Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

32

Работа №1. Предельные теоремы

Цель работы: статистически пронаблюдать существо основных предельных теорем.

Содержание.

1. Теорема Бернулли.

2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

2.1. Основное утверждение.

2.2. Испытание практически достоверного события.

2.3. Сжатие распределения с ростом числа слагаемых.

3. Усиленный закон больших чисел.

4. Теорема Гливенко  основная теорема статистики.

5. Центральная предельная теорема.

5.1. Содержание теоремы.

5.2. Одинаково распределенные слагаемые.

5.3. Различно распределенные слагаемые.

1.Теорема Бернулли

Если проводится n независимых испытаний случайного события A, вероятность которого P(A) = p, то относительная частота /n появления события A (   число появлений A) при большом n приближенно равна вероятности p:

.

уточнение: будем писать

при ,

если для любого >0 и для достаточно больших n соотношение

(1)

выполняется с вероятностью, стремящейся к 1 с ростом n; запишем это так:

при .

В этом состоит теорема Бернулли. Заметим, что теорема не утверждает, что соотношение (1) достоверно, однако, если n достаточно велико, то вероятность его выполнения близка к 1 (например, 0.98 или 0.999), что практически достоверно. Если собираемся провести эксперимент, состоящий из этого достаточно большого числа n испытаний, то можем быть уверены, что соотношение (1) будет выполнено. Проверим это не абсолютно достоверное утверждение.

Пример. Бросание симметричной монеты.

Вероятность появления герба p=0.5. можно показать (с помощью центральной предельной теоремы), что, например, если n  (1.5/)², то соотношение (1) выполняется с вероятностью 0.997, а если n  (1.3/)², то  с вероятностью 0.99; последняя в данном случае нас вполне устраивает как практическая достоверность. Положим  = 0.1; тогда соотношение

|  / n - 0.5 | < 0.1 (a)

выполняется с вероятностью 0.99 при n 170. если =0.03, то соотношение

|  / n - 0.5 | < 0.03 (б)

выполняется с вероятностью 0.99 при n 1850. Мы уверены, что, проведя 170 бросаний монеты, получим (а), а, проведя 1850 бросаний, получим (б).

Бросание монеты моделируем генерацией случайной величины , принимающей значения 1 ("герб") и 0 ("цифра") с вероятностями 1/2. Число появлений "герба" в n испытаниях

,

где _k- результат k-го испытания.

1) Выполнение в пакете STATGRAPHICS

сгенерируем n = 1850 значений  процедурой H.5.Random Number Generation (генерация случайных чисел); при этом потребуется задать закон распределения 1.Bernulli и прописными буквами  имя файла (т.e. таблицы, с которой работаем) и имя переменной (столбца таблицы) в соответствующих полях; полное имя переменной, например, LIMIT.alpha (в файл LIMIT впоследствии будем записывать другие переменные  столбцы).

вычислим относительную частоту f_{n =}  / n :

войдем в исполнительное окно Execution Window ( F8 - команда EXEC вызова окна - F6), набeрем выражение

SUM (170 TAKE alpha) / 170

которое означает: взять первые 170 элементов массива alpha, разделить на 170 и просуммировать; результат запишем и убедимся, что | / n - 0.5 | <0.1.

повторим вычисления, набрав

SUM alpha /1850

результат записшем; убедимся, что | /n - 0.5 | <0.03.

2) Выполнение в пакете Statistica

В главном меню пакета, в окне STATISTICA Module Switcher выбираем Data Management (управление данными) или Basic Statistics/Tables (основные статистики и таблицы). При появлении предложений отвечаем согласием.

а) Образование вектора длины n = 1850.

File - New Data - File Name: Limit (например) на диске D в директории ТМP -OK. Появляется таблица 10v  10c (10 переменных-строк и 10 столбцов-“случаев”, т.е. наблюдений), преобразуем ее в 1v  1850c: кнопка Vars - Delete...- From variable: var 2, to variable: var 10 - OK. Кнопка Cases - Add - Number of Cases to Add: 1840 - OK.

Можно убедиться прокруткой, что заготовлена матрица 1v  1850c; это же видно в заголовке таблицы.

б) генерация n = 1850 значений  .

Analisis - Modifi Variables...- Current Specs - назовем переменную Name: alpha, введем определяющее выражение Long name:

= trunc (rnd (1) + 0,5)

что означает взять целую часть от случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [0,5, 1,5] (оператор rnd(1) генерирует случайные числа, распределенные равномерно на отрезке [0, 1]) - OK. Вводить можно с клавиатуры или с помощью кнопки Function. Отметим, что генерацию можно было бы осуществлять не во все клетки столбца, а в заранее выделенные.

