lr1 (543706), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

4. Для оценки разброса случайной величины , определим максимальное _{max =} и минимальное _min= значения, а также размах w= _max - _min:

Ctrl+F5 (переход в исполнительное окно) (или F8 - EXEC), оператор

MIN xs10

после Enter появляется результат; оператор

MAX xs10

запишем результаты в таблицу и вычислим размах.

Таблица1. разброс средних.

5.Построим гистограмму для : процедура F.3.Frequency Histogram, Data: LIMIT .xs10, поправим предлагаемые Lower limit: 0.25 и Upper limit: 0.75; после F6 получим гистограмму. При следующих значениях n = 40, 160, 320 нижний Lower limit и верхний Upper limit пределы следует оставлять прежними, чтобы эффект сжатия гистограммы при увеличении n был заметен.

6. Повторим пункты 2, 3, 4, 5 для n = 40, затем для n =160 и 320; в результате будут созданы массивы xs40, xs160, xs320.

Из таблицы видно, что разброс среднеарифметического с ростом n уменьшается, т.е. распределение сжимается.

Сжатие распределения для с ростом n можно показать графически процедурой E.1.X-Y Line and Scatterplots. В строку X через запятую введем

xs10, xs40, xs160, xs320

что означает создание нового массива длиной 4k=80 объединением перечисленных (см. действие операторов); в строку Y введем

20 REP 10 40 160 320

что означает создание массива длиной 80, состоящего из чисел 10, 40, 160, 320, повторенные (repeat) 20 раз каждое. Масштаб по Y зададим логарифмический. После F6 на экране появятся совокупности значений при различных n. Изображение можно отредактировать: сменить надписи, диапазоны значений по осям, логарифмический масштаб по X и т.д.:

F5-Plot options - задание режимов - F6-Replot -вывести на печать (F4).

2) Выполнение в пакете STATISTICA

a) графики плотностей:

Graphs - Stats 2D Graphs - Custom Function Plots - Custom Function: - введем в поле Enter function:

normal (x; 1; 1)

, здесь a = 1,  = 1; введем диапазон по х: X Min: –2, X Max: 2.

Построим аналогичные графики для n = 4, 25, 100, т.е. для  = 0,5, 0,2, 0,1.

б) Разброс средних

1. Получим к = 20 выборок объемом n = 10 ( в таблице 20v  10c) из распределения R [0, 1] (выполнение см. выше).

2. По всем выборкам определим среднее:

Edit - Block Stats/Columns - Means.

3. Выделим полученную строку средних и определим для нее стандартное отклонение:

Edit - Block Stats/Rows - SD’s (standart daviation - стандартное отклонение). Затем определим минимум (Min’s) и максимум (Max’s). Результаты получаем в трех вновь образованных столбцах; результаты выписываем.

4. Действия повторяем для n = 40, 160, 640. Результаты заносим в табл.1, вычисляем размах и убеждаемся, что с ростом n разброс средних уменьшается (распределение сжимается).

5. Работу можно сократить, образовав с самого начала таблицу 20v  640c с наблюдениями, и для различных n определять средние, выделяя из таблицы первые n строк. Для полученных 4 строк средних применить 3 раза:

Edit - Block Stats/Rows - ...

6. Сжатие распределения для ­­­­ с ростом n можно показать графически. Из предыдущего имеем 4 строки средних для различных n. Поскольку в пакете удобнее работать со столбцами, а не со строками, 4 строки средних сделаем столбцами транспонированием:

Edit - Transpose - Data File .

Для удобства введем для них новые имена, например, xs1, ..., xs4 (Vars - Current Specs ...) и образуем 4 новых столбца, например, n1, ..., n4 с одинаковыми значениями в каждом столбце соответственно 10, 40, 160, 640 (или условные значения 1, 2, 3, 4). Построим график:

Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs - в поле Plot 1 устанавливаем: X: n1, Y: xs1, аналогично - в другие поля; установку можно делать с клавиатуры или из списков, дважды кликнув на соответствующем поле. После ОК получаем совокупности значений средних при различных n (рис.2). Убеждаемся, что с ростом n разброс уменьшается. График выведем на печать: File - Print Graph ...

Рис. 2. Разброс средних при разных n.

Заметим, что можно было бы обойтись без транспонирования: в дополнительные 4 строки n1, ..., n4 значения следовало бы ввести с клавиатуры или копированием. Построение графика осталось бы аналогичным.

3) Выполнение в пакете SPSS

Îïðåäåëèì разброс средних.

1.Получим k = 20 выборок (столбцы х01, ..., х20) объемом n = 10 из распределения R [0, 1] (выполнение см. выше).

