников одинаковой площади.114S ∆AOB =11a2a⋅ОК⋅АВ= ⋅ 180° ⋅ a =.180o22 2tg4tgnnSосн=nS ∆AOB =na 24tgТогда: а) n=3.в) n=6. V=180 °n.V=V=Sосн⋅АА1=na 34tg3a 33a 3=;4tg60°4180 °n.б) n=4. V=3 3a 36a3==1,5 3 а3;24tg30°г) n=8. V=4a 3=a3;4tg45°8a 34tg45°2=2a 3.tg22°30′664. Построим СК⊥АВ, отрезок С1К в плоскостисечения АС1В. По теореме о трех перпендикулярахС1К⊥АВ; ∠С1КС=60°.Из ∆С1КС:C1C=tg60°= 3 , отсюда С1С=СК 3 .CKИз треугольника ∆СКВ: СК=а sin60°=С1С=a 323=a 3,23aa2 3.
S ∆AOB =.24a 2 3 3a 3 3 3а.⋅ =428665. Очевидно, что наибольшая из диагоналей —диагональ А1В4. Тогда А1А4 ее проекция на нижнееоснование.В правильном 6-угольнике R=a, R — радиус описанной окружности. D=2R=2a=A1A4.1ААИз треугольника ∆А1А4В4: 1 4 =tg30°=,B4А 43V=S ∆AOB ⋅С1С=B4A4=2 3 a. S A1A1...A 6 =6S ∆A1OA 2 .S ∆A1OA 2 =6a 2 3 3a 2 3a2 3, поэтому S A1A1...A 6 ==.244V=S A1A1...A 6 ⋅В4А4=3 3 2а ⋅2 3 а=9а3.2Из треугольника ∆А1В4А4: А1А4=2а=8sin30°=4,Итак, V=9⋅23=8⋅9=72 см3.666. По теореме п.66 а) V=πr2h,a=2 см.V=π⋅(2 2 )2⋅3=π⋅8⋅3=24π см3;115б) r2=120 ⋅ 10 100V 2 120;r ===;πhπ ⋅ 363ππ ⋅ 3,6V8πr=10010=см;3π3π8,h3=8, h=2 см.πrh2πh667. Провод в распрямленном положении — это цилиндр.V=πr2l, r — радиус сечения; l — длина провода.в) h=,2h=2=Из физики известно, что,ρ=m, где ρV— плотность алюминия; m — массаалюминия; V — объем куска провода.mm.Получаем уравнение: πr2l= , отсюда l=ρρπr 2π≈3,14,ρ=2,6 г/см3,r=2 мм=0,2 см,r2=0,04 см2,680068 ⋅ 100 ⋅ 100l≈=≈2,08⋅104 см≈20800 см = 208 м.2,6 ⋅ 3,14 ⋅ 0,04 2,6 ⋅ 3,14 ⋅ 418668.
Вычислим объем цистерны V=πr2h, r==9 м, V=π⋅81⋅7=567π м3.2−3mρ= ; m=ρV; m=0,85⋅ 10 −6 ⋅567⋅3,14=0,85⋅103⋅567⋅3,14=1513⋅103 кг = 1513 т.V10669. Обозначим радиус основания через r, а высотацилиндра равна h. Следовательно S=2rh. (1) Q=πr2. (2)Тогда, V=πr2h=Qh.Из (1) r=h2=SπS 2. Подставим в (2): Q=,2h4h 2πS 2;4Qh=S2π.Q670. ρ=11,4 г/см3=11,4⋅1V=QS2π 1= S πQ .Q 210 −3кг/м3=11,4⋅103 кг/м3.10 −613=6,5 мм=6,5⋅10–3 м.r2=6,5+4=10,5 мм=10,5⋅10–3 м.2Vтрубы=πr22l–πr12l=πl(r22–r12)=3,14⋅25(10,52⋅10–6–6,52⋅10–6)==3,14⋅25⋅10–6(10,52–6,52)=3,14⋅25⋅10–6(110,252–42,25)==3,14⋅25⋅10–6⋅68=5338⋅10–6 м3.m=ρV; m=11,4⋅103⋅5338⋅10–6=60853,2⋅10–3≈60,85кг≈61кг.671.
