Лабораторная работа №1 (542548), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Из последовательности x1 ,..., xN независимых наблюдений построим последовательность f1, ..., fN среднеарифметических, где
fn = 
, n = 1, ..., N
и убедимся графически в том, что fn c ростом n приближается к математическому ожиданию.
Из последовательности x1 ,..., xN независимых наблюдений построим последовательность f1, ..., fN среднеарифметических, где
fn = , n = 1, ..., N
и убедимся графически в том, что fn c ростом n приближается к математическому ожиданию.
Эксперименты с монетой.
Графики зависимости среднего арифметического от числа испытаний.
N=25
N=50
N=100
N=100
N=500
Эксперименты со случайными числами, распределенными равномерно на отрезке [0, 1].
N=25
N=50
N=100
N=500
Убеждаемся, что получили аналогичные графики и для равномерного распределения.
Пример невыполнения закона
Посмотрим на последовательностях случайных чисел, распределенных по закону Коши.
Сгенерируем выборки, учитывая по (3), что tg (), если ~ R [0, 1], имеет распределение Коши,
Анализируя результирующие графики, видим, что кривые среднеарифметических иногда испытывают скачки, которые отбрасывают их значения далеко от 0 – центра распределения.
Задание
Промоделировать и посмотреть на графиках поведение средне-арифметического как функцию n для случайных величин, распределенных с плотностью
p(x) = 
, 
, (9)
где a>0, c=1/(2a). При a<1 математическое ожидание существует, но при a
1 это не так. При увеличении a (1, 1.5, 2, 5, 10) скачки в среднеарифметическом (как функции n) будут увеличиваться. Генерацию случайных чисел можно сделать на формуле
, где u ~ R[0,1],
a = 1 с вероятностями 1/2.
из M (например, M =3) последовательностей x1, x2,...,xn получить M послед
овательностей средних 
1, 2,..., n, где
k =
N=25
N=50
N=100
N=500
4. Теорема Гливенко основная теорема статистики
Пусть x1, x2,...,xn - выборка из n независимых наблюдений над случайной величиной X с функцией распределения F(x). Расположим наблюдения в порядке возрастания; получим
-вариационный ряд. Определим функцию эмпирического распределения
,
где 
- число тех наблюдений, для которых xi
- ступенчатая функция; это функция распределения, которое получается, если значениям x1,...,xn присвоить вероятности, равные 1/n. Ясно, что 
-функция случайная , так.как зависит от наблюдений x1,...,xn.
Теорема Гливенко:
при 
с вероятностью 1.
Проиллюстрируем эту теорему на примерах наблюдений над случайной величиной, распределенной по равномерному на [0,1] закону.
Сравним графически функцию эмпирического распределения 
для выборки объема n и функцию теоретического распределения.
Функции эмпирического и теоретического распределений, R[0, 1]
N=10
N=40
N=160
N=640
Убедились, что с ростом n функция эмпирического распределения приближается к теоретической.
5. Центральная предельная теорема
Содержание теоремы
Закон больших чисел утверждает , что при n
,
где а = Mi. Центральная предельная теорема утверждает нечто большее, а, именно, что при этом стремлении происходит нормализация:
, (10)
где 
, т.е среднеарифметическое при больших n распределено приближенно по нормальному закону с дисперсией 2/n; этот факт записывают иначе, нормируя сумму:
.
Приведем формулировку одной из теорем.
Теорема Линдеберга. Если последовательность взаимно нeзависимых случайных величин 1, 2,..., n,... при любом постоянном >0 удовлетворяет условию Линдеберга
,
где 
, 
, то при n равномерно относительно x
(11)
Следствие. Если независимые случайные величины 1, 2,..., n,... одинаково распределены и имеют конечную отличную от нуля дисперсию, то выполняется (11).Условие Линдеберга в этом случае, т.е. Mk=a, Dk=2, Fk(x)=F(x), принимает вид: при любом > 0 и при n
;
оно, очевидно, выполняется, поскольку интеграл по всей оси, т.е. дисперсия, существует.
Убедимся статистически в том, что сумма нескольких случайных величин распределена приближенно по нормальному закону.
Одинаково распределенные слагаемые .
Сделаем это на примере суммы
(12)
шести (m = 6) независимых случайных величин, имеющих beta-распределение с параметрами a=b=0.5, плотность которого
, (13)
где 
- beta-функция. Плотность при выбранных значениях параметров имеет U-образный вид, весьма далекий от нормального; убедимся в этом, построив график плотности .
чтобы статистически оценить закон распределения для суммы S, cследует многократно, N раз (например, N=500), промоделировать суммирование: получим S1, S2,...,SN - выборку для суммы; для этой выборки построим гистограмму и сравним ее визуально с нормальной плотностью.
Гистограмма для одного слагаемого
Гистограмма суммы двух слагаемых
Гистограмма суммы четырех слагаемых
Гистограмма суммы шести слагаемых
Различно распределенные слагаемые
Распределение суммы сходится к нормальному и в том случае, когда слагаемые распределены по различным законам.
Задание 1. Оценить экспериментально распределение для суммы 
шести слагаемых, распределенных по различным законам; выберем их из семейства beta-распределений (13), задав следующие параметры:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| a | 1 | 0.5 | 1 | 1 | 2 | 2 |
| b | 0.5 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 |
Гистограмма для суммы шести слагаемых
Если же в сумме (12) имеется слагаемое, дисперсия которой существенно превышает все остальные, то приближенная нормальность места не имеет.
Задание 2. Проверить это (получить гистограмму), добавив в (12) 7-е слагаемое, имеющее beta-распределение с параметрами a=b=0.5 и умноженное на 1000.
Гистограмма для суммы семи слагаемых
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
