physics_saveliev_3 (535941), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Вычисления, которые при этом придется проделать, будут отличаться от вычислений, выполненных в $ 53, тольио тем, что вместо величины (53.3) во всех выражениях будет фигурировать величина (84.1). В результате для средней энергии осциллятора получится значение: 1 Ьы е = — йго+ 2 е"в1аг — ! 1ср. с формулой (53.8)]. Умножив е на ЗУз1, получим выражение для внутренней энергии кристалла: (у' = ЗМе = — йгйш + з змйы (84.3) 2 е екаг — ! ') Эйнштейн использовал плаиковское значение в = паы.
Существование нулевой энергии колебавий была установлено лишь после создании квантовой механики. Как известно из термодинамики (см. т, 1, формулу (102.6)), теплоемкость при постоянном объеме С, (в случае кристалла можно говорить просто о теплоемкости С) равна частной производной внутренней энергии по температуре. Продифференцировав (84.3) по Т, получим: е~ >мг с)1l зуав, йа ( ммхг !)з Ьтз Рассмотрим два предельных случая. !. Высокие температуры (ИТ » Вы). В этом случае можно положить е"""г = ! + йи(йТ в знаменателе и е' 'г = ! — в числителе формулы (84.4). В результате получим: С = ЗЛ'й.
Таким образом, мы пришли к закону Дюлонга и Пти. 2. Низкие температуры (АТ «Ьы). При этом условии единицей в знаменателе выражения (84.4) можно пренебречь. Тогда формула для теплоемкостн принимает вид: зУ (вм!' -ь мг «г' Экспоненциальный множитель изменяется значительно быстрее, чем Т'. Поэтому при приближении к абсолютному нулю выражение (84.5) будет стремиться к нулю по экспоненциальному закону. Опыт показывает, что теплоемкость кристаллов изменяется вблизи абсолютного нуля не экспоненциально, а по закону Т'.
Следовательно, теория Эйнштейна дает лнюь качественно правильный ход теплоемкости при низких температурах. Количественного согласия с опытом удалось достигнуть Дебаю. Теория Дебая. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного нз атомов из положения равновесия влечет за собой смещения других соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему М упруго связанных друг с другом материальных точек, обладающую з = ЗМ степенями свободы. Рассмотрим без вывода результаты решения задачи о малых колебаниях такой системы.
Положение системы с з степенями свободы определяется г независимыми координатами хь которые могут 407 быть выбраны различными способами. Можно показать, что такая система имеет з собственных частот ыя При произвольном выборе координат х! общее решение урав- нений движения имеет вид: х,= ~~'./А!/соз(а//+а!/) (!=1, 2, ..., з). / ! Следовательно, каждая из функций х; представляет со- бой суперпозицию з гармонических колебаний с часто- тами ы/. Энергия системы определяется выражением: Е = — г а!эх!ха+ — ~ Ь, х,х, сь ! !, и-! где первая сумма дает кинетическую, а вторая — потенциальную энергию системы; ам и Ь! — размерные коэффициенты.
Как мы видим, в выражение для энергии входят, вообще говоря, не только квадраты координат х! (или нх производных по времени 2!), но и произведения координат (или производных), соответствующих различным степеням свободы системы. Оказывается, можно выбрать координаты системы таким образом, что изменение каждой из ннх будет представлять собой простое гармоническое колебание, совершающееся с одной из собственных частот гэ/.
Обозначив эти координаты $/, можно иаписат!н ~/ — — В/соз(/э//+р/) (/=1, 2, ..., з). Величины $/ называют нор м альпы м и (или гл а вным и) коорди н ага и и, а совершаемые ими гармонические колебания — н о р м а л ь н ы м и кол е б ани я м и системы. Изменения во времени произвольно выбранных координат х! могут быть представлены как суперпозиция нормальных колебаний $/: 5 х!=Хс!Д/ (1=1, 2, ..., 8).
Энергия системы, выраженная через нормальные координаты, имеет вид: откуда следует, что энергия системы равна сумме энергий, приходящихся на каждое нз нормальных колебаний в отдельности. Поясним сказанное следующим примером. Пусть имеется система из двух одинаковых связанных невесомой пружиной математических маятников (рис.
