1612046023-cfc04c315ad4dd0b1fbaf3912c70bc2d (533748), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(5 баллов)7. В тонкостенной идеально проводящей трубеквадратного сечения со сторонами a создано магнитноеполе B( x, y ) , определяемое векторным потенциаломA1 = A0 xy ⋅ ez , A2 = A0 (a − x)(a − y ) ⋅ ez соответственно в областях1 и 2 (см. рисунок). Найти распределение токов,создающих заданное поле.
(5 баллов)Контрольная работа 21. Плоскопараллельная стеклянная пластина толщины d с показателемпреломления n освещается немонохроматическим точечным источникомсвета с длинами волн в диапазоне от λ до λ+Δλ. Далее свет проходит черезлинзу, параллельную пластине. Интерференционная картина наблюдается впроходящем свете на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы.При какой максимальной толщине пластины интерференция еще видна?Считать поперечный размер пластины a и расстояние от нее до источника Lтакими, что a / L 1 . (3б)2. Собирающая линза с фокусным расстоянием fраспилена пополам, половинки раздвинуты нанебольшоерасстояниеd,заполненноенепрозрачным веществом (билинза Бийе). Линзаосвещается протяженным источником света сдлиной волны λ, расположенным на расстоянии l отнее (l>2f). Оценить максимальный размер aисточника, при котором можно наблюдатьинтерференционную картину на экране за линзой.
Расстояние до экрана >> l.(4б)3. Найти коэффициент прохождения неполяризованного света из воздухав прозрачную полубесконечную среду с показателем преломления n . Уголпадения α = arctg n . (3б)4. На собирающую линзу размером D и фокусным расстоянием F1 падаетширокий параллельный оптической оси пучок света с длиной волны λ .Пройдя первую линзу, свет падает на вторую с фокусным расстоянием F2 ,31имеющую общую оптическую ось с первой линзой.
Расстояние междулинзами F1 + F2 . Оценить минимальный диаметр отверстия диафрагмы,которую можно разместить на расстоянии F1 от первой линзы так, чтобы неповлиять на прохождение света. (2б). Какова угловая расходимость пучкасвета, выходящего из второй линзы? (1)5. Прямоугольный волновод сечением a × b заполнен диэлектриком спроницаемостями ε и μ . Определить все компоненты поля для H mn -волны,распространяющейся вдоль этого волновода. Указать предельную частотуэтой волны ω (5б)Экзаменационная работа 21. Электрон (заряд −e , масса m ) движется со скоростью v c вокругнеподвижного заряда +Q по окружности. Найдите энергию, излученнуюэлектроном за один оборот.
(2б)2. Частица с зарядом q и массой m пролетает по оси симметрии Z кольцас радиусом a и зарядом Q . Найдите скоростьпотери энергии на излучение dE /dt в произвольнойточке z0 и полную величину энергии ΔE ,излученную частицей на всем её пути, если2qQскорость частицы удовлетворяет условию vma .(4б)3. На экран с вырезом, показанным на рисунке, понормали падает плоская монохроматическая волнаE = E 0ei ( kz −ωt ) .
Определите амплитуду волны в точке P ,находящейся на оси Z в точке z p . Ось Z проходитчерез центр O выреза. Радиусы соответственно равныr1 = λ z p и r2 = 3λ z p / 2 , где λ – длина волны. (4б)4. На плоское идеально проводящее зеркало падает под углом ϕ0 плоскаяTE - волна с длиной волны λ и амплитудой E0 . Навысоте h находится частица с зарядом q имассой m . Найдите дифференциальное сечениерассеяния волны в такой системе. (5б)5. Плоская квазимонохроматическая световая волна со средней длинойволны λ = 0, 6 мкм падает по нормали на дифракционную решетку. Картинадифракции наблюдается в фокальной плоскости собирающей линзы,параллельной решетке. Угловой размер главного максимума равен 1 ,следующего за ним – 3 , а угловое расстояние между ними равно 30 . Найдитепостоянную решетки d и оцените число штрихов N решетки (2б), а такжеширину спектра Δλ падающего света.
(2б)326. Пучок лучей с длиной волны λ падает под скользящим угломπ1 из воздуха ( n1 = 1 ) на пластину толщиной d,2 −ϕ = θмного большей длины волны. Коэффициентпреломления в среде при этом чуть меньше единицы:n2 = 1 − δ 2 , , δ 2 1 . Найдите, при каких углах θ ПВО лучииспытывают полное внутренне отражение (1б). Прикаких углах, заметно больших, чем угол θ ПВО (приэтом угол θ остается малым) расстояния междуминимумами в коэффициенте отражения составляетδθ .
