1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если применить это понятие к «почти монохроматнческой» модулированной волне (1.77), то мы получим, что ее интенсивность периодически изменяется с частотой стш: Ез(!) =2Езо(1+ соьЛгзз!) . (1.78) Малоинерционный приемник излучения, реагирующий на интенсивность («квадратичный детектор»), должен зарегистрировать эти периодические (с периодом 2п/гзш, рис. 1.20) изменения интенсивности. Но инерционный приемник с постоянной времени, большой по сравнению с периодом модуляции, зарегистрирует среднее зна- чение интенсивности, которое, как видно из (!.78), равно сумме интенсивностей отдельных манохроматических составляющих'. Иногда ставят вопрос о «реальности» разложения колебания на синусоидальные составляющие.
Что реально в соотношении (1.76) — левая часть, т. е. совокупность чисто гармонических колебаний, или правая, часть, т. е. «почти гармоническое» колебание с медленно меняющейся амплитудой? В такой форме вопрос лишен смысла, так как (1.76) — математическое тождество, т. е. слева и справа стоит одно и то же. Никаким способом нельзя установить, создается поле Е(!) двумя различными монохроматическими источниками с частотами озз и шз или одним источником, испускающим волну с частотой оз, амплитуда которой периодически изменяется (рис. 1.20, а).
Вопрос приобретает смысл, когда его ставят в связи с приемником, воспринимающим колебания. Для малаинерционного приемника целесообразно использовать представление Е(!) в виде колебания одной частоты ш= (озз+озт)/2 с медленно меняющейся амплитудой. з!ля спектрального аппарата или резонатора, настроенного на определенную частоту, целесообразно представление Е(!) в виде совокупности монохроматических колебаний с частотами гоз и шт. я качестве другого примера рассмотрим волну, порождаемую колебанием Ез(!)соьшй амплитуда которого промодулнрована по синусоидальному закону Ет(г)=Ее(1 +т соь Ы) с «глубиной» т(т~!) и частотой !!((ш. Легко видеть, что такая волна может быть представлена как совокупность трех строго монохроматических волн с частотами ю, ш+!! н ш — ьл Е(!)=Ее(1+ т соьЖ)соьш(= Еосоьш!+ '/ тЕосоь (оз+ (1) !+ + '/ттЕосоь(ш — () ) Е (1.79) О совокупности монохроматнческих составляющих говорят как о спектре неманохроматической волны.
Интенсивность модулирован- 3 т ной волны, усредненная за промежуток времени, равный пе ио ду модуляции, пропорциональна Ее(1 +т /2) и равна сумме интенсивностей монохроматических составляющих с частотами ш, ш+ь) н ш — ь). Этот пример ясно показывает, что изменение амплитуды со временем приводит к нарушению монохроматичности волны и появлению новых частот в ее спектре. случае иного, более сложного, чем в разобранных примерах, закона изменении амплитуды напряженности во времени физическая сущность разложения волны в спектр, т. е.
на монохроматические г Заметим, что при точном равенстве частот он = ыт интенсивность результирующей волны не равна сумме интенсивностей составляющих. Эта интенсивность не изменяется со временем и в зависимости ог соотношения начальных фаз может иметь любое значение от нуля до учетверинной интеисивнскти отдельной волны. составляющие, остается прежней, хотя задача отыскания этих составляющих становится более сложной и требует применении теоремы Фурье. П стейший случай соответствует периодическому изменению напряженности поля с некоторым периодом Т.
При этом возможно разложение в обычный ряд Фурье. Оно содержит дискретные частоты, являющиеся целыми кратными основной частоты еь=2п)Т: фактически достаточно знать комплексную функцию Е„только при положительных значениях ы. Как видно иэ (1.83), Е,бы/(2п) определяет вклад в Е(!) моиохроматических составляющих из интервала частот ы, в+ бы. Чтобы выразить полную энергию волны через интенсивность ее компонент Фурье, вычислим интеграл от Е'(!) по времени: Е(~)= ) Е„е '"' —.
Чтобы такое разложение было возможно, функция Е(!) должна удовлетворять определенным требованиям, которые в физических задачах обычно выполняются. Входящая в подынтегральное выражение непрерывная функция частоты Е„определяется по известйой функции Е(!) соотношением Е. ! ЕЕ» 'д~. (1.84) При этом Е =Е„*, так как функция Е(!) вещественна, Поэтому (! .83) Е(!)= ~; Е„е '""'. ( !.80) «=.— Комплексные коэффициенты Фурье Е„этого разложения определяются по известному виду самой функции Е(!) интегралами пг Е = — ' ) Е(г)е' 'пб (1.81) «= Т и» Ввиду вещественности Е(!) очевидно, что Е =Е«». При возведемы (1.80) в квадрат и усреднении по времени квадраты пни суммы личными всех слагаемых и произведения всех слагаемых с раз частотами обращаются в нуль из-за наличия в них осциллирующих синусоидальных множителей, за исключением произведений вида Е„Е „=1ЕЯ Отсюда следует„что средняя интенсивность волны равна сумме интенсивностей монохроматическ ких компонент: (Е'(!)) = ~„' 1Е„1~=2 ~ 1Е„!~.
