1612044667-0bab82c537debd90545f329194a9c9ca (533730), страница 3
Текст из файла (страница 3)
МножествоОпределение. Карты (Uα , ψα ) и (Uβ , ψβ ) имеют согласованные ориентации, если либоUα ∩ Uβ = ∅, либо det (ψα′ )−1 ◦ ψβ′ > 0 в Uα ∩ Uβ . Атлас называется согласованным, если в нем любые две карты имеют согласованные ориентации. Многообразие называетсяориентируемым, если на нем существует согласованный атлас.•Определение. Множество M ⊂ Rn называется p-мерным многообразием с краем, еслидля любой точки a ∈ M реализуется одна из следующих возможностей:1) существует диффеоморфизм φ : U → V некоторой окрестности U ⊂ Rn точки a нанекоторую окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, что φ(a) = 0 и φ(M ∩ U ) = {x ∈ V | xp+1 =. . . = xn = 0};2) существует диффеоморфизм φ : U → V некоторой окрестности U ⊂ Rn точки a нанекоторую окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, что φ(a) = 0 и φ(M ∩ U ) = {x ∈ V | xp >0, xp+1 = .
. . = xn = 0},причем множество точек, для которых реализуется вторая возможность (это множествоназывается краем многообразия), не пусто.•§ 4. Неявно заданные многообразия.Обозначим через M множество решений системы уравнений f1 (x1 , . . . , xn ) = 0,...fk (x1 , . . . , xn ) = 0,где k < n. Обозначим x = (x1 , . . . , xn ), f = (f1 , . . . , fk ).Теорема (О неявно заданном многообразии). Если M ̸= ∅, rank( ∂f )= k для любой∂x x=aточки a ∈ M и f является отображением класса C , то M есть (n − k)-мерное многообразие класса C m в Rn .•mТеорема (О касательном пространстве к неявно заданному многообразию).
Пусть M —неявно заданное многообразие и выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда Ta M ={x ∈ Rn | f ′ (a)⟨x⟩ = 0}.•Определение. Пусть M — (n − k)-мерное неявно заданное многообразие класса C 1 вRn и F : Rn → R — функция класса C 1 . Мы скажем, что F достигает в точке a ∈ Mсвоего локального минимума на многообразии M (локального условного минимума), еслисуществует окрестность U точки a, такая, что F (a) 6 F (x) для любого x ∈ U ∩ M .•Если в этом определении F (a) > F (x) для любого x ∈ U ∩ M , то говорят о локальноммаксимуме на многообразии M или о локальном условном максимуме. Если точка a является точкой локального условного минимума или максимума, то она называется точкойлокального условного экстремума.Теорема (Правило множителей Лагранжа). Пусть M — (n − k)-мерное неявно заданноемногообразие класса C 1 в Rn и F : Rn → R — функция класса C 1 .
Если функция F достигает в точке a ∈ M своего локального экстремума на многообразии M , то существуют10числа λ1 , . . . , λk , среди которых есть отличные от нуля, такие, что′F (a) =k∑λi fi′ (a).•i=1Введем функцию Лагранжа: L(λ, x) = F (x) −∑ki=1λi fi (x).Теорема (Достаточное условие локального условного минимума). Пусть F, fi ∈ C 2 (Rn ),i = 1, . .
. , k, x0 ∈ M и для некоторого λ = (λ1 , . . . , λk ) функция L удовлетворяет следующим условиям:1.∂L(λ, x0 ) = 0;∂x2.∂ 2L(λ, x0 ) является положительно определенным оператором на Tx0 M , т.е.,∂x2∂2L(λ, x0 )⟨h, h⟩ > α|h|2∂x2для некоторого α > 0 и для всех h ∈ Tx0 M .Тогда x0 — точка локального минимума функции F на многообразии M .•Глава. Дифференциальные формы.§ 1. Полилинейные формы.Пусть X есть линейное пространство над полем вещественных чисел R. То есть, по определению, если x ∈ X и y ∈ X, то (λx+µy) ∈ X для всех λ, µ ∈ R. Линейные пространствачасто называют векторными, а их элементы — векторами.∑Выражение nk=1 αk xk , где αk ∈ R и xk ∈ X, называется линейной комбинацией векторовx1 ,∑.
. . , xn . Векторы x1 , . . . , xn пространства X называются линейно независимыми, еслииз nk=1 αk xk = 0 следует, что все αk = 0. Здесь 0 есть нулевой вектор в X.Семейство {e1 , . . . , en } векторов линейного пространства X называется базисом,∑если каждый вектор x ∈ X однозначно представим в виде линейной комбинации: x = nk=1 αk ek ,αk ∈ R. Коэффициенты αk называются координатами x относительно базиса {ek }.
Векторы базиса являются линейно независимыми.Множество Y называется линейным подпространством пространства X, если Y есть линейное пространство и Y ⊂ X. Линейной оболочкой семейства векторов пространстваX называется множество их всевозможных линейных комбинаций. Легко проверить, чтолинейная оболочка является линейным подпространством в X. Линейную оболочку элементов x1 , . . . , xk называют подпространством, порождённым векторами x1 , . . . ,xk (илинатянутым на эти векторы).Линейное пространство называется конечномерным, если оно является линейной оболочкой конечного числа векторов. Размерностью линейного пространства X (обозначаетсяdim X) называется число векторов в его базисе.Пусть X — конечномерное линейное пространство. Обозначим через X p линейное пространство, элементы которого суть упорядоченные наборы (x1 , .
