physics_saveliev_3 (535941), страница 66
Текст из файла (страница 66)
е. Зп. В результате получим: откуда л —— я =о р'бнзп. (84.9) Отметим, что в соответствии с (84.9) наименьшая длина волны, возбуждаемая в кристалле, получается равной: 2но 2 хеы= = з где 0 — расстояние между соседними атомами в решетке. Это обстоятельство может служить дополнительным оправданием для введенного Дебаем ограничения числа частот колебаний кристалла, так как волны, длина которых меньше межатомного расстояния, не имеют физического смысла. Заменив в (84.8) о через и согласно (84.9), получим для числа нормальных колебаний ЖЧ в интервале частот де, приходящегося на единицу объема кристалла, следующее выражение: (84.10) Если среднее значение энергии нормального колебания решетки частоты ы обозначить е (в), то внутренняя энергия единицы объема кристалла может быть представлена в виде: ~и У = ~ е(в)АЧ„= ~ е(а)9а о П$ Подставив сюда выражение (84.2) для средней энергии колебания частоты е, получим: "ь »е и- — ~~ ( — '»м+ )ы Ь = ,мхг ма и4 0 где Уа = Зл (з/з»ы ) — нулевая энергия кристалла.
Продифференцировав выражение (84.11) по Т, найдем теплоемкость единицы объема кристалла: Величину О, определяемую условием: »о~ — — ЙО, называют х а р а к т е р и с т н ч е с к о й т е м п е р а т у р о й Д е б а я. По определению: О= —. »эя Ф Введем переменную к = »ы/»Т. Тогда выражение для теплоемкости примет вид: к„, (84. 13) где х, = »е, /йТ = О/Т. Характеристическая температура Дебая указывает для каждого вешества ту область, где начинает становиться существенным квантование энергии колебаний.
При Т;« О верхний предел интеграла в выражении (84.13) будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности (х = оь). Тогда интеграл будет представлять собой некоторое число н теплоемкость С окажется пропорциональной кубу температуры: С схэТз. Эта приближенная зависимость известна как -закон Т' Деба я. Прн достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо. аз При Т >> О, т.
е. при Гкл ГИТ « 1, выражение (84.11) можно упростить, положив е" мг 1 + лгаЯТ, Тогда для внутренней энергии получается выражение: лт У = Ус+ —, ~ — о'с(г» = Ус+ ЗЛИТ, элл Г лт а для теплоемкости значение С = Зал, фигурирующее в законе Дюлонга и Пти. Насколько хорошо дебаевское выражение для тепло- емкости согласуется с опытом, можно судить по рис. 239, ~-00 070 0Я 07 Г00 Ы7 000 Ж42 т ол. 0; ~0 00 0' юг 07 0 ЖР сй7 Л12 Т 'УГ Рле 239. на котором приведены данные для теплоемкости алюминия (О = 396' К) и меди (О = 309' К); С вЂ” классическое значение теплоемкости, получающееся нз квантовых формул при Т- лс, Кривые построены по формуле (84.! 3), кружками, показаны экспериментальные точки. 414 Однако формула Лебая хорошо передает ход тепло- емкости с температурой лишь для тел с простыми кристаллическими решетками, т.
е. для химических элементов и некоторых простых соединений (например, галоидных солей). К телам с более сложной структурой формула Дебая неприменима. Это вызвано тем, что у таких тел спектр колебаний оказывается чрезвычайно сложным. В рассмотренном нами выше случае простой кристаллической решетки (у которой в элементарной ячейке содержится только один атом) каждому значению волнового вектора й соответствовали три значения собственной частоты колебаний решетки (одно для продольной о' ,рлстлксьтинн н два совпадающих друг с дру- «т гом ') значения для поперечных лэ волн1 Если число атомов в элементарной ячейке кристалла рав- йэ но г, каждому значению й соот! ! ветствует в общем случае Зг раз- ,4~щжмтаи» личных значений то. Следователь- лллтла но, частота является многозначной функцией волнового вектора, обладающей Зг ветвями.
