lr1 (543706), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для первого эксперимента (данные var1) в активное окно (для n = 50) введем

в строку X: COUNT 50

в строку Y: 50 TAKE var1 / COUNT 50 (a)

50 REP 0.5

В этой записи 1 строка понятна из предыдущего; во второй вычисляются относительные частоты, в третьей создается линия-константа, равная 0.5 - пределу последовательности (оператор n REP a делает n копий а, где а - число или вектор). Изменив в окне одну цифру - номер переменной var, получим новый график; изменив 50 на другое значение (100, 250, 500), получим серию иллюстраций усиленного закона больших чисел: стремление f_n к 0.5.

Построим график с тремя последовательностями, соответствущими экс-

периментам 1 (var1), 4 (var4) и 5 (var5) для n = 100, для чего добавим в окно процедуры, кроме (а), еще две строки, аналогичные 2-й, с var4 и var5. Выведем этот график на печать; перед выводом график желательно отредактировать (F5-Plot options F6-Replot: убрать точки, сменить надписи, диапазоны ).

Эксперименты со случайными числами

Точно так же пронаблюдаем результаты 5 экспериментов по 500 испытаний с равномерно распределенными числами, содержащимися в файле NIFSUM. Убеждаемся, что последовательность среднеарифметических стремится к 0.5 - математическому ожиданию. Выведем на печать три графика для n =100.

Пример невыполнения закона

больших чисел проиллюстрируем на последовательностях случайных чисел,

распределенных по закону Коши (3). 5 последовательностей длиной n=3000 находится в файле CAUCHI. ASF; 5 последовательностей частных сумм находятся в файле CAUSUM. ASF. Выйдем из пакета в DOS, перепишем эти файлы и войдем в пакет. Как и выше, образуем последовательность среднеарифметических, и построим графики. Из них видно, что поведение среднеарифметических существенно отличается от предыдущих; наблюдается приближение к 0 (точке симметрии распределения Коши), которое нарушается редкими скачками, значительно отклоняющими значение среднего от 0. Отпечатаем график с кривыми трех экспериментов для n=100.

2) Выполнение в пакете STATISTICA

Из последовательности x₁ ,..., x_N независимых наблюдений построим последовательность f₁, ..., f_N среднеарифметических, где

f_n = , n = 1, ..., N

и убедимся графически в том, что f_n c ростом n приближается к математическому ожиданию.

Эксперименты с монетой.

Сгенерируем 3 последовательности по 500 бросаний монеты в первые 3 столбца таблицы 6v  500c; для удобства зададим имена переменным-столбцам: х₁, х₂, х₃, f₁, f₂, f₃. Образуем последовательность среднеарифметических, исходя из соотношений:

f₁ = x₁, f_n = ((n – 1) f_n1 + x_n )  n, n = 2, ..., N,

для чего вызовем командное окно:

Analysis - STATISTICA BASIC

в него введем программу:

for j: = 4 to 6 do

data (1, j): = data (1, j – 3);

for j: = 4 to 6 do

for n: = 2 to 500 do

begin

data (n, j): = (data (n – 1), j) (n – 1) + data (n, j – 3)) / n;

end;

После команды Execute (исполнить, кнопка) получаем результаты в столбцах 4  6.

Посмотрим графически зависимость f_n от n в различных диапазонах: от 1 до 25, до 50, до 100, до 500:

выделим в таблице блок: столбцы с 4 по 6, строки с 1 по 25, затем команда Custom 2D Graphs (кнопка слева вверху или меню Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs) - OK. (Заметим, что диапазон можно указывать не выделением строк, а в окне команды: Cases from 1 to 25, и т.д.). Наблюдаем график с тремя кривыми.

Аналогично получаем графики для других диапазонов по n (рис.3, рис.4). Убеждаемся, что частота выпадения герба f_n c ростом n приближается к вероятности герба р = 0,5. Для большей наглядности графика добавим константу 0,5, для чего образуем 7 столбец с этим значением, и выведем его вместе с частотами.

Распечатываем график для диапазона 1100.

Рис.3. Относительная частота выпадения герба при изменении n.

Рис.4. Относительная частота выпадения герба при изменении n.

Эксперименты со случайными числами, распределенными равномерно на отрезке [0, 1].

Наши действия аналогичны предыдущему. Убеждаемся, что последовательность среднеарифметических приближается к 0,5 – математическому ожиданию (рис.5, рис.6). Вначале, перед выполнением этого пункта, посмотрим графически исходные белошумовые последовательности x₁, ..., x_N, отдельно каждую: Custom 2D Graphs... и т.д.