237). Предположим, что маятники могут совершать колебания только в плоскости чертежа, так что система имеет две степени свободы. Положение системы может быть задано углами отклонения обоих ма- пу ф ятников от вертикального положения, либо углом отклоне- Риа 237. ния одного из маятников и длиной пружины и т. д. Решение уравнений движения дает для углов отклонения маятников от положения равновесия х1 и хи выражения: х, = А, соз(си,(+а,)+ А,соз(эи(+ах), хз = А, соз (итГ + а,) — Аи сов(а(+ аи), где А» Ам а~ и ии — постояннь1е, определяемые из начальных условий, сис и сиз — собственные частоты системы, равные; (л1 — масса, 1 — длина маятников, й — коэффициент жесткости пружины, Ь вЂ” расстояние от точки подвеса до точки крепления пружины).
Очевидно, что колебания х~ н хи можно представить в виде: х,=~,+й„, хи=-$,-$,. где 2 = А, соз(сиф+а,), х, +хи ) (84.6) = — "' = А,соз(си,1+ее). ~ 2 ' ) Функции (84.6) и представляют собой нормальные колебания данной системы. Если маятники отвести в одну и ту же сторону на одинаковый угол хш = хзи и отпустить без толчка, то в системе будет совершаться только 409 первое нормальное колебание (А, чЬ О, Аг = 0), причем х| = хг = $~ (рис.
237, а). Если отвести маятники на одинаковый по величине угол в противоположные стороны (хм = — хгг), то в системе будет совершаться только второе нормальное колебание (Аг = О, Аг Ф 0), причем хг = — хг = кг (рис. 237, б), В первом случае маятники колеблются с частотой сзь во второл~ — с частотой сзг, большей чем сэь При иных начальных условиях будут одновременно совершатьг ся оба нормальных коле- бания. а) Л ~- ††††--- 2Г В качестве второго примера рассмотрим систему нз трех одинаког вых шариков, соединен- г ных невесомыми одинакой) л ------ — — — — Ю ными пружинами (рис. 238). Концы пружин А ,У и В закреплены непог т движно. Предполагается, что шарики могут перемещаться только в плоскости чертежа в направг лениях, перпендикулярРис.
238. ных к линии АВ. В этом случае система обладает тремя степенямн свободы. Нормальные колебания показаны на рнс. 238 (ср. с т. 1, рис. 206). В случае а все шарики движутся в одинаковой фазе; в случае б шарики 1 и 8 колеблются в противофазе, шарик 2 неподвижен; в случае в шарики 1 и 3 колеблются в одинаковой фазе, а шарик 2 по отношению. к ним движется в противофазе. В случае сплошной закрепленной на концах струны каждое нормальное колебание представляет собой стоячую волну, длина которой Х~ связана с длиной струны1 соотношением: 1 = пХ/2 [см.
т. 1, формулу (85.1)). Аналогично, каждому нормальному колебанию кристаллической решетки соответствует стоячая волна, устанавливающаяся в объеме кристаллического тела. Действительно, из-за связи между атомами колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая 4ю ы' оы и 2нхоз $ (84.7) где о — фазовая скорость упругой волны [в формулу (52.7) вместо и входила скорость света в пустоте с). В твердой среде вдоль некоторого направления могут распространяться три разные волны с одним и тем же значением пт, отличающиеся направлением поляризации: одна продольная и две поперечные с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний ').
Это обстоятельство можно учесть, придав формуле (84.7) следующий вид: где о„— фазовая скорость продольных, а о — поперечных упругих волн. Положим для простоты, что о, = = о, о. Тогда 2л'о' (84.8) Дебай предположил, что число нормальных колебаний равно чкслу степеней свободы кристаллической решетки, т, е. Зл (и — число атомов в единице объема кристалла). Частоты этих колебаний заключены в пределах ') В случае злектромаптитных волн возможны только лве поперечные волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях (см. э 52), 41! волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается. Прн наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна.
Стоячие волны могут возникать лишь для частот (или длин волн), удовлетворяющих определенным условиям. Если взять кристаллическое тело в виде параллелепипеда со сторонами а, Ь и с, то эти условия, как было выяснено в 2 52, име1от вид (52.5). Согласно формуле (52,7) приходящееся на единицу объема число стоячих волн, т. е. нормальных колебаний кристаллической решетки, частоты которых заключены в интервале от от до аз + Йа, равно от нуля до м, где еь — максимальная частота колебаний решетки. Максимальную частоту можно найти, проинтегрировав (84.8) в пределах от нуля до ы, и приравняв получившееся выражение числу степеней свободы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
