lr1 (543706), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рассмотрим случайную величину, распределенную по закону Коши с плотностью

(3)

Заметим, что плотность симметрична относительно нуля, однако, 0 не является математическим ожиданием; это распределение не имеет математического ожидания. Напомним, что математическим ожиданием называется , если ; последнее, очевидно, для распределения Коши не выполняется. Для последовательности независимых случайных величин, распределенных по закону Коши (3), закон больших чисел не выполняется. Если бы среднеарифметическое  сходилось с ростом n к какой-либо константе, то, в силу симметрии распределения, такой константой мог быть только 0. Однако, 0 не является точкой сходимости. Действительно, можно показать, что при любом  >0 и при любом сколь угодно большом n

(4)

с вероятностью arctg . (Поясним сказанное: с помощью характеристических функций легко показать, что распределена по (3), а функция распределения для (3) есть arctg x). Эта вероятность, как видно, не стремится к 0 с ростом n. Например, если  = 0.03, то вероятность выполнения (4) равна приближенно P  0.98, т.е. событие (4) практически достоверно, и можно уверенно ожидать его выполнения с одного раза. Если  =1, то вероятность (4) равна 0.5, и выполнение его хотя бы раз можно уверенно ожидать, проделав 7 экспериментов (т.к. вероятность невыполнения ни разу равна (0.5)⁷ = 1/128). И это при любом фиксированном n, например, n = 1000. Проверим это экспериментально.

При выполнении в пакетах, где нет закона Коши, учтем, что, если случайная величина X распределена равномерно на отрезке длины , то случайная величина

Y = tg X (5)

имеет плотность (3). Сгенерируем 7 выборок объемом n=1000 и проверим (4) при  =1.

1) Выполнение в пакете STATGRAPHICS

а) Сгенерируем 7 выборок (переменные x1,...,x7) объемом n с распределением R [-1, 1 ], разместив их в файл с именем LIMIT (как и выше).

б) Для экономичного использования рабочей области WORKAREA оперативной памяти часть операторов, в том числе TAN (тангенс), необходимо загружать процедурой V.1.Load Operators and Functions (загрузка операторов и функций); выполним ее, выбрав внутри нее опции Mathematical functions и Read (после использования ненужных операторов рекомендуется выгрузить их опцией Erase).

в) Получим 7 выборок, распределенных по закону Коши:

выберем процедуру A.2.File Operations (операции с файлами), введем имя файла LIMIT в окне file name; в окне Desired operation клавишей "пробел" установим операцию J, что означает, в соответствии с приводимым на экране списком, операцию Update (изменение);

в нижней части экрана указаны операции; выберем операцию A (ASSIGNMENT - назначение), нажав на клавишу A; в ответ на запрос пакета Enter assignment (ввести значение), введем по (5) определяющее выражение

TAN (1.570796*x1)

после его выполнения на месте переменной x1 будет располагаться выборка, распределенная по закону Коши; повторим это для x2, ..., x7.

г) Вычислим среднеарифметические для семи выборок (аналогично f_n в п.1); убедимся в том, что хотя бы раз из семи событие (4) выполняется. (Если же это не так, значит, нам крупно не повезло: произошло событие с вероятностью, меньшей 0.01)

д) В заключение этого примера посмотрим гистограмму выборки (в различных диапазонах по оси абсцисс); обратим внимание на то, что имеются редкие наблюдения, отстоящие очень далеко от центра (точки 0).

Выполняется процедурой F.3.Frequency Histogram (гистограмма частот). Использовать по оси абсцисс диапазоны: полный (предлагаемый пакетом), 400, 200, 100, 50, 20, 10, 6.

2) Выполнение в пакете STATISTICA

Сгенерируем 7 выборок объема n = 1000 с распределением Коши и определим по каждой среднее значение.

а) Заготовим таблицу 7v  1000c, изменив имеющуюся.

б) Сгенерируем выборки.

Vars - All Specs - выделяем любую клетку в 4 столбце и вводим определяющее выражение, соответствующее плотности (3),

= VCauchy (rnd (1); 0; 1)

здесь а = 0 – параметр сдвига, b = 1 – параметр масштаба в плотности

p (x  a, b) = ;

переносим выражение в остальные 6 клеток:

Edit - Copy (переносим запись в буфер), выделяем другую клетку и

Edit - Paste (вставляем запись); это же можно сделать короче с помощью кнопок Copy и Paste; закрываем окно и исполняем

кнопка Х = ? (Recalculate) - All variables - OK.

в) Определим среднее значение на всех 7 выборках:

выделим всю матрицу (щелчок на пересечении заголовков строк и столбцов) - Edit - Block Sats/Columns - Means.

Убеждаемся, что хотя бы в одной выборке модуль среднего превосходит 1. Если же это не так, то нам крупно не повезло: произошло событие с вероятностью менее 0,01.