2. По всем выборкам определим средние:

Statistics - Summarize - Descriptives - все имена переменных переносим в правый список - Options - отмечаем Mean - Continue - OK.

В окне Output получаем столбец с 20 значениями. Перенесем его в таблицу данных:

выделяем столбец - Edit - Copy -выделяем свободный столбец таблицы данных - Edit - Paste.

Даем имя новому столбцу:

выделяем столбец - Data - Define - Name: xs10 - OK.

3. Определим для столбца xs10 характеристики разброса:

Statistics - Summarize - Descriptives... - переносим xs10 в правый список - Options - отмечаем Std.daviation, Minimum, Maximum, Range - Continue - OK. Выписываем результаты.

4. Действия повторяем для n = 40, 160 и 640. Результаты заносим в таблицу, аналогичную табл.1. Из таблицы результатов видно, что разброс среднеарифметического c ростом n уменьшается.

5. Сжатие распределения для с ростом n можно показать графически.

Из предыдущего имеем 4 столбца средних xs10, xs40, xs160, xs640. Образуем 4 новых столбца, например, n10, n40, n160 и n640 с одинаковыми значениями в каждом столбце соответственно 10, 40, 160, 640 (или условные значения 1, 2, 3, 4). Построим график:

Graphs - Scatter...- Overlay - Define - в список Y - X Pairs введем попарно n10, xs10, затем n40, xs40 и т.д. - ОК.

Получаем совокупности значений средних при различных n; убеждаемся, что с ростом n разброс уменьшается. График сохраним или выведем на печать: File - Save As (или Print).

3.Усиленный закон больших чисел.

Теорема Бореля (1909 г.) ( первая теорема на эту тему) утверждает, что относительная частота f_n  появления случайного события с ростом числа n независимых испытаний стремится к истинной вероятности p

(6)

с вероятностью 1. Другими словами, при любом эксперименте с бесконечным числом испытаний имеет место сходимость последовательности f_n к p.

Будем говорить, что последовательность случайных величин подчиняется усиленному закону больших чисел, если

при n  (7)

с вероятностью 1.

В частном случае, при равных математических ожиданиях, M_i=a, это означает

при n  (8)

с вероятностью 1.

Достaточное условие выполнения (7) дает

Теорема Колмогорова. Если последовательность взаимно независимых случайных величин удовлетворяет условию

,

то она подчиняется усиленному закону больших чисел.

Для независимых и одинаково распределенных случайных величин справедлив окончательный результат:

Теорема. Необходимым и достаточным условием для применимости усиленного закона больших чисел к последовательности независимых величин является существование математического ожидания.

Проиллюстрируем (6) на примере бросания симметричной монеты, а (8) - на примере равномерно R[0,1] распределенных случайных величин.

1) Выполнение в пакете STATGRAPHICS

Для наших целей необходимо из последовательности наблюдений x₁,...,x_N сформировать последовательность частичных сумм S₁,...,S_N,_, где S_k= , что сделать возможностями пакета нелегко, и потому они (5 последовательностей по 500 бросаний монеты и 5 последовательностей длиной 500 для равномерно на 0, 1 распределенных случайных чисел) должны быть подготовлены заранее и импортированы в пакет процедурой A.3.Import Files. Первую разместим в файле с именем, например MONEYSUM. ASF, вторую - в файле UNIFSUM. ASF. Если эти эти файлы подготовлены заранее и находятсся в произвольном месте, их необходимо переписать, выйдя в DOS, в директорию, где размещаются данные пакета; после этого войти в пакет.

Проверим содержимое этих файлов: выберем процедуру A.1.Display Data Directory; на экране дается список переменных. Чтобы посмотреть требуемую, переведем на нее курсор +ENTER.

Эксперименты с монетой

Представим данные графически процедурой E.2.Multiple X-Y Plots(по-строение нескольких x-y графиков).

Выведем на экран первые, например, 50 значений переменных var1, var4

и var 5 файла MONEYSUM, как функции номера испытания; для этого в ак-

тивное окно введем:

в строку X: COUNT 50

в строку Y: 50 TAKE var1

50 TAKE var4

50 TAKE var5

оператор в строке X создает массив чисел от 1 до 50, которые становятся значениями аргумента; операторы в строках Y отбирают 50 первых значений переменных; после нажатия F6 на экране три реализации числа успехов как функции числа испытаний. (Вообще говоря, нужно указывать полные имена переменных, иначе могут быть взяты переменные с этими именами из другого файла).

Построим график последовательности среднеарифметических (относительных частот ) f₁,...,f_n, где

f_k= , k=1,...,n.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы