1612044667-0bab82c537debd90545f329194a9c9ca (533730), страница 4
Текст из файла (страница 4)
kp ,16k1 <...<kp 6n13где сумма берётся от 1 до n по всем ki , удовлетворяющим условию под знаком суммы,ak1 ... kp ∈ R, а формы π k1 ... kp ∈ Λp (X) определены следующим образом: kπ 1 (x1 ) . . . π kp (x1 )π k1 ... kp (x1 , . . . , xp ) = . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .•π k1 (xp ) . . . π kp (xp )Из этой леммы следует, что множество p-форм {π k1 ... kp , 1 6 k1 < . . . < kp 6 n} образуетбазис в Λp (X), а dim Λp (X) = Cnp .Определение. Внешним произведением форм f ∈ Λp (X) и g ∈ Λq (X) называется следующая форма (f ∧ g) ∈ Λp+q (X):f ∧g =(p + q)!Ap+q (f ⊗ g).p!q!•Внешнее произведение обладает следующими простейшими свойствами:(f + g) ∧ h = f ∧ h + g ∧ h,(λf ) ∧ h = λ(f ∧ h)где λ ∈ R, f ∈ Λp (X), g ∈ Λp (X), h ∈ Λq (X) с произвольными p и q.Теорема.
Если f ∈ Λp (X) и g ∈ Λq (X), то∑ε(σ) f (xσ(1) , . . . , xσ(p) ) g(xσ(p+1) , . . . , xσ(p+q) ),(f ∧ g)(x1 , . . . , xp+q ) =σ∈Pbp+qгде сумма берётся по всем упорядоченным перестановкам σ ∈ Pbp+q , то есть таким, чтоσ(1) < . . . < σ(p) и σ(p + 1) < .
. . < σ(p + q).•Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Для любого набора индексов{k1 , . . . , kp+q } ⊂ {1, . . . , n} имеет место равенствоπ k1 ... kp ∧ π kp+1 ... kp+q = π k1 ... kp+q .•Теорема. Внешнее произведение ассоциативно, то есть,(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h)для любых форм f ∈ Λp (X), g ∈ Λq (X) и h ∈ Λs (X) с произвольными p, q и s.•Из этой теоремы следует, что мы можем не заботиться о расстановке скобок во внешнемпроизведении нескольких форм и имеем право писать выражения вида f 1 ∧ f 2 ∧ .
. . ∧ f m ,где f k — произвольные внешние формы.Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Для любого набора индексов{k1 , . . . , kp } ⊂ {1, . . . , n} имеет место равенствоπ k1 ... kp = π k1 ∧ . . . ∧ π kp .14•Таким образом, совокупность p-форм {π k1 ∧ . . . ∧ π kp , : 1 6 k1 6 . . . 6 kp 6 n} образуетбазис в Λp (X), то есть, каждая p-форма f может единственным образом быть представленав следующем виде:∑ak1 ... kp π k1 ∧ .
. . ∧ π kp ,f=16k1 <...<kp 6nгде ak1 ... kp ∈ R. Это выражение называется каноническим представлением p-формы f .Теорема (Об антикоммутативности внешнего произведения). Если f ∈ Λp (X) и g ∈Λq (X), то f ∧ g = (−1)pq g ∧ f.•§ 2. Дифференциальные формы в Rn .Пусть U есть открытое множество в Rn , которое может совпадать со всем пространствомRn .Определение. Всякое отображение ω : U → Λp (Rn ) называется внешней дифференциальной формой степени p.•Таким образом, в каждой точке x ∈ U определена p-форма ωx ∈ Λp (Rn ).Если функция f : Rn → R дифференцируема в области U ⊂ Rn , то по определению dx fесть линейная форма на Rn для каждого x ∈ U .
Таким образом, df является внешнейдифференциальной 1-формой. Рассмотрим функцию fi : Rn → R, которая каждой точке x ставит в соответствие её i-ю координату. То есть, fi (x) = xi . Её дифференциал впроизвольной точке x ∈ Rn есть dx xi (ξ) = ξ i . Видим, что дифференциал не зависит отвыбора точки x, поэтому индекс x у знака дифференциала можно не писать, то есть,dxi (ξ) = ξ i = π i (ξ).Таким образом, каждая дифференциальная форма ω степени p может быть представленав таком виде:∑ak1 ... kp dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp ,ω=16k1 <...<kp 6nгде коэффициенты ak1 ...
