Лабораторная работа №4 (542552)
Текст из файла
Лабораторная работа №4
по курсу «Теория вероятностей
и математическая статистика»
Выполнил : студент группы А-13-03
Орлов Алексей Васильевич
Москва 2006Определения и построение интервалов
Пусть (x1,...,xn) º x - n независимых наблюдений над случайной величиной с законом распределения F(z/a), зависящим от параметра a, значение которого неизвестно.
Определение 1. Функция наблюдений a1(x1,...,xn) (заметим, что это случайная величина) называется нижней доверительной границей для параметра a с уровнем доверия РД (обычно близким к 1), если при любом значении 
P{ a1(x1,...,xn)£ a} ³ PД
Определение 2. Функция наблюдений a2(x1,...,xn) (случайная величина) называется верхней доверительной границей для параметра 
с уровнем доверия РД , если при любом значении
P{ a2(x1,...,xn) ³ a } ³ PД .
Определение 3. Интервал со случайными концами (случайный интервал)
I(x) = ( a1(x), a2(x) ) ,
определяемый двумя функциями наблюдений, называется доверительным интервалом для параметра a с уровнем доверия РД , если при любом значении a
P{ I(x)' a } º P{ a1(x1,...,xn) £ a £ a2(x1,...,xn) } ³ PД ,
т.е. вероятность (зависящая от a) накрыть случайным интервалом I(x) истинное значение a - велика: больше или равна РД.
Построение доверительных границ и интервалов. Для построения доверительного интервала (или границы) необходимо знать закон распределения статистики z=z(x1,...,xn), по которой оценивается неизвестный параметр (такой статистикой может быть оценка z = â(x1,...,xn) ). Один из способов построения состоит в следующем. Предположим, что некоторая случайная величина j = j(z, a), зависящая от статистики z и неизвестного параметра a такова, что
1) закон распределения 
известен и не зависит от a;
2) j(z, a) непрерывна и монотонна по .
Выберем диапазон для - интервал 
так, чтобы попадание в него было практически достоверно:
P{ f1 £ j(z, a) £ f2 } ³ PД , (1)
для чего достаточно в качестве 
и 
взять квантили распределения уровня (1- РД )/2 и (1+ РД )/2 соответственно. Перейдем в (1) к другой записи случайного события, разрешив неравенства относительно параметра a; получим (полагая, что монотонно возрастает по ):
P{ g(z, f1) £ a £ g(z, f2) } ³ PД .
Это соотношение верно при любом значении параметра a (поскольку это так для (1)), и потому, согласно определению, случайный интервал
( g(z, f1) , g(z, f2) )
является доверительным для a с уровнем доверия РД . Если убывает по , интервалом является ( g(z, f2) , g(z, f1) ).
Для построения односторонней границы для a выберем значения и так, чтобы
P{ j(z, a) ³ f1 } ³ PД , f1=Q(1 - PД )
или P{ j(z, a) £ f2 } ³ PД , f2 = Q( PД ),
где 
- квантиль уровня 
. После разрешения неравенства под знаком получим односторонние доверительные границы для a.
Пример. Доверительный интервал с уровнем доверия РД для среднего a нормальной совокупности при известной дисперсии s
.
Пусть x
, ... , xn - выборка из нормальной N(a, s
) совокупности. Достаточной оценкой для а является
â = â(x
,...,xn) = 
,
распределенная по закону N(a, 
) ; пронормируем её, образовав случайную величину
, (2)
которая распределена нормально N(0,1) при любом значении а.
По заданному уровню доверия РД определим для j отрезок [-fp, fp] так, чтобы
, (3)
т.е. fp - квантиль порядка (1+ РД )/2 распределения N(0,1); заметим, что j зависит от а , но (3) верно при любом значении а. Подставим в (3) выражение для j из (2) и разрешим неравенство под знаком вероятности в (3) относительно а ; получим соотношение
, (4)
верное при любом значении а. под знаком вероятности две функции наблюдений
, 
( 5)
определяют случайный интервал
I( x1, ... , xn) =(a1( x1, ... , xn), a2( x1, ... , xn)), (5a)
который в силу (4) обладает тем свойством , что накрывает неизвестное значение параметра а с большой вероятностью РД при любом значении а, и потому, по определению доверительно интервала, он является доверительным с уровнем доверия РД .
В общем случае случайную величину j в (1) можно построить следующим образом. Определим функцию распределения F(z/a) статистики z (F, конечно, зависит от а). Для непрерывной z случайная величина j(z, а)º F(z /a), как нетрудно видеть, распределена равномерно на отрезке [0, 1] при любом значении а; приняв f1= (1- PД)/2, f2 =(1+PД)/2, будем иметь в качестве (4)
P{f1 £ F(z /a) £ f2} = PД .
Для дискретной z ситуация аналогична.
Можно рассуждать иначе: при любом фиксированном значении а определим отрезок [z1(a), z2(a) ] так, что
P{ z1(a) £ z £ z2(a) } ³ РД ; (6)
ясно, что в качестве z1 и z2 можно взять квантили, т.е. определить из условий
F(z!/a)=(1- РД )/2, F(z2/a)=(1+ РД )/2.
Если z1(a) и z2(a) монотонно возрастают по а, то, разрешив два неравенства под знаком Р в (6) и учитывая, что z1(a) < z2(a), получим:
P{ z2-1(z) £ a £ z1-1(z) } ³ РД ,
вверное при любом а; ясно, что интервал ( z2-1(z) , z1-1(z) ), определяемый двумя функциями от z , является доверительным с уровнем доверия РД.
Уровень доверия
Уровень доверия РД означает, что правило определения интервала дает верный результат с вероятностью РД, которая обычно выбирается близкой к 1, однако, 1 не равно.Убедимся статистически на примере в том, что доверительный интервал с уровнем доверия РД может не содержать (с малой вероятностью 1- РД ) истинное значение параметра.
Пример. рассмотрим приведенный в (5) случайный интервал I(x1, ..., xn), который при любом значении а накрывает это значение с большой вероятностью РД:
Р{ I(x1,...,xn) ' a } = РД ,
и потому, если пренебречь возможностью осуществления события aÏI, имеющего малую вероятность (1-РД), можно считать событие aÎI(x1,...,xn) практически достоверным, т.е. можно верить тому, что вычисленный по конкретным наблюдениям x1,...,xn интервал I содержит неизвестное значение параметра а.
Интервалы для параметров нормального распределения
Пусть х1, … ,хn - выборка из нормального N(a,s2) распределения; значения среднего а и дисперсии s2 неизвестны. Оценки для а и s2:
, 
. (7)
Как известно, доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия РД при неизвестной дисперсии является интервал
I(x) = (a1(х), a2(х) ), (8)
где 
, 
, (9)
tp - квантиль порядка (1+ РД)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.
Доверительным интервалом для стандартного отклонения s с уровнем доверия РД является интервал
I (x)=(s1(х), s2(х)) , (10)
где 
, 
, (11)
t1 и t2- квантили порядков соответственно (1+ РД)/2 и (1- РД)/2 распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.
Если нас интересуют не интервалы, а верхние или нижние доверительные границы, то, как известно, они определяются теми же формулами (9) и (11), однако, значения порогов t изменяются. Например, нижней доверительной границей для a с уровнем доверия РД является значение
,
где tp - квантиль порядка РД распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, а верхней границей для s с уровнем доверия РД является
,
где t2 - квантиль порядка 1- РД распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.
1. Определить, сколько раз из k =50 доверительный интервал оказался неверным для трех значений РД =0.9, 0,99, 0,999.
=vnormal(rnd(1); 17; 3)
2. Провести аналогично 50 испытаний доверительного интервала для случая неизвестной дисперсии.
=vnormal(rnd(1); 17; 3)
3. Определить верхние доверительные границы для а и s с уровнем доверия РД = 0.95.
=vnormal(rnd(1); 17; 3)
4. Расстояние а до некоторого объекта измерялось n1 = 5 раз одним прибором и
n2 = 10 - вторым; результаты х1,…,хn1; y1,…,yn2. Оба прибора при каждом измерении дают независимые случайные ошибки, нормально распределенные со средним 0 и стандартными отклонениями s1 = 3 и s2 = 5 соответственно. Методом максимального правдоподобия построить оценку â для а = 300 и доверительный интервал с уровнем доверия РД = 0,95 .
1. Результаты моделирования и границы доверительных интервалов.
Pд = 0,9 – 4 раза истинные значения не попали в доверительный интервал
Pд = 0,99 – все истинные значения попали в доверительный интервал
Pд = 0,999 – все истинные значения попали в доверительный интервал
2. Результаты моделирования, оценки для среднего и дисперсии, границы доверительных интервалов.
Pд = 0,9 – 7 раз истинные значения не попали в доверительный интервал
Pд = 0,99 – все истинные значения попали в доверительный интервал
Pд = 0,999 – все истинные значения попали в доверительный интервал
3. Результаты моделирования, оценки и верхние доверительные границы для среднего и дисперсии
Верхние доверительные границы для среднего
В 6 случаях из 50 истинное значение параметра оказалось меньше верхней доверительной границы
Верхние доверительные границы для стандартного отклонения
В 1 случае из 50 истинное значение параметра оказалось меньше верхней доверительной границы
измерения получить моделированием с заданным параметром а.
Решение (без вывода). Оценка
, где с=
;
доверительный интервал
I=(
, 
),
где 
- квантиль порядка (1+РД)/2 распределения N(0,1).
Результаты моделирования:
c = (25 * 64)/(15 * 25 + 10 * 64) = 1,576
â= 1,576 * (3990,534 / 25 + 5987,843 / 64) = 399,014
tp = Q(0,95) = 1,64
I = (399,014 – 1.64 * sqrt(1,576) ; 399,014 + 1.64 * sqrt(1,576)) = (396.955 ; 401,073)
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