Так, например, н случае одномерной цепочки, построенной из чередующихся атомов двух сортов (г = 2), зависимость нт от й имеет вид, показанный на рис. 240. Одна из ветвей называется акустичес к о й, вторая — о п т и ч е с к о й. Этн ветви отличаются дисперсией, т. е. характером зависимости от от л.
Аку. стическая ветвь при убывании Й идет в нуль, оптическая ветвь имеет своим пределом конечное значение тоно. В трехмерном случае из Зг ветвей три являются акустическими, остальные (Зг — 3) оптическими. Акустиче; спим ветвям соответствуют звуковые частоты, оптическим — частоты, лежащие в инфракрасной области спек. тра. При нормальном колебании с акустической частотой колеблются друг относительно друга аналогичные атомы, помещающиеся в различных элементарных ячейках.
При нормальных колебаниях оптической частоты колеблются друг относительно друга различные атомы внутри ') В сильно анизотропном кристалле все три частоты будут ратличными. каждой из элементарных ячеек; аналогичные атомы различных ячеек находятся прн этом на неизменных расстояниях друг от друга. В заключение отметим, что, подобно тому как влек.
тромагнитное излучение может быть представлено в виде совокупности квантов энергии — фотонов, колебания кристаллической решетки можно представить как совокупность квантов колебательной энергии, называемых ф о н о н а м н. Фонон представляет собой так называемую к в а з и ч а с т и ц у'), обладающую энергией йы (ы — собственная частота колебаний решетки) и квазнимпульсом р = йй ()с — волновой вектор). Для частот акустических ветвей фононы представляют собой кванты звука, т. е. элементарные порции звуковой энергии. Количество л; возбуждаемых в решетке одновременно одинаковых фононов (т. е. фононов одинаковой частоты кч и с одинаковым волновым вектором йэ) определяется избытком энергии еь приходящейся на колебания данной частоты, над нулевой энергией вич а именно: лгйюе = вэ вге.
В случае теплового равновесия е; рав но аь определяемому формулой (84.2). Взяв из этой формулы в,— вю=в,— '/тйыь получим для среднего числа фононов частоты юг значение: 1 ц1= а !аг е ~ — 1 Из последнего выражения следует, что в данном кристалле может одновременно возбуждаться неограниченное количество одйнаковых фононов. Следовательно, на фононы принцип Паули не распространяется. Согласно квантовым представлениям комбинационное рассеяние света кристаллами выглядит следующим образом. Фотон, пролетающий через кристаллическую решетку, может возбудить в ней фонон одной из частот оптической ветви кристалла.
На этв фотон израсходует часть своей энергии, вследствие чего его частота умень- ') Основяое отличие квазичастнц от обычяых частиц [электронов, протонов, фотонов и т. д.) заключается в том, что квазичастицы не могут появляться в вакууме — для своего возникновения и существования они нуждаются в некоторой среде. 416 шается — возникает красный спутник. Если в кристалле уже был возбужден фонон, пролетающий фотон может поглотить его, увеличив за этот счет свою энергию,— возникает фиолетовый спутник. й 85.
Эффект Мессбауэра В !904 г. Р. Вуд обнаружил, что пары натрия при облучении их светом, соответству1ощим желтой линии натрия, начинают светиться, испуская излучение той же длины волны. Впоследствии аналогичное свечение наблюдалось в парах ртути и во многих других случаях. Это явление названо резона нсной фа уоресценцией (или резонансным излучением). Оно . имеет следующее объяснение. Атомы особенно интенсивно поглощают свет частоты, соответствующей переходу из основного в ближайшее к нему возбужденное состояние. Возвращаясь затем в основное состояние, атомы испускают фотоны той же самой частоты. Вследствие поглощения свет, прошедший через флуоресцирующее вещество, ослабляется В связи с этим часто говорят вместо резонансной флуоресценции о р е з о н а н с н о м поглощении света. Ядра атомов, как и сами атомы, имеют дискретные уровни энергии, самый низкий из которых называется нормальным, остальные — возбужденными.