kp зависят от точки x, то есть, являются функциями, действующими из Rn в R. Это выражение называется каноническим представлением дифференциальной формы ω. В произвольной фиксированной точке x ∈ U ⊂ Rn мы имеем:ωx =∑ak1 ... kp (x) dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp .16k1 <...<kp 6nОпределение. Дифференциальная форма ω степени p называется p-формой класса C m (U ),если все коэффициенты ak1 ... kp в её каноническом представлении являются функциямикласса C m (U ). Множество внешних дифференциальных p-форм класса C m (U ) будем обозначать через C m (U ; Λp (Rn )).•Сопоставим каждой дифференциальной p-форме ω класса C m (U ), m > 1, некоторую(p + 1)-форму класса C m−1 (U ), обозначаемую через dω и называемую внешним дифференциалом формы ω.Если ω ∈ C m (U ; Λ0 (Rn )), то есть, ω = ω(x) является просто m раз непрерывно дифферен15цируемой в U функцией, то dω суть обычный дифференциал этой функции:n∑∂ωdω =dxi .i∂xi=1Видим, что dω ∈ C m−1 (U ; Λ1 (Rn )) и коэффициенты ai в каноническом представленииформы dω есть функции ai (x) = ∂ω(x)/∂xi .Пусть теперь ω ∈ C m (U ; Λp (Rn )) с произвольным p ∈ {1, 2, .
. . , n}. Если каноническоепредставление формы ω имеет вид∑ω=ak1 ... kp dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp ,16k1 <...<kp 6nто положим по определению∑dω =dak1 ... kp ∧ dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp ,16k1 <...<kp 6nгде dak1 ... kp есть дифференциальная 1-форма, являющаяся дифференциалом функцииak1 ... kp (x).Операция внешнего дифференцирования линейна:d(λ ω) = λ dω,d(ω1 + ω2 ) = dω1 + dω2для любого λ ∈ R и любых форм ω, ω1 , ω2 ∈ C 1 (U, Λp (Rn )), p > 0.Лемма.
Для любой функции f : U → R класса C 1 (U ) и любой дифференциальной формыω ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )), p > 1, имеет место равенствоd(f ω) = df ∧ ω + f dω.•Теорема. Для любых дифференциальных форм ω1 ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )) и ω2 ∈ C 1 (U ; Λq (Rn ))с p > 1 и q > 1 справедливо равенствоd(ω1 ∧ ω2 ) = (dω1 ) ∧ ω2 + (−1)p ω1 ∧ (dω2 ).•Теорема. Для произвольной дифференциальной формы ω ∈ C 2 (U ; Λp (Rn )), p > 0, справедливо равенство d(dω) = 0.•1n1mОбозначим через Rnx и Rmy пространства переменных x = (x , .
. . , x ) и y = (y , . . . , y )m1mk+1nсоответственно. Пусть φ = (φ , . . . , φ ) есть отображение класса Cиз Rx в Ry , U ⊂ Rnxи V ⊂ Rmy — открытые связные множества (области), такие, что φ(U ) = V .∗Для каждой дифференциальной формы ω ∈ C k (V ; Λp (Rmy )) определим форму φ ω ∈C k (U ; Λp (Rnx )) по следующему правилу:(φ∗ ω)x (ξ 1 , . . . , ξ p ) = ωφ(x) (φ′ ξ 1 , . . . , φ′ ξp ),где φ′ есть производная отображения φ в точке x:′φ :Rnx→Rmy ,φ′ij∂φi=,∂xj16′i(φ ξ) =n∑∂φij=1∂xjξj .kpnОтображение φ∗ : C k (V ; Λp (Rmy )) → C (U ; Λ (Rx )) называется переносом дифференциальной формы при отображении φ.Заметим, что если f : V → R есть скалярная функция, то (φ∗ f )x = f (φ(x)).Отображение φ∗ линейно.
То есть, если ω, ω1 и ω2 — дифференциальные формы и C —скалярная постоянная, тоφ∗ (ω1 + ω2 ) = φ∗ (ω1 ) + φ∗ (ω2 ),k∗Лемма. Если ω = dy , то (φ ω)x =n∑∂φkj=1∂xjφ∗ (C ω) = C φ∗ (ω).dxj .•Лемма. Если ω1 и ω2 — дифференциальные формы (произвольных степеней), тоφ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = φ∗ ω1 ∧ φ∗ ω2 .Упражнение. Если f — скалярная функция и ω — дифференциальная форма, то( ∗)φ (f ω) x = f (φ(x)) (φ∗ ω)x .••Таким образом, если форма ω задана в каноническом виде:∑ak1 ... kp (y) dy k1 ∧ .