Найдите толщину пластинки d (3б).3334ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ2000/2001 учебный годКонтрольная работа 1Задача 1. Потенциал на оси кольца в зависимости от расстояния x до его центра равен:q2πκ a, где κ - заряд на единицу длины.a +xa2 + x2Согласно принципу суперпозиции, от 2-х колец потенциалы складываются, и в точкеϕ ( x) =22=x=a:ϕ = 2πκ a 2Напряжённость электрического поля на оси кольца в зависимости от расстояния доего центра x равна:Ex ( x) =2πκ ax( a +x )223, из суперпозиции E =2πκa(2 2πκ;;0) , модуль E =.2 2aЗадача 2. Задача на метод изображения.
Реальный диполь индуцирует на поверхностидиэлектрика связанный заряд, который создаёт в верхнем полупространстве электрическоеполе, такое, какое создавал бы диполь p ' помещённый на расстоянии –h прямо напротивреального диполя. Из граничных условий (непрерывность нормальной составляющейвектора электрической индукции Dn и непрерывность тангенциальной составляющейвектора напряжённости электрического поля Et) следует:p' = −p1− ε(смотри задачу 2.39 из задачника 1)1+ εЭнергию и силу взаимодействия двух диполей находим как в задаче 2.51 задачника 1.1− ε 11 + ε 4h 3следовательно:W = p2F =nF =−∂W, где расстояние между двумя диполями r равно 2h,∂r1 − ε 3 p2.
Диполь притягивается, если ε больше единицы.1 + ε 8h 4Задача 3. Задача схожа с задачей 2.8 из задачника 1. Так как плотность связанныхзарядов отлична от нуля только на границе полости, лапласиан потенциала в полости и внееё равен нулю. Из бесконечного множества аксиально-симметричных функций лапласианот которых равен нулю, удовлетворить граничным условиям –1: непрерывность нормальной составляющей вектора электрической индукции Dn2: непрерывность тангенциальной составляющей вектора напряжённости35электрического поля Et3: потенциал не должен обращаться в бесконечность внутри полости4: потенциал на бесконечности должен стремиться к потенциалу однородного поля E0могут только следующие.dcos θr2Неизвестное однородное поле E1 внутри полости и дипольный момент полости dнаходим из граничных условий 1 и 2.3ε1− εdr (rd )Ein =E0 d =E0 a 3 Eout = E0 − 3 + 3 51 + 2ε1 + 2εrrϕin = Ein r cos θ ϕout = E0 r cos θ +Так как свободных зарядов на поверхности полости нет, полная плотность зарядаравна плотности связанных зарядов и равна скачку нормальной составляющей векторанапряжённости электрического поля En делённому на 4π.σε =3 1− εE0 cos θ .4π 1 + 2εЗадача 4.
Шар с вырезом рассматриваем как однородно заряженный шар с зарядом Qи кольцо с зарядом –q. Кольцо представляет из себя заряд и аксиально-симметричныйквадруполь. Тогда, используя решение задачи 1.39 из задачника 1:ϕ (r ,θ ) =Q − q qa 2 1 − 3cos 2 θ.−4rr3Задача 5. Сопротивление сферического конденсатора R =1baЁмкость сферического конденсатора C = εC=δrσ ∫ 4π r2=1ab.4πσ (b − a)ab(задача 2.14 из задачника 1). Отсюда(b − a)ε 1.4πσ RЗадача 6. В режиме, когда потенциалом, создаваемым электронами можнопренебречь (режим насыщения вакуумного диода), потенциал определяется толькоразностью потенциалов между катодом и анодом U:ϕ1 = Ux, где d – расстояние между катодом и анодом.dВ режиме трёх вторых (смотри задачу из задачника 1):ϕ32⎛x⎞=U ⎜ ⎟⎝d ⎠43Из закона сохранения энергии скорость электронов v( x) =δx2eϕ ( x)=.δtm36dВремя пролёта электрона определяется как t = ∫02dt1 =а во втором: t 3 =22eUmтакже составляет три вторых!δx.
В первом случае:2eϕ ( x)m3d. Удивительное совпадение, но соотношение времён2eUmЭкзаменационная работа 1Задача 1. Уравнение Лапласа Δϕ = −4πρ в данном случае является одномерным. Награницах «сшивается» потенциал и его производная. Тогда:z<-d-d<z<00<z<dϕ1 = Cϕ2 = C + 2πρ ( z + d ) 2ϕ3 = C − 2πρ ( z − d ) 2 + 4πρ d 2ϕ4 = C + 4πρ d 2d<zгде C – константа.Задача 2. Сначала находим напряжённость электрического поля вблизи вершиныбольшого выступа. Задача схожа с задачей – металлический шар помещён в однородноеполе.
