physics_saveliev_3 (535941), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(11.3) А Л,, Ь Ь а г Заменив в (11.2) углы их значениями (11.3), сократив на 6 и произведя преобразования, получим формулу: аа' л л' — л я' г Для того чтобы зта формула давала правильный результат при обращении поверхности выпуклостью в любую сторону, с радиусом кривизны Л нужно обращаться нак с алгебраической величиной: для выпуклой поверхности (центр кривизны С лежит справа от вершины О) считать его положительным, для вогнутой поверхности (С лежит слева от О) — отрицательным.
Величина л' — л называется оптической силой преломляющей поверхности. Она характеризует преломляющую способность поверхности. Из формулы (11.4) видно, что при фиксированном расстоянии до предмета з расстояние до изображения з' тем меньше (т. е. лучи преломляются тем сильнее), чем больше Ф. Из уравнения (11.4) следует, что прн заданном з, независимо от значения и, получается одно и то же значение з'. Таким образом, для параксиальных лучей гомоцентрнческий пучок в первом приближении остается после преломления на сферической поверхности гомоцентрическим.
Итак, оптическая система, образованная сферической поверхностью, для параксиальных лучей является идеальной. Размеры участка поверхности, через который 53 Рнс. 30, преломляющей поверхности. Таким образом, координаты а н з', отсчитываемые от точки О, совпадают с координатами з и з', которыми мы пользовались в $9. Лучу l, идущему через центр кривизны поверхности С (рис.
30, б), соответствует сопряженный луч !', идущий по тому же направлению. Следовательно, узлы Ж и Ю' также совмещены 11руг с другом и совпадают с центром поверхности С. Найдем фокусные расстояния преломляющей поверхности. Предмету, удаленному на бесконечность (з = со), соответствует изображение, помещающееся в заднем фокусе Р', т. е. отстоящее от точки Н' на расстояние з' =1'. Подставив эти значения з и а' в формулу (11.4), имеем: откуда Г= —, а' В' л — а Ф (1 1.6) проходят параксиальиые лучи, малы по сравнению с радиусом кривизны поверхности Р, вследствие чего этот участок можно в первом приближении считать плоским. Пучок лучей, сходящихся в любой точке Р преломляющей поверхности (рис. ЗО, а), преобразуется в пучок, исходящий из точки Р', совпадающей с точкой Р. Следовательно, плоскость, проходящая через точку О, отображается с линейным увеличением, равным +1, в виде совпадающей с ней плоскости.
Отсюда вытекает„что главные плоскости И и гт' преломляющей поверхности совмещены друг с другом и проходят через вершину О Если предмет поместить в переднем фокусе Р, т. е. на расстоянии з = ! от точки Н, то изображение окажется на расстоянии з' = оо: и' и и' — и — — = !р оо 1 !'э откуда и и — й= — —. и' — и Ф' 1,1 1.7) Из формул (11.6) н (1!.7) следует, что и' и (!!.8) Таким образом, величина (11.5) совпадает с оптической силой системы, определяемой формулой (9.4).
Разделив уравнение (11.4) на Ф и приняв во внимание (11.б) и (1!.?), можно написать: Р— + — =1 Ф что совпадает с формулой центрнрованной оптической системы (9.9). Если перейти к координатам предмета к и изображения х', отсчитываемым от фокусов Р и Р', получится для сферической поверхности формула Ньютона (9.7). Все остальные фОрмулы, полученные в 2 9 для центрированной оптической системы, также справедливы для одной преломляюшей поверхности, если ограничиваться рассмотрением паракспальных пучков лучей, Отметим, что, положив в формуле (11.4) и/и = — 1, т.
е. и' = — а'), мы получим известную формулу сферического зеркала: ! ! 2 — + — =— У2 сн, Э нн У! Б~ ') Си, сноску нн стр. !О. Построим изображение !',!нРн отрезка (),Р!, даваемое преломляюшей поверхностью (рис. 3!). Проведем из !очки Ц! произвольный луч Я!А и сопряженный с иим луч А1,1,. Все лучи будем считать параксиальными, так что углы сь с;, — и! н ин очень малы. Поэтому можно считать, что Откуда У~ б ус и Аналогично можно считать, что (11.9) из= > 5с — Ы 1= 1 — Л~ откуда (11. 10) а, у, и, а, ус аз ! которому можно придать следующий вид: п,и,Уа = и,и,Ун (11.12) Если за первой преломляющей поверхностью расположить вторую так, чтобы 1,сРс служило для нее предметом, то вторая поверхность даст изображение Яср, Рис.
31. размера уз. Повторив рассуждения, приведшие нас к соотношению (11.12), найдем, что ~Жзуз нсн202 где аз — показатель преломления среды, расположенной за второй поверхностью. К тому же результату мы при- 56 81 ас Согласно закону преломления (1.6) л,1, = псгс (мы заменили синусы углами), т.
