physics_saveliev_3 (535941), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Из выражений (9.5) и (9.6) получаются формулы для линейного .увеличения, даваемого центрнрованной оптической системой: р' / х' у х (9.11) Как следует из (9.11), линейное увеличение не зависит от размера предмета у. Поэтому изображение плоского предмета, перпендикулярного к оси системы, будет ему подобно. Напротив, изображение предмета, имеющего протяженность вдоль оптической оси, не будет ему подобно (рис.
24). Это вытекает хотя бы из зависимости линейного увеличения от х. ') рекомендуем читателю произвести построение иэображения и провести рассуждения, приведшие к формуле (9.7), 'для случая, когда предмет ОР расположен между плоскостями г" н Н, а также для иного, чем на рис. 23, взаимного расположения кардинальных плоскостей, например, для последовательности гпг"'Н' нли НгН'г"'. 44 В оптике часто приходится иметь дело с изображением пространственных предметов, отдельные точки которых лежат на разных расстояниях х от фокальной плоскости.
Для характеристики свойств системы в этом Рис. 24. случае вводится в рассмотрение продольное увел и ч ен не а, показывающее отношение длины изображения г(х' к длине изображаемого отрезка Нх, расположенного вдоль оптической оси: 4х' а= —. ах ' Дифференцирование соотношения (9.7) дает, что х Нх'+ + х'Нх = О, откуда лх' х' а= — = — —. и'х к (9.13) Приняв во внимание (9.11), выражение (9.13) можно преобразовать следующим образом: а= 1 ( Ч( ч = ' нз. (9.14) Соотношение (9.14) устанавливает связь между поперечным р и продольным и увеличениями.
Продольное увеличение характсризует резкость изображения пространственного объекта на плоском экране (так называемую г луб и ну резко изображаемого пространства). Возьмем два произвольных сопряженных луча: 1 и 1' (рис. 95). Отношение тангенсов углов и' и сс, образуемых сопряженными лучами с оптической осью, называется угловым увеличением у системы: У= ~па (9.15) Из рисунка видно, что 1а и' (а и' (- /)+( — х) 1+х (к и (я( — и) 1'+ и' 1'+ х' ' Заменив в соответствии с (9.7) х' через //'/х (илн х через //'/х') и произведя преобразования, получим: У= х (9.16) С учетом (9.11) выражение (9.16) можно преобразовать следующим образом: Г 1'1 1! /' Р' Наконец, перемножин выражения (9,14) и (9.17), найдем соотношение, устанавливающее связь между всеми тремя увеличениями: ау = р.
(9.18) Сопряженные точки М н й/', для которых у = +1, являются, как и точки Н, О', г и г', кардинальными точками системы. Они называются у з л о в ы м и т о ч к а м и нли у з л а и и. Сопряженные лучи, проходящие через Рис. 25. узлы, параллельны между собой (см. лучи 2 — 2' и 3 — 3' йа рнс. 26). Перпендикулярные к оптической оси плоскости, проходящие через узлы, называются у за о вы и и ил о скостя ми. Таким образом, всего имеется три пары кардинальных точек (фокусы, главные точки и узлы) и три пары кардинальных плоскостей центрированной оптической системы.
Приравняв единице выражение (9.16), получим для координат узлов следующие значения: х =-/', х',=/. (9.19) Из рис. 26 легко видеть, что при соблюдении условия (9.3) узлы совпадают с главными точками. В этом случае лучу, проходящему через переднюю главную точку Н„соответствует параллельный ему сопряженный луч, идущий через заднюю главную точку Н'. Рис. 26.
Рис. 27. Свойство узловых точек можно использовать при построении изображения. На рис. 27, кроме луча 1, параллельного оси, и луча 2, идущего через фокус, изображен луч 3, проходящий через передний узел М. Этот луч пересекает плоскость Н в точке С. Сопряженный с лучом 3 луч д' проходит через сопряженную с точкой С точку С' плоскости Н'. Кроме того, луч 3' должен проходить через задний узел Л~'. Для построения изображения достаточно взять любую пару из лучей 1, 2 и 3.
5 10. Сложение оптических систем Если две центрированные оптические системы разместить одну за другой так, чтобы их оси совпадали, они образуют единую центрированную оптическую систему. Зная расстояние между системами и полажение нх 47 кардинальных плоскостей, можно найти положение кардинальных плоскостей составной системы. На рис. 28 показаны главные плоскости н фокусы складываемых систем. Обозначения, относящиеся к первой системе, снабжены индексом 1, относящиеся ко второй системе — индексом 2. Расстояние от заднего фокуса Р~' первой системы до переднего фокуса Рг второй системы обозначено символом .Л.
Когда Рз лежит справа Рис. 28. от Р(, Л положительно, в-противном случае Л отрицательно. Случай, изображенный на рис. 28, соответствует положительному Л. Расстояние от задней главной плоскости Н, 'первой системы до передней главной плоскости Нз второй системы обозначим через А Величина б также алгебраическая; она будет отрицательной, если плоскость Нз окажется слева от плоскости Нь Расстояние Л можно выразить через д: (10.!) Возьмем луч 1, параллельный оптической оси, Выйдя из первой системы, он пройдет через фокус Р1 и попадет во вторую систему.
Если фокусы Р( и Рз не совпадают (Л Ф О), луч по выходе из второй системы пересечет ось в точке Р', которая по определению является задним фокусом составной системы. Точка пересечения луча 1' с воображаемым продолжением луча 1 будет лежать на задней главной плоскости Н' составной системы. Это следует из того, что точка пересечения луча 1' с плоскостью Н' должна находиться на таком же расстоянии от осн, как н точка пересечения луча 1 с плос- откуда х'(Р') = — —. у р 1212 2 Д (10.2) Для прямоугольным треугольников с общей вершиной в точке Р,' можно написать соотношение: 1~ 1; (10.3) у а+( 12) а 12 Аналогично, для треугольников с общей веригиной в точке Р' имеем: (10,4) -н' 1,'+.,'(") 1,'-Ч,,'/а 1,'(а-(з) ' Приравняв правые части соотношений (10.3) и (10.4), придем к формуле для заднего фокусного расстояния суммарной системы: ф У2 Ь (10.5) Проследив путь параллельного оси луча, идущего справа налево и проходящего последовательно через вторую и первую системы, легко прийти к формулам для переднего фокусного расстояния ) суммарной системы и 49 костью Н (положение последней плоскости пока ие известно, она изображена на рис.
28 пунктиром). Расстояние Н)Р' представляет собой заднее фокусное расстояние 1' составной системы. Для случая, изображенного на рис. 28, фокусное расстояние 1' .отрицательно, так что истинное расстояние между точками Н' и Р' равно ( — 1'). Каждый из фокусов Р„Рп Р и Р' образует начало системы отсчета. Координаты в этих системах мы будем обозначать соответственно х„ х',, х, и х', Рядом, в скобках, будем указывать обозначение точки, для которой написана данная координата.
Координата х,'(Р') фокуса Р', отсчитанная в системе с началом в точке Р', связана с координатой х (Р;) / точки Рь отсчитанной в системе с началом в Ра (для рассматриваемого случая х (Р',) = — Ь), формулой (9.7): (- Л) х' (Р') = Я, координаты х!(Р) переднего фокуса Р, отсчитанной от точки Р!. Повторив рассуждения, приведшие нас к формулам (10.2) и (10.5), можно получить: ! (10.6) (10.7) Найдем оптическую силу суммарной системы.
Согласно формуле (9.4) » » зэ аза К где и' — показатель преломления среды, находящейся за второй системой. Преобразуем это выражение следующим образом; Ь»! из Ф= — — —— »! Но и/1! представляет собой оптическую силу Ф! первой системы, а и',//э — оптическую силу Фз второй системы. Следовательно, Ф=- -Ф,Ф, Л (!0.8) л Выразим в этой формуле Л через !з в соответствии с (10.1): 1! ! 12 1! )з Ф=— »! Ф!Ф» = — Ф Фэ Ф!Фз Ф Фу. =я ! ' »! ' О ! а! !в Учтя что» /и 1/Ф! а »з/и 1/!Э получим Ф = Ф + сйз — — Ф!Фе, !» (10.9) Напомним, что в этой формуле !1 — расстояние между плоскостями Н! и Нм и — показатель преломления среды, находящейся между системами.