. . ∧ dy kp ,ωy =16k1 <...<kp 6mто∑(φ∗ ω)x =ak1 ... kp (φ(x)) dφk1 (x) ∧ . . . ∧ dφkp (x).16k1 <...<kp 6mmУтверждение. Если ω — форма степени m в Rm и φ : Rmx → Ry , то()(φ∗ ω)x = φ∗ a dy 1 ∧ . . . ∧ dy m x = det φ′ (x) a(φ(x)) dx1 ∧ . .
. ∧ dxm .Теорема.d(φ∗ ω) = φ∗ dω.••Определение. Дифференциальная форма ω ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )) называется замкнутой, если dω = 0 в U .•Определение. Дифференциальная форма ω ∈ C k (U ; Λp (Rn )) называется точной, еслисуществует форма α ∈ C k+1 (U ; Λp−1 (Rn )), такая, что ω = dα в U .•Очевидно, точная форма всегда замкнута. Справедливость обратного утверждения зависит от области определения формы.Определение.
Область U называется звездной относительно точки x0 ∈ U , если длялюбой точки x1 ∈ U отрезок [x0 , x1 ] = {x ∈ Rn | x = tx1 + (1 − t)x0 , t ∈ [0, 1] } лежит в U .Теорема (Пуанкаре). Пусть U — звездная относительно одной из своих точек область вRn и ω ∈ C ∞ (U ; Λp (Rn )). Если dω = 0 в U , то существует α ∈ C ∞ (U ; Λp−1 (Rn )), такая, чтоdα = ω.•17Пусть ω ∈ C(U ; Λp (Rn )), U ⊂ Rnx . Если p = n (в этом случае форма имеет вид ωx =a(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn ), то можно определить интеграл от дифференциальной формы ω пообласти U . Положим∫∫ω=a(x) dx.UUВ правой части этой формулы стоит интеграл Лебега (или Римана) от функции a пообласти U .
Если φ : V → U , V ⊂ Rny , то φ∗ ω ∈ C(V ; Λn (Rn )) и∫∫∗φω=a(φ(y)) det φ′ (y) dy.VVЕсли det φ′ (y) > 0, то согласно формуле замены переменных в интеграле Лебега (илиРимана)∫∫∗φω=ω.Vφ(V )§ 3. Дифференциальные формы на многообразиях.Определение. Пусть M есть k-мерное многообразие в Rn . Дифференциальной формойω степени p на многообразии M называется отображение, которое каждой точке x ∈ Mставит в соответствие форму ωx ∈ Λp (Tx M ).•Сумма и внешнее произведение форм на многообразии определяются обычным образом.Определим операцию внешнего дифференцирования.
Пусть a ∈ M и ψ — параметризациямногообразия M в некоторой окрестности U ⊂ Rn точки a. То есть, существует областьW ⊂ Rk , такая, что M ∩ U = ψ(W ) и rank ψ ′ = k в W . Переменные в Rk обозначим черезt = (t1 , . . . , tk ).Определение. Дифференциальная форма α степени p + 1, определенная на M ∩ U , называется внешним дифференциалом формы ω степени p, если ψ ∗ α = d(ψ ∗ ω) в W .•Определение. Скажем, что p-форма ω на M принадлежит классу C m , если ψ ∗ ω — формакласса C m . Для этого необходимо, чтобы многообразие M было класса C m+1 , т.е. ψ былоотображением класса C m+1 .•Определение. Пусть ψ — определенная выше параметризация (одна карта) k-мерногомногообразия M в U .
Если ω — дифференциальная k-форма на M ∩ U , то положим∫∫ω=ψ ∗ ω.•ψ(W )WВведем понятие интеграла по всему многообразию.Определение. Носителем функции f : Rn → R называется замыкание множества {x ∈Rn | f (x) ̸= 0} в Rn . Обозначается носитель через supp f .•Определение.
Функция f : Rn → R называется финитной, если supp f есть компактноемножество в Rn .•Теорема (О разбиении единицы). Пусть K — компакт в Rn и {U1 , . . . , Um } есть его открытое покрытие (т.е., все Ui — открытые множества в Rn и K ⊂ ∪mi=1 Ui ). Существует наборбесконечно дифференцируемых (класса C ∞ ) функций f1 , . . . , fℓ : Rn → [0, 1], таких, что181) для каждого i ∈ {1, . . . , ℓ} существует j ∈ {1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
