lr1 (543706), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

где - число тех наблюдений, для которых x_i<x. Ясно, что - ступенчатая функция; это функция распределения, которое получается, если значениям x₁,...,x_n присвоить вероятности, равные 1/n. Ясно, что -функция случайная , так.как зависит от наблюдений x₁,...,x_n.

Теорема Гливенко:

при

с вероятностью 1.

Проиллюстрируем эту теорему на примерах наблюдений над случайной величиной, распределенной по равномерному на [0,1] закону.

1) Выполнение в пакете STATGRAPHICS

используем имеющуюся выборку r (LIMIT.r) объема n = 2560, распределенную по закону R[0,1]. Образуем из нее несколько выборок объемов: n=10, 40, 160, 640, 2560 и посмотрим для этих n функцию эмпирического распределения.

a) Сформируем выборки объемов n =10, 40, 160, 640, 2560:

 выберем процедуру A.2 (File Operations-операции с файлами), зададим имя файла (например, LIMIT) в окне file name и операцию J (Update- изменение) в окне Desired operation;

 выберем режим N=New (новая переменная) нажатием N, введем имя переменной (например, x10), и в окне Enter assignment напишем определяющее выражение

10 TAKE r

Этот оператор из массива r выбирает первые 10 значений. На следующeе далее предложение Enter comment можно ответить отсутствием комментария (Enter) или ввести текст, если это необходимо.

Cнова выберем режим N=New для образования выборки объема 40,

назвав ее, например, x40, и т.д. до x640.

б) Пронаблюдаем функции эмпирического распределения при увеличении n:

выберем процедуру H.1.Distribution Fitting, в окне Data vector введем имя выборки LIMIT..x10 (это можно сделать короче: F7 (список полных имен переменных), курсор - на необходимую переменную, Enter), введем распределение теоретическое (17-Uniform), с которым хотим сравнивать эмпирическое, введем его параметры: Lower limit=0 Upper limit=2.0, выберем режим Histogram, поправим (если необходимо) пределы, зададим большое число классов (например, 500), т.е. фактически режим без группирования наблюдений), зададим режим Cumulative = Yes (клавишей "пробел") и Relative = Yes.

На экране появятся функции эмпирического и теоретического распре-делений. Запишем максимальную разность между ними при n=10: D₁₀ ,

вернемся, введем x40,... , и.т.д. до x2560.

Убеждаемся, что с ростом n функция эмпирического распределения

приближается к теоретической (истинной); последовательность D₁₀, D₄₀, D₁₆₀ ... уменьшается.

2) Выполнение в пакете STATISTICA

Сравним графически функцию эмпирического распределения для выборки объема n = 10 и функцию теоретического распределения. Будем работать в модуле Data Management, поскольку операция сортировки находится в нем.

а) Подготовка функции эмпирического распределения.

Заготовим таблицу размером 3v  10c.

В первом столбце (назовем его х) сгенерируем выборку объема 10 с равномерным на отрезке [0, 1] распределением.

Построим вариационный ряд, т.е. сделаем сортировку по возрастанию: выделим столбец x - Analysis - Sort -Var: x, Ascer (по возрастанию) - ОК.

Во втором столбце вычислим значения функции эмпирического рас-пределения:

выделим второй столбец: - Vars - Current Specs - Name: FE (например), long name: = v0 /10 - OK.

б) Подготовка функции теоретического распределения.

Поскольку функция равномерного на [a, b] распределения определяется на [a, b] отрезком прямой, ее можно задать двумя точками (а, 0) и (b, 1), в данном случае (0, 0) и (1, 1). В третьем столбце, назовем его FT, введем два значения 0 и 1 (с клавиатуры).

в) Покажем на одном графике две функции распределения:

Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs - в Plot 1 укажем Х : Х, Y : FE, Step Plot (вместо Line Plot), в Plot 2 укажем X : FT, Y : FT, Line Plot - OK.

Наблюдаем функции теоретического и эмпирического распределений (рис.7). Выводим график на принтер.

Заметим, что в процедуре Custom 2D Graphs в окна X: и Y: значения можно вводить с клавиатуры или, кликнув дважды на соответствующем поле, из списков столбцов и строк; при этом из каждого списка столбцов (Column) или строк (Row) необходимо задать имена.

Если бы у нас была выборка с некоторой произвольной теоретической функцией распределения, в столбец FT нужно было бы записать ее значения в точках вариационного ряда - столбца Х. Например, если бы выборка была из совокупности с экспоненциальным распределением с параметром  = 2, то для FT long name :

= IExpon (X; 2)

(I - интегральная функция). Настройка графика в процедуре 2D Graphs была бы такова : в PLOT 1 X : X, Y : FE, Step Plot, в Plot 2 X : X, Y : FT. Выполним это, не изменяя выборки.