Переходы между этими уровнями приводят к возникновению коротковолнового электромагнитного излучения, получившего название у-лучей (см."$90). Очевидно, можно было ожидать, что для у-лучей существует явление ядерной резонансной флуоресценции, аналогичной атомной резонансной флуоресценцни, наблюдаемой в видимом свете. Однако наблюдать резонансную флуоресценцию с у-лучами долгое время не удавалось. Причина этих неудач заключается в следующем. В э 79 было показано, что соответствующие некоторому переходу квантовой системы между двумя состояниями линия испускания н линия поглощения смещены друг относительно друга на 2Лгза = 2)7/а, где )г — энергия отдачи, определяемая формулой (79.7). Для видимого света сдвиг 2Лыа на много порядков меньше, чем ширина спектральной линии бгз, так что линии испускания и поглощения прак. тически налагаются друг на друга.
Иначе обстоит дело 14 н. В, савельев, к и! 4!7 где т„— масса ядра. В спектроскопии у-лучей принято вместо частот пользоваться энергиями. Поэтому ширину спектральной-линии, сдвиг линий н т. п. мы будем выражать в единицах энергии, умножая для этой цели соответствующие частоты (например, бы илн 2быя) на постоянную Планка К В этих единицах естественная ширина спектральной линии будет характеризоваться величиной Г [см. формулу (79.2)], сдвиг линий испускания и поглощения — величиной 2)с, а допплеровское ушнрение линии — величиной 20 = 2 — ЬЕ„= 2 — Ьгз с "с' с (85.2) [см.
(79.10)]. При радиоактивном распаде ядер обычно наблюдаются у-кванты с энергиями от 10 кэв до 5 Мэв (что соответствует частотам гс в пределах 1О" †: 10" сек ' и длинам воли от — 1 А до 1О-з А). Вычислим энергию отдачи гг для случая все = 100 кави т, = 1,7 1О мг (атомный вес равен 100). Величина т,сс составит 1,7 1О м 9 10м = 0,153 эрг, т, е.
0,15371,6 10-" = 10" эв. Следовательно, согласно (85.1) а сдвиг линий 2А' составляет 10 ' эв. Типичное время жизни возбужденных состояний ядер составляет 1О " сек. Такому времени жизни соответствует [см. формулу (79.1)] естественная ширина спектральных линий, равная Г= — = ' =1,05 10 эрг=10 эв, й 105 ° !о — м -3 !о-!2 Лля ядер с массой — 10 зз г средняя скорость теплового движения равна при комнатной температуре при- ив в случае у-лучей. Энергия и импульс у-фотона во много ,раз больше, чем у фотона видимого света. Поэтому значительно больше и энергия отдачи Й, которая в этом случае должна быть записана следующим образом: (85.1) Зтсс' мерно 300 м/сек. По формуле (85.2) для допплеровской ширины линий с есз = 100 кэв получается значение: ,о, 10 =2 ° 10 эв. Ер Из сопоставления полученных нами значений Г и 20 вытекает, что ширина испускаемых ядрами при комнатной температуре спектральных линий в основном определяется допплеровской шириной и составляет примерно 0,2 эв.
Для сдвига линий испускания и поглощения 2Й мы получили выше значение — О,1 эв. Таким образом, даже для сравнительно мягких у-лучей с энергией 100 кэв сдвиг линий испускания и поглощения ока- 1.»- Л»'-з 1 зывается того же по- Пания Ллю рядка, что и ширина испускания еещгещещФ спектральной линии. С увеличением энергии фотона 14 растет быстрее [как г»', см. формулу (85.1) [, чем 0 [которая пропорцио- Рис. 241.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