(1.82) «=— «=! П ереходе к суммированию только по положительным и мы ри яр ей и учли, что для св для света Е(!) не имеет постоянной составляюш " поэтому в (1.80) Е„=О при п=О. )тля непериодических полей разложе"'-~нне в спектр дает непрерывный набор различных частот. Здесь нужно использовать представление в виде интеграла Фурье: Е (!)01= $ Е(!) ~ $ Е„,е '"' '! '~ бг Здесь мы воспользовались формулой (1.83). Изменяя теперь порядок интегрирования по ы и ! и используя формулу (1.84), получаем Р(!) '= $ - 1 1 Е(!) еи 3 Ф= ') Е„Е "= ) 1Е„(Е~~~ 2~~Е тг!«г (1.85) Таким образом, полная энергия немонохроматической волны выражается через интеграл по положительным частотам от ее спектральной плотности, характеризующей распределение энергии волны по спектру частот.
Отметим, что термином «спектр» в физике пользуются несколько вольно, вкладывая в него порой разный смысл. Иногда его относят просто к набору частот (дискретному или непрерывному), входящих в Состав немонохроматического излучения, иногда — к распределению энергии (интенсивности) излучения по этим частотам, характеризуемому спектральной плотностью 2!Е.,Р, а иногда — к фурье-образу Е. математической функе!ни Е(!), описывающей немонохроматическое излучение.
В то время как Е„в соответствии с формулой (1.83) полностью определяет функцию Е(!), знание спектральной плотности энергии 21Е !» еще не позволяет восстановить функцию Е(!). Дело в том, что в энергетическом спектре 21Е« ~х уже ие содержится информация о фазах монохроматических составляющих. Поэтому данное поле Е(!) характеризуется вполне определенным спектром, но одному и тому же спектру могут соответствовать разные функции Е(!). В заключение заметим еше раз, что математическому разложению немонохроматической волны в ряд или интеграл Фурье для нахождения спектральной плотности ее энергии можно сопоставить реальный физический процесс — экспериментальное измерение спектра такой волны с помощью соответствующего анализатора (спектрального прибора).
Принцип действия некоторых спектральных приборов рассматривается в эб.б. Контрольные вопРОсы В чем звключвегсн фкзнческое содержвнне принципа суперпознцнн? Кексе свойство уравнений Максвелла обеспечивает выполненне прннцнпв суперпознцнн? В чем преимушество разложения произвольной электро нв сннусондвльные волны по срзнненню с рвэлаженннмн мвм других функций? В каких случаях выражения ().76) нлн (!.79) улобно р почтн гврмоннческое колебкнне с медленно нзменнюш (,модулнроввннню» колебзнке) н в каких — квк сумму хроматических колебвннй? Каким спектром !коэффнцнентвмн Е, прн рвэложеннн в р хврвктернэуетсн колебвнне вида ЕЯ=Еосозм/? ЕЯ= =Еосоз(м/+ Ч ) ? Каким спектром хврнктернзуетсн колебание вида Е( Е!/)= Ео(! + О бсозни) соК) Саип Можно лн по нзмеренному идеальным прибором спектру )Е 8 восствновнть знвнснмость от времени нв электрнческого поля волны, воздействовавшей нв спект Е( ) ( Ео созыв( ( — т/2(1(т/2), ~(') ~ О (1/)~т/2).
(1.88) Описываемое этой формулой колебание длится не бесконечно долго, а конечное время т (рис. 1.21, и). Поэтому его спектр образован не единственной частотой шо, а непрерывным набором частот. Мы увидим, что при большой по сравнению с отдельным кпериодом» 7=2л/юо длительности колебаний т»Т спектр в основном сосредоточен в небольшом интервале частот /тш вблизи ь7/г р аг/г з) Сннусондвльный цуг (а) н соответствуюшее ему рвспределенне энергии по чвстотвм (б) ° .7 нввзмывнокрвмвтмчпсноой о! т сследуем спектральный состав ° звт немонохроматической электромагнитной волны, представляющей собой отрезок синусоиды: значения со, причем монохроматиче- млг окая составляющая с частотой шо имеет наибольшую амплитуду.