г) Посмотрим график выборки из распределения Коши (рис.1):

Graphs - Stats 2D Graphs - Line Plots (Variables)... - в поле Line Plots вводим Variables: x1 (например), Graph Tipe: Regular, Fit: off.

обратим внимание на то, что имеются редкие наблюдения, отстоящие очень далеко от центра распределения – точки 0.

Рис. 1.Выборка наблюдений, распределенных по закону Коши (N = 200).

3) Выполнение в пакете SPSS

Сгенерируем 7 выборок объема n = 1000 с распределением Коши и определим по каждой среднее значение.

а) Образуем вектор - столбец длины n = 1000 удвоением (см. выше), начав, например, с 125. присвоим ему имя:

Data - Define Variable... - Name: x1 - OK.

б) Сгенерируем выборки:

Transform - Compute - Target Variable: x1, Numeric Expression:

UNIFORM (3,14159265).

Повторим это для х2  х7.

Затем:

Transform - Compute - Target Variable: x1; ïîñêîëüêó â ïàêåòå íåò òàíãåíñà, Numeric Expression:

SIN (x1) / cos (x1)

Повторим для х2  х7.

в) Определим средние:

Statistics - Summarise - Descriptives - перенесем все 7 переменных в правый список - Options - отметим Mean, Display Order: Name (показывать в порядке нумерации) - Continue - OK..

Получаем таблицу средних. Убеждаемся в том, что хотя бы одно из 7 средних по модулю превышает 1.

г) Посмотрим график выборки из распределения Коши:

Graphs - Line... - Simple, Values of individual cases - Define - Line Represents: x1 - OK..

Видим, что основная масса наблюдений имеет значения, близкие к 0, однако, имеются редкие наблюдения с большими по модулю значениями. График сохраним или распечатаем.

2.3. Сжатие распределения с ростом числа слагаемых

Закон больших чисел в форме Чебышева означает, что распределение случайной величины

сжимается с ростом n. Если математические ожидания одинаковы, т.е. M_i=a, то сжатие происходит в окрестности точки a.

Аналитически иллюстрировать сжатие можно, если распределение для легко выписывается. Например, если _i распределены нормально N(a, ²), то случайная величина распределена по N(a, ²/n). Построим графики плотностей для n =1, 4, 25, 100 и  =1, a =1 (сделаем это в целях освоения пакета).

Статистически убедиться в сжатии можно, наблюдая гистограммы при различных значениях n (например, для n =10, 40, 160, 640). Сгенерируем k раз (например, хотя бы k =20) случайную величину  : и построим для этой выборки средних гистограмму H_n. Сравнивая гистограммы для различных n, мы заметим сжатие (сделать самостоятельно). сжатие можно увидеть определением для каждого n по минимального _min, максимального _max значений и размаха w = _{max - min .}

1) Выполнение в пакете STATGRAPHICS

a) графики плотностей:

H.2.Distribution Plotting - Distribution number: 14 (Normal) - F6 - ввод параметров mean (среднего) и std.deviation (стандартного отклонения  = 1, 0.5, 0.2, 0.1) - F6 - Density function - ввод параметров графика, если необходимо - F6.

б)Разброс средних.

1. Получим достаточно большой массив случайных чисел, распределенных равномерно на [0,1] ( из этого массива в дальнейшем будем формировать последовательности различной длины): процедура Random Number Generation, Distribution number: 17 - Uniform, отрезок [0,1], Number of samples 6000 (если больше, пакет может отказаться выполнять). Хранить этот массив будем, например, в переменной LIMIT.z.

2. Сформируем k=20 последовательностей длиной n =10, т.е. таблицу с n =10 строками и k =20 столбцами:

A.2.File Operation, file nameLIMIT, Desired operation: J(Update), N=New (образование новой переменной), name of new variable: x (например), assignment:

10 20 RESHAPE z

(операторы писать прописными буквами), Enter. Результатом выполненияэтого оператора будет матрица X 1020, полученная из первых 1020 =400 значений переменной z; 20 столбцов этой матрицы являются 20 последовательностями длины n =10; полученную матрицу можно посмотреть, поставив курсор на X и нажав D=Display.

3. По каждой из k =20 последовательностей x₁, ..., x_n определим среднее арифметическое (обозначив его в пакете xs); это сделаем так: образуем новую переменную (клавиша N), назвав ее xs10, наберем в окне Enter assignment:

SUM X /10

Этот оператор (в пакете операторы выполняются справа налево) все значения переменной X разделит на 10, затем в каждом столбце вычислит сумму; результат - вектор xs10 длиной k =20. посмотрим полученные среднеарифметические по k =20 последовательностям: клавиша D. Выведем на печать массив xs10 (клавиша F4).

Заметим, что число операций можно сократить (что и следует сделать), определив xs10 выражением:

SUM (10 20 RESHAPE z) /10

Характеристики

Список файлов лабораторной работы