1612044667-0bab82c537debd90545f329194a9c9ca (533730), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда∫∫ +∞1 ∞dλf (t) cos λ(t − x0 ) dt.f (x0 ) =π 0−∞•Заметим, что cos — четная функция, поэтому формулу Фурье можно записать следующимобразом:∫ +∞ ∫ +∞1f (x0 ) =dλf (t) cos λ(t − x0 ) dt.2π −∞−∞5Более того, sin — нечетная функция, поэтому∫ +∞ ∫ +∞∫p.v.dλf (t) sin λ(t − x0 ) dt = lim−∞N →+∞−∞∫N−N+∞dλ−∞f (t) sin λ(t − x0 ) dt = 0.Таким образом, формулу Фурье можно записать в комплексной форме:∫ +∞ ∫ +∞1f (x0 ) =f (t) e−iλ(t−x0 ) dtdλ .p.v.2π−∞−∞Введем обозначение:1fˆ(λ) = √2π∫+∞f (t) e−iλt dt.−∞Функция fˆ называется преобразованием Фурье функции f . Мы будем также использоватьдля преобразования Фурье обозначение F (f ).
Согласно формуле Фурье, если f удовлетворяет в точке x0 условию Дини, то справедлива формула обращения преобразования Фурье:∫ +∞1f (x0 ) = √ p.v.fˆ(λ) eiλx0 dλ.2π−∞Выражение в правой части называется обратным преобразованием Фурье и обозначаетсяF −1 .Утверждение.
Если fk → f в L1 (R), то F (fk ) → F (f ) равномерно на R.•Утверждение. Если f ∈ L1 (R), то F (f ) определено всюду в R и ограничено: |F (f )| 6(2π)−1/2 ∥f ∥L1 (R) .•Теорема. Если f ∈ L1 (R), то F (f ) ∈ C(R) и F (f )(x) → 0 при x → ±∞.•Теорема. Если f ∈ L1 (R), f ′ ∈ L1 (R) и f ∈ C 1 (R), то F (f ′ )(x) = ixF (f )(x).•Теорема. Если f ∈ L1 (R) и xf (x) ∈ L1 (R), то F (f ) дифференцируема всюду на R иdF (f ) = −iλF (f ).•dλСверткой функций f, g ∈ L1 (R) называется функция∫ +∞1(f ∗ g)(x) = √f (t)g(x − t) dt.2π −∞Теорема. Если f, g ∈ L1 (R), то F (f ∗ g) = F (f ) F (g).•Если f ∈ L2 (R), то, вообще говоря, f ̸∈ L1 (R) и поэтому преобразование Фурье F (f )в обычном смысле не определено.
Тем не менее, мы можем обобщить понятие преобразования Фурье так, чтобы оно было определено на функциях из L2 (R) и совпадало склассическим на функциях из L1 (R).∫ +mТеорема (Планшерель). Пусть f ∈ L2 (R) и gm (λ) = √12π −m f (x) e−iλx dx. Тогдаа) gm ∈ L2 (R) для всех m ∈ N;б) последовательность {gm } сходится в L2 (R) при m → ∞ к некоторой функции g ∈ L2 (R),причем ∥g∥L2 (R) = ∥f ∥L2 (R) ;в) если f ∈ L2 ∩ L1 (R), то g = F (f ).•6Функция g называется преобразованием Фурье функции f ∈ L2 .Упражнение. Пусть f, g ∈ L1 (R) и F (f ) = F (g) в R.
Доказать, что f = g почти всюду вR. В частности, из F (f ) = 0 следует, что f = 0 почти всюду.•Глава. Анализ гладких отображений.§ 1. Непрерывные отображения.Определение. Метрическим пространством M называется множество точек, на котором определена метрика ρ. Метрика это функция ρ : M × M → R, обладающая следующими свойствами:1) ρ(x, y) > 0;2) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;3) ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y);4) ρ(x, y) = ρ(y, x).•Скажем, что последовательность {xk } точек метрического пространства M сходится кточке x ∈ M , если ρ(xk , x) → 0 при k → ∞. Последовательность {xk } точек метрическогопространства M называется фундаментальной, если∀ε > 0 ∃kε ∈ N : ρ(xm , xℓ ) < ε для всех m, ℓ > kε .Определение.
Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится к некоторой точке из этого пространства. •Пусть M и N — метрические пространства. Отображение f : M → N называется непрерывным в точке x ∈ M , если из ρM (xk , x) → 0 следует, что ρN (f (xk ), f (x)) → 0.
Отображение f : M → N называется непрерывным, если оно непрерывно во всех точках пространства M .Определение. Отображение f : M → N называется гомеоморфизмом, если оно непрерывно и взаимнооднозначно, и f −1 непрерывно.•Определение. Отображение f : M → M называется сжимающим, если существуетq ∈ (0, 1), такое что ρ(f (x1 ), f (x2 )) 6 q ρ(x1 , x2 ) для всех x1 , x2 ∈ M . Мы будем ещеговорить, что f является q-сжимающим.•Теорема (Принцип сжимающих отображений). Пусть M — полное метрическое пространство и f : M → M — сжимающее отображение.
Тогда существует единственнаяточка x∗ ∈ M , такая, что x∗ = f (x∗ ).•Точка x∗ называется неподвижной точкой отображения f .Теорема (О непрерывной зависимости неподвижной точки от параметра). Пусть M —полное метрическое пространство и ft : M → M — семейство отображений, зависящих отпараметра t из метрического пространства T . Предположим, что1) существует q ∈ (0, 1), такое, что ft является q-сжимающим для каждого t ∈ T ;2) ft (x) непрерывно по t в точке t0 ∈ T для каждого x ∈ M .Если at ∈ M — неподвижная точка отображения ft , т.е.
at = ft (at ), то at непрерывнапо t в точке t0 ∈ T .•7§ 2. Неявные функции.Пусть X = Rn , Y = Rm .Определение. Отображение Φ : U ⊂ X → Y называется диффеоморфизмом, если Φнепрерывно-дифференцируемо и взаимно-однозначно, и отображение Φ−1 : Φ(U ) → Uнепрерывно-дифференцируемо.•Определение. Пусть F : X × Y → Y , F = (F1 , . . . , Fm ). Отображение φ : X → Y , такое,что F (x, φ(x)) = 0, называется неявно заданным отображением.•Теорема (О неявной функции). Пусть Ux и Uy — области в X и Y соответственно, и отображение F : Ux × Uy → Y удовлетворяет следующим условиям:1) существует точка (x0 , y 0 ) ∈ Ux × Uy , такая, что F (x0 , y 0 ) = 0;2) отображение F непрерывно в точке (x0 , y 0 );3) производная Fy′ отображения F по y существует в Ux ×Uy и непрерывна в точке (x0 , y 0 );4) линейный оператор (отображение) A = Fy′ (x0 , y 0 ) : Y → Y имеет ограниченный обратный A−1 .Тогда существуют окрестность Vx точки x0 в X, окрестность Vy точки y 0 в Y и отображение φ : Vx → Vy , такие, что1) {(x, y) ∈ Vx × Vy | F (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ Vx × Vy | y = φ(x)};2) y 0 = φ(x0 );3) отображение φ непрерывно в точке x0 .•Теорема (О непрерывности неявного отображения).
Пусть выполнены условия теоремыо неявной функции и отображение F непрерывно в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 )в X × Y . Тогда неявная функция φ непрерывна в некоторой окрестности точки x0 в X. •Теорема (О дифференцируемости неявного отображения). Пусть выполнены условиятеоремы о неявной функции и отображение F непрерывно дифференцируемо (по x и поy) в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) в X × Y .
Тогда неявная функция φ непрерывнодифференцируема в некоторой окрестности точки x0 в X и()−1φ′ (x) = − Fy′ (x, φ(x))◦ Fx′ (x, φ(x)).•Теорема (О гладкости неявного отображения). Пусть выполнены условия теоремы онеявной функции и отображение F k раз непрерывно дифференцируемо (по x и по y) внекоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) в X ×Y . Тогда неявная функция φ k раз непрерывнодифференцируема в некоторой окрестности точки x0 в X.•Теорема (О неявном отображении в общей формулировке).
