1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для нахождения спектра излучения подставим Е(!) в (1.84). Прн вычислении интеграла удобно созо2о) выразить через показательные функции:: й э Рассматривая вещественную часть этой функции„ замечаем, что она имеет два максимума в точках о2=о2о и о2= — о2о При у<«оо максимумы очень острые и только в окрестности этих пиков функция Е„заметно отлична от нуля. Это относится как к вещественной, так и к мнимой частя Е„. Поэтому при у«ом в интересующей нас области положительных частот вкладом второго слагаемого из (1.91) в функцию Е можно пренебречь. В результате для спектральной плотности энергии излучения затухающего осциллятора яз (1.91) в случае слабого затухания находим 2!Е! =тл !и--ыь) +т Еот "2 2 2 )+(~ — н) 2 ).зз Лоре«кепс«ой коктур спектрольпой лкнкк (1.92) Описываемая выражением (1.92) форма спектральной линии излучения называется лоренцевсним контуром (рис.
1.23). Кривая имеет резкий максимум при о2=о2о, т. е. на частоте собственных колебаний в отсутствие затухания. Уширение спектра излучаемых частот обусловлено радиационным затуханием свободных колебаний осциллятора. Интенсивность излучения уменьшается вдвое для частот, отличающихся от о2о на у=!/т. Отсюда для ширины линии на половине высоты находим Ло2=2у=2/т. Это значит, что в случае затухающего осцнллятора ширина полосы излучаемых частот Лт связана с характерной длительностью цуга т тем же соотношением (1.89) Лтт 1: чем меньше длительность процесса испускания, тем шире спектр частот.
Так как Ло2=2у«о2о, то излучаемый свет является квазимонохроматнческим. На рис. 1.23 масштаб не выдержан — ширина лоренцевского контура сильно преувеличена. Рассмотренный пример позволяет оценить обусловленную радиационным затуханием естественную ширину спектральных линий излучения свободных атомов. Так как время жизни возбужденного состояния т составляет около Ю ' с (см. $1.5), то для естественной ширины получаем Лт-102 Гц. В шкале длин волн оценка естественной ширины спектральной линии дает ЛХ 10 2 нм, Приведенные выше примеры соответствовалн квазимонохроматнческому свету, получаемому из манохроматического при медленном изменении (модуляции) его амплитуды: Е(1)=Ео())саэ(о21+!р), где Ео(1) — медленно (по сравнению с созо21) изменяющаяси функция времени.
Но немонохроматичность может быть вызвана также изменением (модуляцией) фазы: гр=<р(г). поэтому для более общего случая квазимонохроматического света колебание напряженности электрического поля может быть записано в виде Е(1)= ЕгТЯсоз ]ш1 + гр(1)], где Ео(1) и гр(1) — медленно изменяющиеся функции времени.
Контрольные вопросы ! ! Постройте графини функций Е и 1Е:1г для отрезка синусоидальиого колебания Е(Г) (1.86). !! При каких условиях для характеристики спектрального распределении энергии вторым слагаемым в формуле 11.87) можно пренебречь? В каком приближении формула (1.92) дает спектральную плотность энергии излучения затухаюшего осциллятора? :! рассмотрите свнзь лоренцевского контура 11.92) с резонансной кривой, характериэуюшей установившиеся колебания затухаюшего осцнллитора под действием сииусоидальной внешней силы.
Задача Найти спектральную плотность энергии для квазимонохроматического цуга синусондальных волн, амплитуда напряженности которых медленно изменяется по колоколообразному (гиуссову) закону: Е(Г)= Ече ' ' созмег. Здесь т» Тэ==2п/ыо характеризует алительносгь волнового цуга. Показать, что и в этом примере ллигельность цуга н ширина спектрального интервала йт связанм соотношением Лтт — 1 21Е„,1г = — Ееэлг ехр ] ††, т (гв — ме) ] 2 Форма с!геитральной линии гауссова с шириной на половине высоты Д,=.
„д21г12? 1лт) ° .а. сшжтрв ныв няням. уй о сих пор мы рассматривали спектПопгягмзвцня Дральный состав излучения, прединаюмапиокяомнгмчасиого ставляющего собой одиночный волновой цуг конечной длительности. При регистрации такого цуга идеальным спектральным прибором (прибором бесконечно большой разрешающей силы) должны получиться спектральный контур (1.88) в случае отрезка синусоиды вида (1.88) и лоренцевский контур (1.92) в случае одиночного затухающего цуга вида (1.90).