Очевидно, что высота призмы равна высотецилиндр. Тогда отношение объемов равно отношению площадей основанийпризмы и цилиндр.r1=116а) n=3,∆АВС — правильный. Обозначим сторонух∆АВС равной х, следовательно, r=АО=хr=2⋅32=S ∆AOB =х3(3х=2r,sin60 °).х2 3х2; Sкр=πr2=π ⋅;43VпрVцил= S ΛАВС =S кр3х2 33 3⋅=;244ππхб) n=4, ABCD — квадрат. Обозначим сторону квадратаравной х.SABCD=х2;AC=х 2 , r=Sкр=πr2=π⋅х 2 ⋅ 2 πх 2=.42АC х 2=.22VпрVцил= S ΛАBC =х2:Sкрπх 2 2= ;π2в) n=6. Обозначим сторону 6-угольника за х, следовательно, r=х.S6–уг=6S ∆AOB =6Sкр=πАО2=πх2.х2 3 3 3 2=х.42Vпр 3 3х 23 3=:πх2=;Vцил22πг) обозначим сторону правильного вписанного n-угольника за х. Следовахтельно, радиус описанной окружности равен.180°2sinn1х360°2.Sn-уг=nS∆=n (2 ) ⋅sinn2 2sin 180n(Правильный n-угольник разбивается радиусами, проведенными из центра, на n одинаковых треугольников; все треугольники равновелики)Sкр=π⋅(х180°2sin 2n)2;VпрVцил=Sn - угSкр1n⋅ (2=360°) 2 ⋅sinn180o2sinnх)2π⋅(180o2sinnх=n360°⋅sin.2πn672.
∠С=90°. ∠АСВ — вписанный и равен 90°,aaтогда, АВ — диаметр. АВ=2r=, r=,2cosαcosαr — радиус основания цилиндра.Высота призмы равна высоте цилиндра, значит,117Vцил=πr2h=π⋅a224cos α⋅h=πa 2 h4cos 2α.b673. Имеем V= ∫ S(x)dx , где а=1; b=2.a1S(x)=( )2=x–2.x22- 2 +1V= х -2 dx = x∫− 2 +112=− 1 =−x1111+1= =0,5.22b∫674. Имеем V= S(x)dx , где а=0; b=1.aПлощадь сечения: S(x)=π( х )2=πx.V=1100∫ πх dx =π ∫ х dx =π1х 2 =π 1 = π .2 22 0675. Заштрихованные фигуры симметричныотносительно биссектрисы ОВ. Следовательно, объемтела, которое получается вращением фигуры ОАВ вокруг оси Оу, и тела, полученного вращениемравновеликой фигуры ОВС вокруг оси Ох равны.bИмеем V= S(x)dx , где а=0; b=1. S(x)=(х2)2π=х4π.∫a1V= πх 4 dx =π х∫0551=0π.5676.
Построим из точки А1 перпендикуляр А1М кплоскости ∆АВС. Следовательно, ∠А1АМ=60°.Из ∆А1АМ: А1М=h=8sin60°=8 3=4 3 см.2S ∆ABC = р(р - 10)(р - 10)(р - 12) ,р=10 + 10 + 12 32==16 см, S ∆ABC = 16 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 4 =4⋅6⋅2=48 см2.22V=S ∆ABC ⋅h=48⋅4 3 =192 3 см3.677. S ∆ABC =a2 3. По условию задачи плоскость АВВ1А1 ⊥ плоскости4АВС. Построим В1К⊥АВ. В1К=h — высота призмы.Из ∆АВ1К: АК= b 2 − h 2 .118Из ∆В1КВ: КВ= a 2 − h 2 .Получим уравнение: АК+КВ=АВ=а.b 2 − h 2 + a 2 − h 2 =а;b2−h2+a2−h2+2 (b 2 − h 2 )(a 2 − h 2 ) =a2,2 (b 2 − h 2 )(a 2 − h 2 ) =2h2−b2.b2b;h≥,224(b2a2–b2h2–a2h2+h4)=4h4+b4–4h2b2; 4b2a2–b4=4a2h2,2h2−b2≥0;h2=h2≥b 2 ( 4a 2 − b 2 )4a2V=S ∆ABC ⋅h=;a2 34h=⋅bb2a4a 2 − b 2 ;4a 2 − b 2 ab=2a812a 2 − 3b2 .678.
Построим А1О ⊥ плоскости АВС, точка О — центр правильного∆АВС. Отрезок ОА — радиус описанной около∆АВС окружности.BC=2R=2AO,По теореме синусов:sin∠Ammmотсюда АО=R==.=2 sin 60°332⋅2Из прямоугольного ∆А1ОА найдем высоту призмы А1О=Rtgϕ=m3⋅tgϕ.m2 3m tgϕ m 2 3 m 3 tgϕ; V=S ∆ABC ⋅А1О=⋅=.4443679. Наклонные А1В, А1А, А1С равны по условию. Т.к. А1равноудалена от А, В и С, то проекция точки А1 на плоскость АВС — это точка О, которая является цент-ромописанной около ∆АВС окружности. Тогда, точка О —середина гипотенузы ВС, А1О⊥ВС.