Центр координат помещаем в центр полусферического выступа.dr (rd )Ein = 0 .Eout = E0 − 3 + 3 5rrИз условия непрерывности тангенциальной составляющей вектора напряжённостиэлектрического поля:d = E0b3 , а поле вблизи вершиныEout ( r =b ,θ =0) = 3E0 .Так как большой полусферический выступ вблизи вершины можно считатьплоскостью, задача о нахождении поля вблизи малого выступа сводится к предыдущей.Таким образом, напряжённость электрического поля вблизи вершины малого выступаEout = 3 ∗ 3E0 = 9 E0 , электрическое поле «концентрируется» вблизи острых выступов,вот почему во избежание пробоя пластины конденсаторов должны быть аккуратнозашлифованы.Задача 3.
Естественно, рассматриваем систему как плоскость с током без полости,внутри которой цилиндрический проводник с током, противоположным по направлению (итой же плотностью). Поле в полости:4πj ⋅ y , где в полярных координатах y = R sin α x = R cos α . В цилиндрическомc2πпроводнике с однородно протекающим током Bα =j ⋅ R . В сумме:c4π2π2π4π2πBR =j ⋅ R sin α ⋅ cos α =jR sin 2α Bα =j⋅R =j ⋅ R sin 2 α =jR cos 2αcccccBx =Задача 4. Поле в цилиндрической полости цилиндрического проводника с37однородной плотностью тока находим, как в задаче из задачника 1.2π⎡ j1 × l ⎤⎦c ⎣По полости течёт полный ток I = π a 2 j2 на который действует сила Ампера:B=2π 2 a 2F = − 2 ( j1 ⋅ j2 )l .
Если токи параллельны, то сила направлена к центру.cЗадача 5. За эти времена токи, индуцированные в проводящем слое возникшей ЭДСиндукции, не успевают затухнуть. Проводящий слой ведёт себя как сверхпроводник(магнитное поле в него не проникает). Тогда нормальная компонента вектора магнитногополя на границе слоя равна нулю, а поверхностные токи создают такое поле, котороесоздавал бы магнитный момент −m0 – «зеркальное» изображение реального магнитногомомента m0 .
Если поместить начало координат в точку пересечения проводящего слоя слинией, соединяющей момент и его изображение, то в полярных координатахнапряжённость магнитного поля на границе слоя:6m0 cos θ sin θ⋅ er . Так как внутри слоя поля нет, то линейная плотностьh3cos3 θповерхностных токов, определяющих скачок тангенциальной составляющей вектора4πнапряжённости магнитного поля ( ΔBr =iα ) равна:cB=−3m0 c cos 4 θ sin θiα = −2π h3Задача 6. Тор сверхпроводящий, значит, поле внутрь него не проникает, ииндуктивность определяется лишь магнитным потоком, пронизывающем «дырку»бублика-тора. Если бы всё пространство было бы заполнено вакуумом, то, вследствиесимметрии поток через верхнюю половинку был бы равен потоку через нижнююполовинку. Обозначим эти потоки как Φ 0 .
На границе раздела магнитных сред текуттолько молекулярные токи, значит Hτ 1 = Hτ 2 . Но в среде B1 = μ1 H1 а B2 = μ2 H 2 , значитмагнитный поток через верхнюю половинку возрастёт в μ1 раз, а через нижнюю,соответственно в μ2 раз. Индуктивность пропорциональна магнитному потоку, тогда:L = L0 ⋅μ1Φ 0 + μ2 Φ 0Φ0 + Φ0= L0 ⋅μ1 + μ22Контрольная работа 2Задача 1. Хотя Солнце для наблюдателя на большом расстоянии выглядит как диск,для оценки будем рассматривать его как однородно светящуюся щель ширины h,находящуюся на расстоянии a, α = h . Электромагнитная волна, испускающаяся сaверхнего края щели имеет одинаковую вероятность пройти через верхнюю или нижнюющели. Оптическая длина этих траекторий соответственно:Верх:3822222222⎛d h⎞⎛d⎞⎛d h⎞⎛d⎞r11 = a + ⎜ − ⎟ + L2 + ⎜ − x ⎟ r12 = a 2 + ⎜ + ⎟ + L2 + ⎜ + x ⎟⎝ 2 2⎠⎝2⎠⎝ 2 2⎠⎝2⎠Здесь L – расстояние от экрана со щелями до экрана, на котором наблюдаетсяинтерференция, x – координата на экране, на котором наблюдается интерференция.Для электромагнитной волны, испускающейся с верхнего края щели, оптическаядлина траекторий, проходящих через верхнюю или нижнюю щели, соответственно:Низ:2⎛d h⎞⎛d⎞r21 = a + ⎜ + ⎟ + L2 + ⎜ − x ⎟⎝ 2 2⎠⎝2⎠2⎛d h⎞⎛d⎞r22 = a + ⎜ − ⎟ + L2 + ⎜ + x ⎟⎝ 2 2⎠⎝2⎠2Обе волны образуют интерференционную картину, и видимость обратится в ноль,если максимум от одной волны совпадёт с минимумом от другой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