Рис.5. Текущее среднее для R[0, 1] наблюдений.

Рис.6. Текущее среднее для R[0, 1] наблюдений.

Пример невыполнения закона

посмотрим на последовательностях случайных чисел, распределенных по закону Коши.

Сгенерируем 3 выборки в первых трех столбцах таблицы, учитывая по (3), что tg (), если  ~ R [0, 1], имеет распределение Коши, выполним преобразования над первыми тремя столбцами; над первым:

= tan (var1 Pi)

и аналогично над остальными.

Далее наши действия повторяются аналогично предыдущим.

Анализируя результирующие графики, видим, что кривые среднеарифметических иногда испытывают скачки, которые отбрасывают их значения далеко от 0 – центра распределения.

Графики распечатаем.

Задание

Промоделировать и посмотреть на графиках поведение средне-арифметического как функцию n для случайных величин, распределенных с плотностью

p(x) = , , (9)

где a>0, c=1/(2a). При a<1 математическое ожидание существует, но при a 1 это не так. При увеличении a (1, 1.5, 2, 5, 10) скачки в среднеарифметическом (как функции n) будут увеличиваться. Генерацию случайных чисел можно сделать на формуле

, где u ~ R[0,1],

a  = 1 с вероятностями 1/2.

из M (например, M =3) последовательностей x₁, x₂,...,x_n получить M послед овательностей средних ₁, ₂,..., _n, где

_k = ,

можно так же, как и выше.

3) Выполнение в пакете SPSS.

Из последовательности х₁, ..., x_N независимых наблюдений построим последовательность f₁, ..., f_N среднеарифметических, где

f_n = , n = 1, ..., N,

и убедимся графически в том, что f_n с ростом n приближается к математическому ожиданию.

Для наших целей необходимо из последовательности наблюдений х₁, ..., x_N получить последовательность частичных сумм S₁, ..., S_N , где S_k = , k =1,...,N, что сделать возможностями пакета нелегко, и потому они должны выть подготовлены другими средствами заранее: 5 последовательностей по 500 бросаний монеты и 5 последовательностей длиной 500 для равномерно на [0, 1] распределенных чисел. Пусть первая находится в файле Moneysum. sav, вторая - в файле Unifsum. sav.

Эксперименты с монетой.

Откроем файл Moneysum. sav. Построим 5 последовательностей среднеарифметических:

Transform - Compute - Target Variable: f1 , Numeric Expression: mcs1 / n -OK,

затем аналогично f2 по mcs2, и т.д. до f5.

Образуем еще одну переменную f0 со значением предельного значения 0.5.

Посмотрим графически зависимость f_n от n:

Graphs - Line - Multiple, Values of individual cases - Define - перенесем f0 и f1 в поле Lines Represent, Case number - OK.

Наблюдаем график. Убеждаемся, что частота выпадения “герба” f_n с ростом n приближается к вероятности выпадения “герба” p = 0.5. Посмотрим f2  f5. Сформируем график со всеми кривыми. Графики распечатаем или сохраним.

Эксперименты со случайными числами, распределенными равномерно на отрезке [0, 1].

Откроем файл Unifsum. sav.

Далее наши действия аналогичны предыдущему. Переменная f1 (последовательность среднеарифметических) определяется по Numeric Expression:

xcs1 / n

Аналогично f2 по xcs2, и т. д. до f5 . Графики показывают, что последовательность среднеарифметических приближается к математическому ожиданию.

перед выполнением этого пункта было бы интересно посмотреть графически исходные белошумовые последовательности х₁, ..., x_N , отдельно каждую. Графики сохраним или распечатаем.

Пример невыполнения закона

Невыполнение пронаблюдаем на последовательностях случайных чисел, распределенных по закону Коши.

Откроем файл Caushi. sav. Далее наши действия аналогичны предыдущему. Переменная f1 определяется по Numeric Expression:

tcs1 / n

Аналогично - f2 по tcs2, и т. д. до f5.

Строим графики отдельно для каждой последовательности. Видим, что кривые среднеарифметических иногда испытывают скачки, которые отбрасывают их значения далеко от 0 - центра распределения. Графики распечатываем или сохраняем.

4. Теорема Гливенко  основная теорема статистики

Пусть x₁, x₂,...,x_n - выборка из n независимых наблюдений над случайной величиной X с функцией распределения F(x). Расположим наблюдения в порядке возрастания; получим

-вариационный ряд. Определим функцию эмпирического распределения

,

Характеристики

Список файлов лабораторной работы