Пространственная картина волны, порождаемой колебанием (1.88), представляет собой цуг синусоидальных волн длины ). = сТ, имеющий конечную протяженность 1= ст. Для нахождения спектра подставим Е(1) нз (1.86) в формулу (1.84). Вычисление интеграла удобно произвести, выразив созыв/ через показательные функции по формуле Эйлера: т/2 Грвфнк функции мпх/л. Е =-2-Ео$ (е ' ' + е' ')е'"И = 1 — т/т от ~ 1 Е Г з)п (ю — ыо)т/2 з)п (м+по)т/21 2 ок (м — гоо) т/2 (и + ма) т/2 На рис. 1.22 показан график функции з!пх/х. Ее главный мак- симум расположен при х=О, где она имеет значение, равное 1.
Функция обращается в нуль при х=~п, ~2п, .... В промежутках она имеет второстепенные максимумы н минимумы: значение (з)пх/х)э на интервале (п,2п) не превосходит 0,05; на интервале (2п,Зп) не превосходит 0,02 и т. д. Сопоставляя график з!пх/х с формулой (1.87), заключаем, что конечный отрезок синусоиды имеет фурье-компоненты, в основном сосредоточенные вблизи зна- чений юо и — гоо в частотных интервалах порядка ширины глав- ного максимума 2п/т. Для характеристики спектрального распределения энергии (или интенсивности), как это видно из формулы (1.85), достаточно рассмотреть ход функции !Е.!' прн положительных частотах ш> О.
Пусть рассматриваемый цуг содержит много кпериодов», т. е. т» Т=2л/юо. Это значит, что расстояние шо от начала координат до главных максимумов функции Е„ (1.87) велико по сравнению с шириной этих максимумов 2п/т. Поэтому в области положитель- ных частот ш)О функция Е (1.87) практически определяется только своим первым слагаемым. Таким образом, длинный цуг сииусоидальных волн характеризуетсн следующим распределением энергии по спектру: (1.88) График этой функции приведен на рис. 1.21, б. Он дает пред- ставление о контуре спектральной линии рассматриваемого излу- чения.
Максимум спектральной плотности соответствует значе- нию ш=ыо. Большая часть энергии цуга приходится на монохро- матические составляющие, лежащие в пределах этого главного максимума, т. е. между частотами, отстоящими от гво на 2п/т. (1.87) Г ) 1« « -.«!)!л) 1 ~ ! тч!ык» ~)глг~ й и !к ! !"' !.' !"!- !!- 1 (1.91) Ширину спектральной линии можно определить как интервал частот Лок между значениями, при которых спектральная платность равна половине максимальной плотности («ширина на половине высоты»). Так как (з)пх/х)~='/2 при !х)=1,39, то приближенно можно положить Лыс -2п, Лттж 1, (1.89) где т=о2/(2п).
Чем больше длительность цуга синусоидальных волн т, тем уже соответствующий ему спектральный интервал Ло2 (или Лт). Ширина спектральной линии Лт приблизительно равна обратной длительности колебаний 1/т. Это важное соотношение между шириной спектра н длительностью колебаний имеет общий характер: мы увидим, что оно сохраняетси и в том случае, когда огибающая цуга имеет более сложную форму. Его можно записать также в виде соотношения между протяженностью волнового цуга в пространстве 1=ст и интервалом волновых чисел Лй=Ло2/с монохроматнческих компонент, входящих в состав цуга: Лй(ж 2п. К агда ширина спектра Ло2 мала по сравнению со средней частотой о2о(Ло2«о2о), излучение называют квазимонахромагическим.
Излучение в виде достаточно длинного цуга синусоидальных волн или в виде хаотической последовательности таких цугов дает пример квазимонохроматического излучения. Отдельные спектральные линии в излучении разреженных газов представляют собой квазимонохроматический свет. Такой свет можно также выделить из излучения источников, дающих непрерывный спектр (Солнце, раскаленные тела), с помощью монохроматоров — приборов, осуществляющих спектральное разложение. Наибольшей степенью монохроматичности (характеризуемой отношением мо/Лоз нлн ))о/Л).) обладает излучение стабилизированных по частоте газовых лазеров. Классическая модель оптического излучения возбужденного атома (см. $1.5) -также дает пример квазимонохроматнческого света. Напряженность поля в волне, испускаемой затухающим осциллятором, изменяется по закону (О (1-=О), (1.90) ( Еое ' созо2о! ())О) ° где постоянная затукания у определяется соотношением (1.73).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