в) Определение числа появлений “герба” и относительной частоты f_n в серии из n = 170 испытаний.

Выделим первые 170 наблюдений: выделим 1-ю клетку, нажмем и держим Shift, прокрутим таблицу до 170-й клетки и кликнем по ней. Далее:

Edit - Block Stats/Columns - Sum’s (во 2-й раз - Means).

Результат получаем во вновь образованных двух последних строках. Результат записываем и убеждаемся, что f_n – 0.5 < 0.1.

г) Определение числа появлений “герба” и относительной частоты f_n в серии из n = 1850 испытаний.

Выделяем все наблюдения, кликнув по заголовку столбца. Далее так же. Убеждаемся, что f_n – 0.5 < 0.03.

3) Выполнение в пакете SPSS

а) Генерация n = 170 бросаний монеты.

Для образования вектора длины n = 170 прокрутим таблицу до 170 строки, выделим клетку в 1-м столбце, введем точку. Вектор размерности n = 170 создан; присвоим ему имя alpha:

Data - Define Variable...- Var Name: alpha - OK.

Сгенерируем значения :

Transform - Compute - Target Variable: alpha, Numeric Expression:

TRUNC (UNIFORM (2)) - OK

б) Определение числа появлений “герба” и относительной частоты f_n в серии из n = 170 испытаний:

Statistics - Summarise - Descriptives... - в список Variables переносим alpha, Display labels - Options...- отметим Sum и Mean - Continue - OK.

в окне Output олучаем Sum - число выпадений “герба”, Mean - частота выпадений герба. Записываем результаты, убеждаемся, что  f_n – 0.5 < 0.1.

в) Определение частоты появлений “герба” в серии из n = 1850 испытаний.

Действия повторяются, кроме образования массива - столбца длины n =1850 (слишком долго прокручивать таблицу). Образуем столбец длиной 60, а затем многократно удвоим его с помощью операций Copy и Paste:

выделяем столбец - Edit - Copy - прокручиваем таблицу до конца, выделяем клетку 61 - Edit - Paste. Массив - столбец длины 120 образован. Повторяем эти действия несколько раз, пока не будет образован столбец длины 1920, из которого удалим последние 70 строк: выделим имена строк с 1920 по 1851, затем Del. Столбец длиной n = 1850 заготовлен.

Сгенерируем значения , определим число появлений “герба” и относительную частоту. Убеждаемся, что  f_n – 0.5 < 0.03.

2. Закон больших чисел в форме Чебышева

2.1.Основное утверждение

Одно из основных утверждений закона больших чисел состоит в том, что значение среднеарифметического случайных величин с равными математическими ожиданиями при большом n (при некоторых широких условиях) оказывается приближенно равным a:

уточним: будем писать

при ,

если для любого  >0 и достаточно больших n соотношение

(2)

выполняется с вероятностью, стремящейся к 1 с ростом n; запишем это так:

при n .

это одно из утверждений закона больших чисел. Заметим, что, как и теорема Бернулли, оно не означает, что соотношение (2) достоверно; однако, если n достаточно велико, то вероятность его выполнения близка к 1, например, 0.98 или 0.999, что означает практически достоверно. Приведем полную формулировку одной из теорем закона больших чисел в форме Чебышева,

Теоремы Чебышева. Если - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной:

,

то для любого >0

при .

2.2. Испытание практически достоверного события

Убедимся в выполнении (2) статистически на примере1.

Пример1. Случайные величины распределены равномерно на отрезке [0,1]. Если значение  задавать произвольно, а число испытаний выбирать из условия n  (9D/²), то (как нетрудно показать) соотношение (2) выполняется с вероятностью P=0.997, а если n  (5.4D/²) - то с P=0.98. Последняя нас устраивает, как практическая достоверность.

Положим ₁ =0.1 и ₂ =0.02, определим два соответствующих значения n₁ =45 и n₂ =1125, и проверим (2) экспериментально (в нашем случае a=0.5). Выполнение аналогично п.1. При генерации случайных чисел нужно задать полное имя новой переменной, например, LIMIT.unif.

Задание. Проверить (2) экспериментально для экспоненциально распределенных слагаемых с M=1. Принять ₁ =0.2 и ₂ =0.05. При выполнении в пакете SPSS учесть, что - ln  , где  ~ R[0, 1], имеет требуемое распределение.

Пример 2. Невыполнение закона больших чисел

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лабораторной работы