1612044667-0bab82c537debd90545f329194a9c9ca (533730)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализЛектор - профессор В. Н. Старовойтов4-й семестрГлава. Ряды Фурье. Преобразование Фурье.§ 1. Гильбертовы пространства.Определение. Банахово пространство называется гильбертовым, если в нём определенасимметричная билинейная форма (·, ·), называемая скалярным произведением, такая, что(u, u) = ∥u∥2 .•Пространство L2 (X) является∫гильбертовым. Скалярное произведение в нём определяетсяследующим образом: (u, v) = X u v dµ, где µ — мера Лебега.Пусть H — гильбертово пространство со скалярным произведением (·, ·) и нормой ∥ · ∥.Лемма. (Неравенство Коши — Буняковского) Для любых u, v ∈ H справедливо неравенство: |(u, v)| 6 ∥u∥ ∥v∥.•Элементы u и v гильбертова пространства H называются ортогональными, если (u, v) =0. Линейной оболочкой множества∑m M называется совокупность всех конечных линейныхкомбинаций элементов из M : i=1 ci ui , ci ∈ R, ui ∈ M . Семейство U элементов гильбертовапространства∑m H называется линейно независимым, если для любых u1 , .

. . , um ∈ U изравенства i=1 ci ui = 0 следует, что c1 = . . . = cm = 0.Определение. Набор элементов {uα } гильбертова пространства H называется полным вH, если замыкание линейной оболочки {uα } совпадает с H.•Определение. Полная линейно независимая система {uα } элементов пространства Hназывается базисом. Базис {uα } в гильбертовом пространстве H называется ортонормированным, если (uα , uβ ) = 0 при α ̸= β и ∥uα ∥ = 1 для всех α.•Утверждение.

В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ортонормированнаясистема элементов может быть не более чем счетной.•Утверждение. В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует счетныйортонормированный базис.•Далее мы будем полагать, что H — сепарабельное гильбертово пространство.Определение. Пусть {φk } — счетная ортонормированная система в гильбертовом пространстве H, которая не обязательноявляется базисом. Для произвольного u ∈ H обо∑∞значим: αk = (u, φk ). Ряд k=1 αk φk называется рядом Фурье элемента u относительносистемы {φk }. Числа αk называются коэффициентами Фурье.•∑mОбозначим через Sm (u) (или просто Sm ) частичные суммы k=1 αk φk ряда Фурье.∑′= mЛемма.

Для каждого m ∈ N среди всех сумм Smk=1 γk φk , γk ∈ R, минимум величины′∥ в H достигается на частичной сумме Sm ряда Фурье, то есть при γk = αk .•∥u − Sm1Лемма. (Неравенство Бесселя) Для каждого u ∈ H имеет место неравенство∞∑αk2 6 ∥u∥2 ,k=1•где αk — коэффициенты Фурье элемента u.Теорема. Пусть {φk } — ортонормированная система в H. Для того, чтобы эта система была полной в H, необходимо и достаточно, чтобы для любого u ∈ H выполнялосьравенство Парсеваля:∞∑2∥u∥ =αk2 ,k=1•где αk — коэффициенты Фурье элемента u.Теорема.

(Теорема Рисса — Фишера) Пусть {φk } — ортонормированная, не обязательносистема в H и {γk } — произвольная последовательностьчисел, такая, что∑∞∑∞полная2γ<∞.Тогдасуществуетu∈H,такой,чтоu=γφk=1 k∑k=1 k k с γk = (u, φk ) и∞22•∥u∥ = k=1 γk .Определение. Система {φk } элементов гильбертова пространства H называется тотальной, если для любого u ∈ H из того, что (u, φk ) = 0 для всех k следует, что u = 0 в H.•Теорема. Для того, чтобы система {φk } была полной в сепарабельном гильбертовом пространстве H, необходимо и достаточно, чтобы она была тотальной.•§ 2. Тригонометрические ряды Фурье.Рассмотрим в гильбертовом пространстве L2 (−π, π) тригонометрическую систему функций:1, cos x, sin x, .

. . , cos kx, sin kx, . . .Эта система является ортогональной, но не нормированной. Нетрудно убедиться в том,что система1cos x sin xcos kx sin kx√ , √ , √ , ..., √ , √ , ...ππππ2πортонормирована в L2 (−π, π).Каждой функции f ∈ L2 (−π, π) поставим в соответствие ряд Фурье)a0 ∑ (f (x) ∼+ak cos kx + bk sin kx ,2k=1∞где коэффициенты Фурье определены следующим образом:∫∫1 π1 πak =f (x) cos kx dx,bk =f (x) sin kx dx.π −ππ −πОпределение. Тригонометрическим полиномом называется выражение видаc0 +m∑()ck cos kx + dk sin kx ,k=12ck , dk ∈ R.•Если T (x) — тригонометрический полином, а P (y) — алгебраический полином, то P (T (x))— тригонометрический полином.Теорема. (Вейерштрасс) Пусть f : [−π, π] → R — непрерывная функция и f (−π) =f (π). Тогда для любого ε > 0 существует тригонометрический полином T , такой, чтоmax |f (x) − T (x)| < ε.•x∈[−π,π]Утверждение.

(Обращение теоремы Вейерштрасса) Если функция f : [−π, π] → Rаппроксимируется с любой точностью тригонометрическими полиномами по норме пространства C[−π, π], то f непрерывна и f (−π) = f (π).•Теорема. (Следствие из теоремы Вейерштрасса)Тригонометрическая система {1, cos x, sin x, . . .

, cos kx, sin kx, . . . } полна в пространстве L2 (−π, π).•Таким образом, для тригонометрической системы в L2 (−π, π) справедливы все утверждения, доказанные для полных ортонормированных систем в сепарабельных гильбертовыхпространствах. В частности,1) для каждой функции f ∈ L2 (−π, π) справедливо равенство Парсеваля:1a2 ∑ 2(ak + b2k );∥f ∥2 = 0 +π2k=1∞2) ряд Фурье, соответствующий функции f ∈ L2 (−π, π), сходится к f в L2 (−π, π).Далее мы исследуем поточечную сходимость рядов Фурье.Обозначим через Sn (x) (или через Sn (f, x)) частичную сумму ряда Фурье функции f :)a0 ∑ (ak cos kx + bk sin kx ,Sn (x) =+2k=1nПродолжим функцию f периодически на всю числовую ось R. Нетрудно посчитать, что∫ π1 sin y(n + 1/2)Sn (x) =f (x + y) Dn (y) dy, где Dn (y) =.2πsin y/2−πИнтеграл в выражении∫ π для Sn (x) называется интегралом Дирихле, а Dn (y) — ядром Дирихле.

Заметим, что −π Dn (y) dy = 1.Теорема. (Риман) Пусть f ∈ L1 (a, b), где [a, b] — произвольный ограниченный интервалв R. Тогда∫ b∫ bf (t) cos pt dt = 0.•f (t) sin pt dt = limlimp→∞p→∞aaЛемма. Для любого δ ∈ (0, π) имеет место равенство∫limDn (t) dt = 0.n→∞•[−π,π]\(−δ,δ)Теорема. (Принцип локализации) Пусть f, g : R → R — 2π-периодические функции, x0 ∈[−π, π], f, g ∈ L1 (−π, π) и f = g почти всюду на некотором интервале, содержащем точку3x0 . Тогда ряды Фурье функций f и g сходятся или расходятся в точке x0 одновременно, иесли они сходятся, то их суммы совпадают.•Теорема.

Пусть f : R → R — 2π-периодическая функция, f ∈ L1 (−π, π), x0 ∈ [−π, π] ивыполняется условие Дини:∫δ−δ|f (x0 + t) − A|dt < ∞|t|для некоторых A ∈ R и δ > 0. Тогда Sn (f, x0 ) → A при n → ∞.•Заметим, что обычно в качестве числа A берут f (x0 ). Однако, поскольку функции изL1 (−π, π) определены с точностью до значений на множестве меры нуль, так можно делатьне для всех, а только для почти всех x0 ∈ [−π, π].