Рассмотрим теперь спектральный состав излучения реального источника света, состоящего из большого числа атомов — элементарных излучателей. Точнее, будем рассматривать модель такого фэ излучения. В точке наблюдения (например. там, где находится приемник) происходит сложение колебаний электромагнитного излучения, приходящего в эту точку от разных элементарных излучателей макроскопического)]источника. Несмотря на то что вопрос о спектральном составе результирующего излучения очень сложен, ответ на него оказывается достаточно простым. Поэтому сначала сформулируем результат и лишь затем приведем его обоснование. В основе математической модели излучения обычного (нелазерного) источника света лежит статистическая гипотеза о том, что в случае спонганнога излучения различные атомы источника испускают отдельные цуги волн независимо друг от друга в случайные моменты времени.
Фазы колебаний электромагнитного поля в излучении рйзлнчных атомов не сноррелированы друг с другом. Поэтому оказывается, что распределение интенсивности излучения всех атомов источника в такой некогерентной суперпозиции определяется суммированием распределений интенсивности для индивидуальных атомов. В частности, если цуги волн, испускаемые различными элементарными излучателями в случайные моменть! времени, одинаковы (или отличаются амплитудами), та спектр излчения источника как целого будет таким же, как и распределение интенсивности для изолированного излучателя (атома).
~]ерейдем к обоснованию сформулированного выше результата. Предположим, что через точку наблюдения в течение интервала времени Т, необходимого для наблюдения, проходит большое числа волновых цугов конечной длины. Допустим, что все эти волновые цуги, испущенные как одним н тем же атомом в разные моменты времени, так и разными атомами, идентичны по форме, т. е. колебания напряженности электрического поля, вызываемые этими цугами в точке наблюдения, описываются одной и той же функцией Е(1 — 1»). В одних условиях это может быть функция вида (1.90), в других — (1.86). Физические условия, приводящие к той илн иной модели, обсуждаются ниже.
Отдельные цуги различаются только моментами прохождения через точку наблюдения 1Т. Пусть г пока и направление линейной поляризации изл чения во все у х цу ах одинаково (при отказе от этого предположения результирующее излучение источника представляет собой неполяризоваяный, т.
е. «естественный», свет). Предположим. что за интервал времени ( — Т/2, Т/2) через точку наблюдения проходит и цугов. Тогда по принципу супер- позиции полное поле Е(1) в точке наблюдения в момент времени 1 можно записать в виде суммы и слагаемых: (1.93) * "' " м случае 1190! момент гг .т ° ву- прохождению начала (1 88! прохождеиикэ середним цуга Слагаемые, соответствующие отдельным цу, р гам, азложим в интеграл Фурье: ьь — ю дю (1.94) Е(1)= т, емь .( Е»е ' '— Если рассматривать эту формулу как разложение полной напряженности поля в интеграл Фурье Е(т)= ) Г,.е ""'— — Ао (1.95) то, как видно иэ сравнения (1.94) и (1.95), Г„, =Е ~„' 2~ '.
(1.96) 2 —.=! Интересующая нас средняя интенсивн ость полного поля излучения (1.93) за время наблюдения Т / ~ ~ Е2(1) 1 ! ~ Е2(1)дт т у„т (!.97) Таким образом, для распределения энергии результирующего излучения (1.93) по спектру из (1.96) находим ~ ~Е 12 2 1Е 12~ ~ ~ ~ ~ т '" т (1.99) 21Е 12 ~ и,— ь» т Двойную сумму по ю', в ', и (1.99) можно преобразовать, выделив в ней слагаемые с 2'=я: и+2„'» совы(й — 4). (1.100) <» Вспомним теперь, что моменты прохожд ж ения отдельных цугов т» бпределены согласно статистической гипотезе сл чайаыи ораспр р за Пределы интегрирования здесь распространены до бесконечн большом (по сравнению с длительностью отности, так как прн ль о ) интервале времени наблюдения Т можн р р но п енеб ечь дельных цугов) инт р ичным с езанием некоторых цугов краями интерв .
Д ала. Далее интенсивность через интеграл по всем частотам от ее спект плотности: 1 — —,'- ~ Е2(1)61= -',-~ 1Е.,12ф. 'ч, разом, поэтому одинакова вероятность появления равных по модулю положительных и отрицательных значений косинуса у разных слагаемых в (1.!ОО). Это значит„что вторая сумма в (!.100) прн большом числе слагаемых в среднем равна нулю и вся двойная сумма в (1.99) сводится к и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