е. (11.11) и ~н Заменим в ~рормуле (11.9) отношения Юг и зс/а~ нх значениями (11Л1) и (11.10). В результате получится соотношение: дем, расположив за второй преломляющей поверхностью третью и т. д. Таким образом, в случае центрированной системы, образованной совокупностью сферических поверхностей, разделяющих однородные среды с показателями преломления пь пм аз и т. д., имеет место соотношение: (11.13) й~п~у/ = п~!муз = пзпзяз Это соотношение носит название теоремы (или условия) Лагранжа — Гельмгольца.
Само же выражение пир называется инвариантом Лагранж а — Г ел ь м гол ьц а. Углы иь из и т. д. суть углы, образованные с осью системы произвольными сопряженными лучами, проходящими через точки Оь в которых предмет (в случае иь из и т. д.) илн соответствующее изображение (в случае им щ и т, д.) пересекается с осью системы. В частности, в качестве углов иь из и т. д, можно взять наибольшие углы в пучках лучей, падающих на поверхность 1, 2 и т, д., а в качестве иь щ н т. д, — наибольшие углы в сопряженных пучках. Тогда зти углы будут определять апертуру (максимальное раскрытие) соответствующих пучков.
Можно также взять такие лучи, чтобы й на рис. 31 было равно уь Тогда угол и~ будет углом, под которым предмет Я,Р~ виден с расстояния зь иа — углом, под которым предмет Я,Р,-виден с. расстояния зз и т. д. Условие Лагранжа — Гельмгольца накладывает ограничения на преобразования световых пучков при помощи оптических систем. Ограничения вытекают по существу из принципа сохранения светового потока (т. е. из принципа сохранения энергии). Особенно велико значение этих ограничений в фотометрических расчетах. Обратимся к рис. 23, Из подобия треугольников РНВ и РАВ вытекает соотношение: (!1.14) Аналогично нз подобия треугольников А'Р'Н' и А'Р'В' следует соотношение: Разделив (1!.14) на (11.15) и произведя несложные преобразования, получим: у' и у Заменим в соответствии с (11.10) з/з' отношением и'/и: и'у' иу ' Наконец, приняв во внимание условие (11.12), придем к соотношению: 1 и' ' (11.16) Этим соотношением мы уже пользовались при рассмот- рении центрированных систем (см.
формулу (9.2)). $12. Линза Линза представляет собой систему двух сферических преломляющих поверхностей (рис. 32). Если расстоянием д между их вершинами пренебречь нельзя, линзу Рис. 32. называют толстой. Линза с пренебрежимо малым с! называется т о н к о й. Все величины, относящиеся к первой поверхности, снабдим индексом 1, относящиеся ко второй поверхности — индексом 2.,Показатель преломления линзы обозначим через п, показатель преломления среды, окружающей линзу, — через пм Найдем оптические силы преломляющпх поверхностей. В соответствии с формулой (11.5) и,— и, л — ло Ф,= )1~ а иа иа ла и Фа = Ра йа Воспользуемся выведенными в $10 формулами сломсения систем. Толшина линзы а( совпадает с расстоянием от задней главной плоскости Н1 первой поверхности до передней главной плоскости На второй поверхности.
Оптическую силу линзы найдем по формуле (10.9): Ф = Ф~ + Фа — — Ф1Ф, = + л — иа йо — л а( (и — иа) (иа — и) ~(а и ЯЯа и — ио (и — ио) И вЂ” и (Р — )га) л А'Яа Согласно (9.4) /'= па/Ф = па/Ф, / = — п~/Ф = — и,/Ф. Подставив сюда выражение для Ф, получим: /о / ила Я,Ра л ло (и ио)а( л()й )га) Главные плоскости Н1 и П( совпадают с вершиной О, первой поверхности, а плоскости На и Н',— с вершиной Оа второй поверхности. Позтому расстояние (О,— Н) от вершины первой поверхности до передней главной плоскости линзы представляет собой расстояние (На — Н), которое можно вычислить по формуле (10.!2): (О~ Н) (Н~ Н) т г( © г( Аналогично, (Оа //)=(На Н)=,в г(= © а( (в рассматриваемом случае п, = и.,'=п ).
Подставив значения Фь Фа и Ф, получим: (О,— Н) = 'йФ, 1 и Я, — Ка)-(п — аао)й' ' 1 (Оз Н) йойаа( (12.2) л(Л, — Иа) — ( —.ло)а( ' ) В случае тонкой линзы расстоянием с( между вершинами преломляющих поверхностей О, и Ог можно пренебречь и считать эти вершины находящимися в одной точке', которую называют о п т и ч е с к н м ц е н т р о и тонкой линзы.
Положив в формулах (12.2) с( равным нулю, получим, что отрезки (01 — Н) и (Ои — Н') также равны нулю. Это означает, что обе главные плоскости тонкой линзы проходят через ее оптический центр. Если показатели преломления сред, находяшихся по обе стороны линзы, одинаковы, то узлы совпадают с главными точками, т. е. помещаются также в оптическом центре Рис. 33, линзы. Отсюда вытекает, что любой луч, идущий через оптический центр линзы, не изменяет своего направления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