Вычислив оптическую силу суммарной системы, можно по 'формулам (10.10) тем. (9.4)) найти ее фокусные расстояния. ва 1~(л-12+1~) 1Ф (Н! — Н)= л =- л /г(л 1з+1~) М (Н; — Н')- л л (10.!1) Из формулы (10.8) Л = — нФ/Ф~Фм кроме того, 1~ = — н,/Фь /з=п,,'/Ф,. Произведя такую замену в формулах (1(1.11), найдем; и, Ф, (Н2 Н )= а Ф (10.12) С помощью формул, полученных в атом параграфе, можно найти положение кардинальных плоскостей сложной оптической системы, образованной любым количеством сооснык центрнрованных систем. й 11. Преломление иа сферической поверхностя Сколь угодно сложную центрнрованную оптическую систему можно рассматривать как сумму простейших систем, каждая нз которых образована одной преломлявшей (илн отражающей) сферической (в частности, плоской) поверхностью. Следователюю, сферические поверхности раздела двух оптически однородных сред представляют собой те элементы, из которых строится любая центрированная система.
Рассмотрим прохождение гомоцентрического пучка через такую поверхность. На рис. 29 изображена преломляюшая поверхность радиуса Р с центром в точке С Показатели преломления сред, лежащих по обе стороны поверхности, равны л Я Часто вместо величин (10.2) и (10.6) бывает удобнее пользоваться расстояниями (Н, — Н) и (Нз — Н'), определяющими положение главных плоскостей суммарной системы по отношению к главным плоскостям складываемых систем. Из рис. 28 следует, что Н) = 1ю хю(Р)+1 (Н,' — Н') = /', + х', (Р') — /'. Подставив значения (10.6), (10.7), (10.2) и (10.5), получим: н й.
Прямую, проходящую через точечный источник света Р и центр кривизны С, назовем осью системы. Точка О пересечения поверхности с осью называется вер. шиной преломляющей поверхности. Примем точку О за начало отсчета. Координаты предмета Р и изображения Р', отсчитываемые от точки О, обозначим соответственно э и з'. Возьмем в пространстве предметов произвольный луч 1, образующий с осью угол сс. Он падает на преломляющую поверхность в точке А под углом 1 (для луча 1, изображенного па рис, 29, углы и и 1 отрицательны). Рис 29. Сопряженный лучу 1 луч 1' образует с нормалью угол 1' и пересекает ось в точке Р', отстоящей от вершины на расстояние з', Независимость з' от угла и, под которым идет луч 1, означала бы, что исходящий нз точки Р пучок лучей после преломления на сферической поверхности остался бы гомоцентрическим.
Соответствующий расчет показывает, что это справедливо лишь для лучей, образующих с осью небольшие углы и. Такие лучне называются п а р а к с и а л ь н ы м и (прносевыми). Для параксиальных лучей все углы, обозначенные на рис. 29, будут малыми. Поэтому синусы н тангенсы этих углов можно считать равными самим углам.
Согласно закону преломления (1.6) пз1п1 = а'з1п1'. Заменив синусы углами, получим: п1= йр. Из треугольников РАС и Р'АС следует, что ( — 1)=( — и)+ф илн 1=и — ф, ( — Р)=ф — й нли Р=й — ф. Подставив эти значения а и а' в формулу (11.1), придем к соотношению: л (и — ар) = й (й — ф'). (1 !.2) Для параксиальных лучей длиной отрезка ОВ можно пренебречь по сравнению с ( — з), з' и аа и считать РВ = ( — з), ВР' = г' и ВС = Я. Тогда, полагая углы равными их тангенсам, можно написать: ( — и)=, т. е. и= —; й= —, ар= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