Теперь повторим а)  в) для n = 40, 160, 640. Убедимся в том, что при увеличении n функция эмпирического распределения приближается к теоретической (рис.8,рис.9).

Рис.7. Функции эмпирического и теоретического распределений n=10, R[0, 1].

Рис.8. Функции эмпирического и теоретического распределений n=40, R[0, 1].

Рис.9. Функции эмпирического и теоретического распределений n=160, R[0, 1].

3) Выполнение в пакете SPSS.

Сравним графически функцию эмпирического распределения для выборки объема n = 10 и функцию теоретического распределения F(x). Сделаем это на примере равномерного на [0, 1] распределения.

а) Вычисление функции эмпирического распределения.

Образуем новый файл. В столбец х (так, например, его назовем) сгенерируем выборку объема n = 10.

Построим вариационный ряд:

Data - Sort Cases - Sort by: x, Sort Order: Ascending (порядок сортировки: по возрастанию) - ОК.

Вычисление функции.

Statistics - Summarize - Frequencies - в правый список Variables перенесем х - ОК.

В окне Output в последнем столбце Cum. Percent находятся значения в процентах функции эмпирического распределения, соответствующие значениям аргумента в столбце Value (вариационного ряда). Выделяем его, и с помощью Copy и Paste заносим во 2-й столбец таблицы, которому даем имя Fn; значения делим на 100, чтобы проценты перевести в доли.

б) Вычисление функции теоретического распределения.

В третьем столбце (назовем его х1 ), запишем значения аргумента с равным, например, шагом; Numeric Expression: Fn. В четвертом столбце (назовем его F), запишем значения функции теоретического распределения; поскольку, в данном случае, F(x) = x, 0  x  1, для F Numeric Expression: x1.

в) Построение графика с двумя функциями:

Graphs - Scatter - Overlay - Define - в правый список Y - X Pairs вводим пару Fn - x, затем F - x1 - OK.

Появляется диаграмма с точками - Edit - кнопка “линии” (зигзаг) - выделяем точки эмпирического распределения (стрелка на точке + щелчок мышью), отмечаем Left step - Apply - выделяем точки теоретического распределения, отмечаем Straight Apply. Можно убрать или поменять точки с помощью кнопки *. Получаем график с двумя функциями; его сохраним или распечатаем.

Если бы имелась выборка с некоторой произвольной теоретической функцией распределения, в столбец х1 следовало бы записать значения аргумента с равным шагом (их можно получить умножением Fn на число), а в столбец F - вычисленные соответствующие значения.

Повторим а)  в) для n = 40, 160. Убедимся в том, что при увеличении n функция эмпирического распределения приближается к теоретической.

5. Центральная предельная теорема

5.1. Содержание теоремы

Закон больших чисел утверждает , что при n  

,

где а = M_i. Центральная предельная теорема утверждает нечто большее, а, именно, что при этом стремлении происходит нормализация:

, (10)

где , т.е среднеарифметическое при больших n распределено приближенно по нормальному закону с дисперсией ²/n; этот факт записывают иначе, нормируя сумму:

.

Приведем формулировку одной из теорем.

Теорема Линдеберга. Если последовательность взаимно нeзависимых случайных величин ₁, _2,..., _n,... при любом постоянном >0 удовлетворяет условию Линдеберга

,

где , , то при n   равномерно относительно x

(11)

Следствие. Если независимые случайные величины ₁, _2,..., _n,... одинаково распределены и имеют конечную отличную от нуля дисперсию, то выполняется (11).Условие Линдеберга в этом случае, т.е. M_k=a, D_k=², F_k(x)=F(x), принимает вид: при любом  > 0 и при n  

;

оно, очевидно, выполняется, поскольку интеграл по всей оси, т.е. дисперсия, существует.

Убедимся статистически в том, что сумма нескольких случайных величин распределена приближенно по нормальному закону.

5.2. Одинаково распределенные слагаемые .

Сделаем это на примере суммы

(12)

шести (m = 6) независимых случайных величин, имеющих beta-распределение с параметрами a=b=0.5, плотность которого

, (13)

где - beta-функция. Плотность при выбранных значениях параметров имеет U-образный вид, весьма далекий от нормального; убедимся в этом, построив график плотности .

чтобы статистически оценить закон распределения для суммы S, cследует многократно, N раз (например, N=500), промоделировать суммирование: получим S₁, S₂,...,S_N - выборку для суммы; для этой выборки построим гистограмму и сравним ее визуально с нормальной плотностью.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы