1612044667-0bab82c537debd90545f329194a9c9ca (533730), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. , m}, такое, что supp fi ⊂ Uj ;∑2) ℓi=1 fi (x) = 1 для всех x ∈ K;∑3) ℓi=1 fi (x) 6 1 для всех x ∈ Rn .•Если выполняются условия (2) и (3), то набор функций {f1 , . . . , fℓ } является разбиениемединицы на K. Если выполнено еще и условие (1), то говорят, что разбиение единицы{f1 , . . . , fℓ } подчинено покрытию {U1 , .
. . , Um }.Пусть M — компактное k-мерное многообразие, т.е., множество M является компактом вRn и многообразием (с краем или без). Пусть {(U1 , ψ1 ), . . . , (Um , ψm )} есть атлас на M . Тоесть, {U1 , . . . , Um } — открытое покрытие M , и каждое множество Uj есть область действияодной параметризации ψj . Пусть {φ1 , . .
. , φℓ } — разбиение единицы на M , подчиненноепокрытию {U1 , . . . , U∑m }. Тогда для любой дифференциальной формы ω на M справедливопредставление: ω = ℓi=1 φi ω. Если ω — форма степени k, то положим∫ω=Mℓ ∫∑i=1φi ω =Mℓ ∫∑i=1M ∩Uj(i)φi ω,где множество Uj(i) таково, что supp φi ⊂ Uj(i) .Теорема (Стокс). Пусть M — компактное ориентируемое k-мерное многообразие и ω —дифференциальная (k − 1)-форма на M . Тогда∫∫dω =ω.M∂MПри этом ориентации многообразия M и его края ∂M должны быть согласованы.•Определение.
Пусть M есть k-мерное многообразие в Rn . При k = 1 интеграл от любойдифференциальной 1-формы по M называется криволинейным интегралом второго рода.При k > 2 интеграл от любой дифференциальной k-формы по M называется поверхностным интегралом второго рода.•Формой n-мерного объема в Rn называется n-форма, которая на векторах стандартного базиса принимает значение 1. Напомним, что стандартный базис в евклидовом пространстве— это любой ортонормированный базис. Например, в Rn с обычным скалярным произведение стандартным базисом является набор векторов (1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . .
. , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1).Очевидно, что Vn = dx1 ∧ · · · ∧ dxn — это и есть форма n-мерного объема в Rn .Репером называется любой набор линейно-независимых векторов в Rn . Заметим, что еслирепер (ξ 1 , . . . , ξ n ) ориентирован одинаково со стандартным базисом, то Vn (ξ 1 , .
. . , ξ n ) естьобъем параллелепипеда, ребрами которого являются векторы ξ i , иVn (ξ 1 , . . . , ξ n ) = det A,где A — матрица с компонентами Aji = ξij .Если в n-мерном пространстве есть k-мерный параллелепипед, ребрами которого являютсявекторы (ξ 1 , . . . , ξ k ), то матрица A не будет прямоугольной, и det A не определен. Однако,мы можем составить матрицу Грама G = A ◦ AT , которая имеет компоненты Gij =ξ i · ξ j и является квадратной матрицей размерности k × k. Несложно показать, что объем√рассматриваемого k-мерного параллелепипеда есть det G.19Если M есть k-мерное ориентируемое многообразие в Rn , на котором задана система параметризаций ψ с локальными координатами (t1 , . . . , tn−1 ), то определим на нем дифференциальную k-форму dSk , такую, что√ψ ∗ dSk = det Ψ dt1 ∧ · · · ∧ dtk ,где Ψ — матрица с компонентамиΨij =∂ψ ∂ψ·.∂ti ∂tjЗаметим, что dSk — это не дифференциал от Sk , а символ, обозначающий дифференциальную форму.
Такое обозначение используется в силу традиции.Определение. Площадью k-мерного многообразия M называется интеграл от формы dSkпо M .•В этом определении необходимо потребовать, чтобы этот интеграл был положительным.Этого можно добиться выбором параметризации. Предположим, что мы вычислили интеграл от формы dSk по куску ориентируемого многообразия M , покрываемому однойкартой. Если он получился отрицательным, то необходимо поменять ориентацию параметризации, переставив местами две локальные координаты, например, t1 и t2 . Чтобы весьатлас остался согласованным по ориентации, эту процедуру необходимо проделать во всехкартах. После этого интеграл от dSk по всему многообразию M будет положительным.Определение.
Поверхностным интегралом 1-го рода от функции f по ориентируемомуk-мерному многообразию M называется интеграл от формы f dSk по M . При k = 1 говорято криволинейном интеграле 1-го рода.•§ 4. Векторные поля в R3 .Определение. Векторным полем в Rn называется отображение из Rn в Rn . То есть,каждой точке ставится в соответствие вектор.•Точки в R3 будем обозначать r = (x, y, z), а в R2 — r = (x, y). Если A — векторное поле вR3 , то его компоненты в декартовой системе координат будем обозначать (Ax , Ay , Az ).Пусть в R3 заданы скалярное f : R3 → R и векторное A : R3 → R3 поля.
Определим поэтим полям следующие дифференциальные формы:1) ωf0 — дифференциальная форма степени 0, такая, что(ωf0 )r = f (r).2) ωA1 — дифференциальная форма степени 1, такая, что(ωA1 )r (ξ) = A(r) · ξ∀ξ ∈ R3 .3) ωA2 — дифференциальная форма степени 2, такая, что(ωA2 )r (ξ 1 , ξ 2 ) = A(r) · (ξ 1 × ξ 2 ) ∀ξ 1 , ξ 2 ∈ R3 .4) ωf3 — дифференциальная форма степени 3, такая, что(ωf3 )r (ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) = f (r) ξ 1 · (ξ 2 × ξ 3 ) ∀ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ∈ R3 .20Заметим, что (ωf3 )r = f (r) dS3 , где dS3 — форма 3-мерного объема в R3 .В декартовых координатахωA1 = Ax dx + Ay dy + Az dz,ωA2 = Ax dy ∧ dz + Ay dz ∧ dx + Az dx ∧ dy,ωf3 = f dx ∧ dy ∧ dz.Теорема.2ωA1 ∧ ωB1 = ωA×B,3ωA1 ∧ ωB2 = ωA·B•Определение.
Градиентом скалярной функции f называется векторное поле ∇f , такое,1.•что dωf0 = ω∇fВ декартовых координатах ∇f = (∂f /∂x, ∂f /∂y, ∂f /∂z).Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля A называется векторное поле2rot A (или curl A), такое, что dωA1 = ωrot•A.В декартовых координатах(rot A)x =∂Az ∂Ay−,∂y∂z(rot A)y =∂Ax ∂Az−,∂z∂x(rot A)z =∂Ay ∂Ax−.∂x∂yОпределение. Дивергенцией векторного поля A называется скалярное поле div A, такое,3что dωA2 = ωdiv•A.В декартовых координатах div A = ∂Ax /∂x + ∂Ay /∂y + ∂Az /∂z.Замечание. Определения дивергенции и градиента имеют смысл и в Rn .
Градиент определяется совершенно аналогично R3 и в декартовых координатах имеет вид∇f = (∂f /∂x1 , . . . , ∂f /∂xn ).Для определения дивергенции введем еще одну форму, которая в декартовых координатах∑ci ∧ . . . dxn , где A = (A1 , . . . , An ), «крышка»имеет вид ωAn−1 = ni=1 (−1)i−1 Ai dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1nозначает пропущенныйТогда ωdivA := (div A) dSn = dωA . В декартовых∑nсомножитель.координатах div A = i=1 ∂Ai /∂xi .•Утверждение.rot (f A) = ∇f × A + f rot A,div (f A) = ∇f · A + f div A,div (A × B) = B · rot A − A · rot B.•Теорема (Формула Ньютона — Лейбница). Пусть M — кривая в R3 , A и B — точки наM , τ — единичный касательный вектор к M , направленный от A к B.
Тогда∫∇f · τ dS1 = f (B) − f (A).•MТеорема (Формула Грина). Пусть G — область с гладкой границей в R2 и A — векторноеполе в G. Тогда∫∫ (∂Ay ∂Ax )−dx ∧ dy.Ax dx + Ay dy =∂x∂y∂GG21При этом ориентации G и ∂G должны быть согласованы.
Если граница ∂G ориентированатак, что положительным направлением обхода является обход против часовой стрелки, то∫∫ (∂Ay ∂Ax )Ax dx + Ay dy =−dxdy.•∂x∂y∂GGПусть M — двумерное многообразие в R3 и n = (nx , ny , nz ) — вектор нормали к M . Причем,если (τ 1 , τ 2 ) — ориентирующий репер в касательном пространстве, то репер (n, τ 1 , τ 2 )ориентирован одинаково с базисным репером (ex , ey , ez ) пространства R3 . Здесь, векторыτ 1 и τ 2 определяются следующим образом: если ψ(t1 , t2 ) — локальная параметризация, тоτ i = ∂ψ/∂ti , i = 1, 2.Лемма.
Тогда для любой точки a ∈ M на Ta M справедливы формулы:dS2 = nx dy ∧ dz + ny dz ∧ dx + nz dx ∧ dy,nx dS2 = dy ∧ dz,ny dS2 = dz ∧ dx,nz dS2 = dx ∧ dy.•Теорема (Векторная формула Стокса). Пусть M — 2-мерное многообразие с краем в R3и A — векторное поле в R3 . Тогда∫∫rot A · n dS2 =A · τ dS1 ,M∂Mпричем, ориентации M и ∂M (т.е. n и τ ) согласованы. А именно, при движении вдоль ∂Mв направлении вектора τ мы по правилу буравчика получим направление вектора n. •∫Интеграл M A · n dS2 называется потоком векторного поля A через M .∫Интеграл ∂M A · τ dS1 называется циркуляцией векторного поля A вдоль замкнутогоконтура ∂M .Теорема (Формула Гаусса — Остроградского). Пусть G — область в R3 с гладкой границей∂G и A — векторное поле в R3 .
Тогда∫∫div A dxdydz =A · n dS2 ,G∂G•где n — вектор внешней нормали к ∂G.Формула Гаусса — Остроградского справедлива не только в R3 , но и в Rn .Определение. Векторное поле u в области D ⊂ Rn называется потенциальным, еслисуществует функция φ : D → R, такая, что u = ∇φ в D.•Заметим, что если u = ∇φ, то ωu1 = dωφ0 . Поэтому для потенциальности векторного поля uнеобходимо, чтобы dωu1 = 0. В декартовых координатах это условие может быть записаноследующим образом:∂ui∂uj=для всех i, j = 1, .
. . , n,∂xj∂xiили rot u = 0, если n = 3.Непрерывное отображение γ : [0, 1] → Rn называется путём. Путь называется замкнутым, если γ(0) = γ(1). Если отображение γ принадлежит классу C k , то говорят о путикласса C k .22Теорема. Для того, чтобы векторное поле u : D → Rn было потенциальным, необходимои достаточно, чтобы его циркуляция по любому замкнутому пути γ : [0, 1] → D, лежащемув D, была равна нулю:Iu · τ dS1 = 0.•γОпределение. Два замкнутых пути γ1 , γ2 : [0, 1] → D называются гомотопными, еслисуществует непрерывное отображение Γ : [0, 1]×[0, 1] → D, называемое гомотопией, такое,что Γ(0, t) = γ1 (t) и Γ(1, t) = γ2 (t) для всех t ∈ [0, 1] и Γ(s, 0) = Γ(s, 1) для всех s ∈ [0, 1].
•Теорема. Если ω — замкнутая дифференциальная 1-форма в области D ⊂ Rn , то∫∫ω=ωγ1γ2•для любых гомотопных путей γ1 и γ2 в D.Если a — точка в D, то мы можем поставить ей в соответствие постоянный путь γa , такой,что γa (t) = a для всех t ∈ [0, 1]. Говорят, что замкнутый путь гомотопен точке, если онгомотопен некоторому постоянному пути.Определение. Область D ⊂ Rn называется односвязной, если в ней любой замкнутыйпуть гомотопен точке.•Теорема. Если D есть односвязная область, то необходимое условие потенциальностивекторного поля u : D → Rn (dωu1 = 0) является и достаточным.•Теорема. Для того, чтобы дифференциальная 1-форма, определенная в односвязной области, была точной, необходимо и достаточно, чтобы она была замкнутой.•Определение.
Векторное поле a называется соленоидальным, если div a = 0. Векторноеполе b в R3 называется векторным потенциалом векторного поля a, если a = rot b.•Согласно теореме Пуанкаре, если D — звездная область в R3 , то любое соленоидальноевекторное поле в D имеет векторный потенциал. Можно показать, что если D — областьв R3 , такая, что любая гомеоморфная сфере поверхность гомотопна в D точке, то любоесоленоидальное векторное поле в D имеет векторный потенциал.23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