Если же дополнительно известно, что fнепрерывна, то можно смело брать A = f (x0 ).Теорема. Пусть f : R → R — 2π-периодическая функция, f ∈ L1 (−π, π), x0 ∈ [−π, π] ивыполняется второе условие Дини:∫0δ∫|f (x0 + t) − A+ |dt < ∞,|t|0−δ|f (x0 + t) − A− |dt < ∞|t|для некоторых A+ , A− ∈ R и δ > 0. Тогда Sn (f, x) → (A+ + A− )/2 при n → ∞.•Эта теорема применяется в том случае, когда функция f терпит разрыв первого рода вточке x0 . При этом числа A− и A+ являются пределами функции f в точке x0 слева исправа соответственно.Обозначим через C 0, α [−π, π], α ∈ (0, 1), пространство непрерывных на [−π, π] функцийf , которые удовлетворяют условию Гёльдера: |f (x) − f (y)| 6 C |x − y|α для некоторойконстанты C. При α = 1 условие Гёльдера называется условием Липшица.

C 0, α [−π, π]является банаховым пространством с нормой∥f ∥C 0, α [−π,π] = max |f (x)| +x∈[−π,π]|f (x) − f (y)|.x,y∈[−π,π]|x − y|αmaxФункции из C 0, α [−π, π] удовлетворяют условиям Дини.Теорема. Пусть f ∈ C 0, α [−π, π] с α ∈ (0, 1] и f (−π) = f (π). Тогда ряд Фурье функции fсходится к f равномерно на [−π, π].•Теорема. (Упражнение) Пусть f : R → R — 2π-периодическая функция и f ∈ C 0, α [a, b],где α ∈ (0, 1] и [a, b] ⊂ R. Тогда для любого δ ∈ (0, (b−a)/2) ряд Фурье функции f сходитсяк f равномерно на [a + δ, b − δ].•Пусть f : R → R — непрерывная 2π-периодическая функция. Введем обозначение:σn (f, x) =)1(S0 (f, x) + · · · + Sn−1 (f, x) .nНетрудно вычислить, что∫ πσn (f, x) =f (x + t) Φn (t) dt,1 ( sin nt/2 )2.где Φn (t) =2πn sin t/2−π4Величина σn (f, x) называется суммой Фейера, а Φn — ядром Фейера функции f .

ЯдраФейера обладают следующими свойствами:∫π1) −π Φn (t) dt = 1 для всех n;∫π∫ −δ2) δ Φn (t) dt → 0 и −π Φn (t) dt → 0 при n → ∞ для любого δ ∈ (0, π).Теорема. (Фейер) Пусть f : R → R — непрерывная 2π-периодическая функция. Тогдаσn (f ) → f равномерно на [−π, π].•Из этой теоремы, в частности, следует теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими полиномами.В пространстве L2 (0, π) полными являются следующие две ортогональные системы функций:1, cos x, cos 2x, . . .

, cos kx, . . .sin x, sin 2x, . . . , sin kx, . . .Предположим, что функция f представима своим рядом Фурье. Согласно формуле Эйлера11cos kx = (eikx + e−ikx ) и sin kx = (eikx − e−ikx ). Отсюда получаем, что22i∞∑ck eikx ,f (x) =k=−∞где c0 = a0 /2, ck = (ak + ibk )/2 при k < 0 и ck = (ak − ibk )/2 при k > 0. Можно вычислитьck и по следующей формуле:∫ π1ck =f (x)e−ikx dx.2π −πЭто представление справедливо и для комплексных функций f = f1 + if2 : [−π, π] → C.Скажем, что комплексная функция принадлежит пространству Lp , если её вещественнаяи мнимая части лежат в этом пространстве. С пространством L2 есть небольшой нюанс.Скалярное произведениев комплексном пространстве L2 [−π, π] определяется следующим∫πобразом: (u, v) = −π u(x) v(x) dx, где черта означает комплексное сопряжение.

Таким образом, в полном соответствии с нашими определениями для абстрактных∑ гильбертовыхпространств для комплексного пространства L2 [−π, π] мы имеем: f = ∞k=−∞ αk φk , где√ikxφk (x) = e / 2π, αk = (f, φk ), k ∈ Z. Функции φk , k ∈ Z, образуют ортонормированныйбазис в L2 [−π, π].§ 3. Преобразование Фурье.Теорема. (Формула Фурье) Пусть функция f ∈ L1 (R) удовлетворяет условию Дини вточке x0 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)