А1О — высота призмы.∆А1ОА — равнобедренный прямоугольный, А1О=АО.S ∆ABC =ВС= 7 2 + 242 = 49 + 576 = 625 =25 см.2525см. Высота призмы ОА1=см.ОС=ОВ=ОА=22257 ⋅ 241=84 см2. V=S ∆ABC ⋅ОА1=84⋅=S ∆ABC = АВ⋅АС=222=42⋅25=1050 см3.680. Построим В1М⊥ВА и В1N⊥ВС. ∆В1ВМ=∆В1ВN119(по гипотенузе и острому углу). Значит,В1М=В1N.Построим В1О ⊥ плоскости ABC,отрезки ON и OM. Из равенства наклонныхВ1М и В1N следует равенство их проекций, ОМ=ON, то есть точка О лежит набиссектрисе угла АВС.Из ∆В1ВМ: ВМ=сcosϕ, ВО=ВМ 2 =с 2 cosϕ.Из прямоугольного ∆В1ВО:В1О= BB12 − BO2 = c 2 − c2 ⋅ 2 ⋅ cos2ϕ ==с 1 − 2cos 2ϕ =с − cos2ϕ .
В1О — высота параллелепипеда. SABCD=ab;V=SABCD⋅В1О=abc − cos2ϕ (2ϕ>90°, cos2ϕ<0; — cos2ϕ>0).11⋅AC⋅BD= ⋅6⋅8=24 см2.22Вычислим высоту параллелепипеда.Боковое ребро ВВ1 составляет сосмежными сторонами основания равныеуглы; обозначим ∠В1ВА=∠В1ВС= α .681. SABCD=Проведем В1М⊥ВА и B1N⊥ВС.∆В1ВМ=∆В1BN (по гипотенузе и острому углу).Тогда, В1М=В1N. Проведем В1О ⊥ плоскостиABCD, отрезки ON и ОМ. ON=OM (как проекцииравных отрезков). Точка О равноудалена от сторонромба ВС и ВА, то есть она лежит на биссектрисеугла АВС, а в ромбе биссектрисой угла служитдиагональ ромба, значит, точка О лежит надиагонали ромба DB.
В1О — высота параллелепипеда.По свойству диагоналей ромба ∠ASB=90° и B1S=3, A1S=4. Следователь-но, сторона ромба В1А1= 32 + 42 =5 см.S BB1A1A =ВА⋅В1М=24;5⋅В1М=24; В1М=24см.5Из прямоугольного треугольника ∆В1МВ:ВМ= BB12 − B1M 2 = 52 − (Из ∆АВТ: cos β =45Из ∆МОВ: ВО=ВМ⋅120625 − 576 724 2= см) =25557 5 71= ⋅ = см.cosβ 5 4 4Из прямоугольного треугольника ∆В1ОВ:В1О= BB12 − BO2 = 52 −4925 ⋅ 16 − 49351 3===16164439 =см.3 39=18 39 см3.4682.
Пусть α и β — плоскости оснований призмы. Проведем плоскость γ, перпендикулярно боковым ребрам призмы. Далее, осуществим параллельный перенос фигуры, ограниченной плоскостями β, γ и боковыми ребрами призмы так,чтобы плоскость α совместилась с плоскостью β.Получим прямую призму, боковая сторона которой равна боковой сторонеисходной призмы, а осно-вание является сечением исходной призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам.По свойствам аддитивности объема V1=V2, где V1 и V2 соответственнообъемы исходной и полученной призмы. V2=Sl, где S — площадьоснования, что и требовалось доказать.683.
Обозначим l — длина бокового ребра призмы, арасстояние между боковыми ребрами равны a, b, c.По замечанию в п. 68 объем призмы можно вычислитьпо формуле V=S⊥⋅l, где S⊥ — площадь перпендикулярного (к боковым ребрам) сечения призмы. Треугольник,составленный из отрезков а, b и с, являетсяперпендикулярным сечением.37 + 13 + 30 80S⊥= p(p − a)(p − b)(p − c) , где р===40 см.22V=SABCD⋅В1О=24⋅S⊥= 40(40- 37)(40- 13)(40- 30) = 40⋅ 3 ⋅ 27⋅10 =20⋅9=180 cм2.Sбок=l ⋅ a+l ⋅ b+l ⋅ c=480 см2l(a+b+c)=480480480==6l=a+b+c80V=S⊥l=180⋅6=1080 см3.684.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