Пусть отображение F : Rn →Rk , n > k, непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки x0 ∈ Rn иrank Fx′ (x0 ) = k, т.е. можно выделить k переменных (xi1 , . . . , xik ), которые мы обозначим через y, такие, что det Fy′ (x0 ) ̸= 0. Обозначим совокупность переменных, отличныхот y, через z. Таким образом, пространство X = Rn можно представить как X = Y × Z,где Y = Rk и Z = Rn−k , при этом x0 = (y 0 , z 0 ).Если F (x0 ) = 0, то существует отображение φ : Z → Y , такое, что в некоторой окрестности точки x0 множество решений уравнения F (x) = 0 есть {x = (y, z) | y = φ(z)}.•Теорема (Об обратной функции).
Пусть в некоторой окрестности Uy ⊂ Rn точки y 0задано непрерывно дифференцируемое отображение g : Uy → Rn , такое, что det g ′ (y 0 ) ̸= 0.8Тогда в некоторой окрестности Ux ⊂ Rn точки x0 = g(y 0 ) определено обратное отображение g −1 , которое является непрерывно дифференцируемым, и( −1 )′( )−1 g x (x) = gy′(y)y=g−1 (x) .•Теорема (О гладкости обратного отображения). Пусть g : Rn → Rn есть отображениекласса C k в некоторой окрестности Uy точки y 0 ∈ Rn и det g ′ (y 0 ) ̸= 0. Тогда существуетокрестность Ux точки x0 = g(y 0 ), такая, что g есть диффеоморфизм класса C k областиUy на область Ux .•§ 3.
Многообразия в Rn .Определение. Пусть задано множество M ⊂ Rn и точка a ∈ M . Мы скажем, что Mявляется p-мерным многообразием класса C k в окрестности U точки a, если существуетдиффеоморфизм φ класса C k окрестности U на окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, чтоφ(a) = 0 и φ(M ∩ U ) = {x ∈ V ∩ Rn | xp+1 = . . . = xn = 0}.•Теорема (О локальном явном задании многообразия). Пусть M — некоторое множествов Rn и a ∈ M . Для того, чтобы M было p-мерным многообразием класса C k в некоторойокрестности U точки a, необходимо и достаточно, чтобы существовало (n − p) скалярныхфункций fp+1 , .
. . , fn : Rp → R класса C k , таких, что после подходящей перестановкикоординат x1 , . . . , xn пространства Rn выполнялись бы следующие условия:1) fi (a1 , . . . , ap ) = ai для i = p + 1, . . . , n;2) M ∩ U = {x ∈ U | xi = fi (x1 , .
. . , xp ), i = p + 1, . . . , n}.•Теорема (О локальном параметрическом задании многообразия). Пусть M — некотороемножество в Rn и a ∈ M . Для того, чтобы M было p-мерным многообразием классаC k в некоторой окрестности U точки a, необходимо и достаточно, чтобы существовалгомеоморфизм ψ некоторой области W в Rp на M ∩ U , такой, что1) ψ как отображение из Rp в Rn принадлежит классу C k ;( ∂ψ )2) rank= p при ξ ∈ W .•∂ξОтображение ψ называется локальной параметризацией многообразия M в окрестноститочки a.Определение. Множество M ⊂ Rn называется p-мерным многообразием класса C k , еслионо является таковым в некоторой окрестности каждой своей точки.•Множество U ⊂ M называется открытым в M , если существует открытое множествоV ⊂ Rn , такое, что U = V ∩ M .
Каждое многообразие M можно представить в видеобъединения открытых в M множеств Uα , каждое из которых является областью действиянекоторой параметризации ψα . Пара (Uα , ψα ) называется картой или локальной картой.Объединение всех локальных карт называется атласом.Лемма (О двух локальных параметризациях ). Пусть M — p-мерное многообразие классаC k в Rn и U — открытое множество в M , на котором заданы две параметризации ψ1 иψ2 . То есть, ψ1 : W1 → U и ψ2 : W2 → U , где W1 и W2 — некоторые области в Rp .
Тогдасуществует диффеоморфизм λ : W1 → W2 класса C k , такой, что ψ1 = ψ2 ◦ λ.•Теорема (О касательном пространстве к параметрически заданному многообразию).Пусть M есть p-мерное многообразие класса C 1 в Rn , a ∈ M и ψ есть локальная парамет9∂ψ ( p )R не зависит от выбора∂ξ ξ=0параметризации ψ и называется касательным пространством к многообразию M в точкеa (обозначается Ta M ).•ризация в некоторой окрестности точки a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