. . , xp ).11Определение. Отображение f : X p → R называется полилинейной формой степени p(или p-линейной формой), еслиf (x1 , . . . , αx′k + βx′′k , . . . , xp ) = αf (x1 , . . . , x′k , . . . , xp ) + βf (x1 , . . . , x′′k , . . . , xp )для каждого k = 1, . . . , p и для всех α, β ∈ R.•Полилинейные формы степени 1 будем называть линейными формами.Для двух полилинейных форм f и g произвольных степеней k и m соответственно определим полилинейную форму f ⊗g степени k +m, называемую их тензорным произведением:(f ⊗ g)(x1 , . . .
, xk , xk+1 , . . . , xk+m ) = f (x1 , . . . , xk ) g(xk+1 , . . . , xk+m ).Для полилинейных форм f , g и h произвольных степеней справедливы следующие соотношения:(λf ) ⊗ g = λ(f ⊗ g) для всех λ ∈ R,(f + g) ⊗ h = f ⊗ h + g ⊗ h,f ⊗ (g + h) = f ⊗ g + f ⊗ h,(f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h).Последнее свойство позволяет нам не заботиться о расстановке скобок в тензорных произведениях: (f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h) = f ⊗ g ⊗ h.Предположим, что dim X = n и {e1 , . .
. , en } — какой-либо базис в X. Поставим в соответствие этому базису n линейных форм π k , k = 1, . . . , n, определённых следующим образом:π k (x) = xk ,где xk есть k-я координата вектора x относительно базиса {e1 , . . . , en }, то есть, x =∑nkkkkk=1 x ek . Заметим, что π (em ) = δm , где δm — символ Кронекера.Лемма (О представлении полилинейных форм). Для каждой определённой на X полилинейной формы f степени p справедливо представлениеf=n∑k1 =1...n∑ak1 ... kp π k1 ⊗ .
. . ⊗ π kp ,kp =1где ak1 ... kp = f (ek1 , . . . , ekp ). Формы вида π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp , где каждый индекс ki пробегаетзначения от 1 до n, образуют базис в пространстве полилинейных форм степени p.•Полилинейная форма f степени p > 2 называется кососимметрической, если она меняетзнак при перестановке двух её произвольных аргументов:f (x1 , . . . , xk , . . . , xm , .
. . , xp ) = −f (x1 , . . . , xm , . . . , xk , . . . , xp ).•Множество всех кососимметрических p-линейных форм на X образует линейное пространство, которое мы будем обозначать Λp (X). Если p = 1, то определим Λ1 (X) как линейноепространство всех линейных форм на X. Если p = 0, то мы положим Λ0 (X) = R. Длякраткости мы будем называть кососимметрические полилинейные формы степени p (тоесть, элементы пространства Λp (X)) просто p-формами или внешними p-формами.12Лемма. Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2.
Если xk = xm для пары различных индексов k и m, тоf (x1 , . . . , xp ) = 0.•Следствие. Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Если векторы x1 , . . . , xp пространства X линейнозависимы, то f (x1 , . . . , xp ) = 0.•Следствие. Если f ∈ Λp (X) и p > dim X, то f = 0, то есть, f (x1 , . . . , xp ) = 0 для всехнаборов векторов x1 , . . . , xp пространства X.•Пусть Np = {1, 2, . . . , p}. Каждое взаимно-однозначное отображение множества Np в себяназывается перестановкой.
Обозначим через Pp множество всех перестановок в Np . Перестановка σ ∈ Pp называется транспозицией, если в Np существует пара различных чиселk и m, таких, что σ(k) = m, σ(m) = k и σ(ℓ) = ℓ для любого ℓ, отличного от k и m.Всякая перестановка из Pp может быть представлена как суперпозиция конечного числатранспозиций. При этом чётность числа транспозиций в этом представлении не зависит отвыбора представления. Назовём сигнатурой перестановки σ число ε(σ), равное +1, еслиσ разлагается в суперпозицию чётного числа транспозиций, и −1, если — нечётного.Теорема.
Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Для любой перестановки σ ∈ Pp имеет место равенствоf (xσ(1) , . . . , xσ(p) ) = ε(σ) f (x1 , . . . , xp ).•Введём операцию альтернирования Ap , которая каждой полилинейной форме f степениp > 2 ставит в соответствие кососимметрическую p-форму Ap f :(Ap f )(x1 , . . . , xp ) =1 ∑ε(σ)f (xσ(1) , . . . , xσ(p) ).p ! σ∈PpСумма здесь берётся по всем перестановкам из Pp .Если f ∈ Λp (X), то Ap f = f . Операция альтернирования линейна, то есть,Ap (f + g) = Ap f + Ap g,Ap (λf ) = λ Ap fдля любого λ ∈ R и всех полилинейных форм f и g степени p.
Из этих свойств операцииAp следует, чтоnn∑∑...ak1 ... kp Ap (π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp )Ap f =k1 =1kp =1для любой полилинейной формы f степени p. Кроме того, для линейных форм f 1 , . . . , f p 1f (x1 ) . . . f p (x1 )1 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .Ap (f 1 ⊗ . . . ⊗ f p )(x1 , . . . , xp ) =p! 1f (xp ) . . . f p (xp )Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Каждая форма f ∈ Λp (X) можетбыть однозначно представлена в таком виде:f=∑ak1 ... kp π k1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
