Norenkov.Osnovy.Avtomatizirovannogo.Proektirovania.2002 (525024), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Эта система и является итоговой ММ в узловом модифицированном методе.Замечания. 1 . Вектор индуктивных токов нельзя исключить из итоговой системы уравнений, так как его значения входят в вектор AL на последующих шагах численного интегрирования. 2. Источники тока, зависящие от напряжений, относятся к неособым ветвям,их проводимости Э1ист/5и входят в матрицу Gi5 которая при этом может иметь недиагональный вид. 3.
Источники напряжения, зависящие от напряжений, в приведенных вышевыражениях не учитываются, при их наличии нужно в матрице М выделить столбец дляэтих ветвей, что приведет к появлению дополнительных слагаемых в правых частях уравнений (3.20)-(3.22).3.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнеВыбор методов анализа во временной областиАнализ процессов в проектируемых объектах можно проводить во временной и частотной областях. Анализ во временной области (динамический анализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства объекта, он является важной процедурой при исследовании каклинейных, так и нелинейных систем. Анализ в частотной области более специфичен, его применяют, как правило, к объектам с линеаризуемыми математическими моделями при исследовании колебательных стационарных процессов, анализе устойчивости, расчете искажений информации, представляемойспектральными составляющими сигналов, и т.
п.1003.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнеМетоды анализа во временной области, используемые в универсальных программах анализа в САПР, — это численные методы интегрирования системобыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ):Другими словами, это методы алгебраизации дифференциальных уравнений. Формулы интегрирования СОДУ могут входить в математическую модель независимо от компонентных уравнений, как это имеет место в (3.
1 5), илибыть интегрированными в математические модели компонентов, как это выполнено в узловом методе.От выбора метода решения СОДУ существенно зависят такие характеристики анализа, как точность и вычислительная эффективность. Эти характеристики определяются прежде всего типом и порядком выбранного метода интегрирования СОДУ.Применяют два типа методов интегрирования — явные (иначе экстраполяционные, или методы, основанные на формулах интегрирования вперед) и неявные (интерполяционные, основанные на формулах интегрирования назад). Различия между ними удобно показать на примере простейших методов первогопорядка — методов Эйлера.Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулузамены производных в точке tn:Здесь индекс равен номеру шага интегрирования; hn = tn + , - tn — размер шагаинтегрирования (обычно hn называют просто шагом интегрирования).В формуле неявного метода Эйлера использовано дифференцированиеназад:</V/A| = ( пV - Vп-1,)/A,1ц' п'vгае Л„ = *„-*„_,.Выполним сравнительный анализ явных и неявных методов на примере модельной задачи:dVldt = AV(3.23)при ненулевых начальных условиях V0 Ф О и при использовании методов Эйлера с постоянным шагом h.
Здесь А — постоянная матрица; V — вектор фазовыхпеременных.При алгебраизации явным методом имеемили1013. Математическое обеспечение анализа проектных решенийгде Е — единичная матрица. Вектор V n + 1 можно выразить через вектор начальных условий V0:V_ +1 = (E + /zA)"V 0 .(3.24)ОбозначимВ = Е + НА(3.25)и применим преобразование подобия для матрицы В:В = T-'diag^JT.Здесь Т - преобразующая матрица; diag{A,B } - диагональная матрица с собственными значениями А,в матрицы В на диагонали.
Нетрудно видеть, чтоИз линейной алгебры известно, что собственные значения матриц, связанныхарифметическими операциями, оказываются связанными такими же преобразованиями. Поэтому из (3.25) следует:Точное решение модельной задачи (3 .23) V( /) —> 0 при / —> °о, следовательно,условием устойчивости процесса численного решения можно считатьУ„+1 ->Оприи->оо,откуда последовательно получаем(Е + /zA)" V 0 ->• О,так как V 0 * 0, то (Е + ЛА)" -> 0, поскольку Т ^ 0, то Я.£ -» 0 и условие устойчивости-К |1 + ЛХ А у | < 1.(3.26)Известно, что для физически устойчивых систем собственные значенияматрицы коэффициентов в ММС оказываются отрицательными.
Если к томуже все А.А действительные величины (характер процессов в ММС с моделью(3.23) апериодический), то естественно определить постоянные времени физической системы как^-^А,,и условие (3.26) конкретизируется следующим образом-1<|1-А/т|<1шшО<А<2ттш,(3.27)где т — минимальная постоянная времени. Если использовать явные методыболее высокого порядка, то может увеличиться коэффициент перед тшт в (3 .27),но это принципиально не меняет оценки явных методов.1023 3 Методы и алгоритмы анализа на макроуровнеЕсли нарушено условие (3.27), то происходит потеря устойчивости вычислений, а это означает, что в решении задачи возникают ложные колебания сувеличивающейся от шага к шагу амплитудой и быстрым аварийным остановомЭВМ вследствие переполнения разрядной сетки.
Конечно, ни о какой адекватности решения говорить не приходится.Для соблюдения (3.27) применяют те или иные алгоритмы автоматическоговыбора шага. Отметим, что в сложной модели расчет ттш для непосредственного выбора шага по (3.27) слишком трудоемок, кроме того, однократный расчетттш мало эффективен, так как в нелинейных моделях тш1п может изменяться отшага к шагу.Условие (3.27) накладывает жесткие ограничения на шаг интегрирования.
Врезультате вычислительная эффективность явных методов резко падает с ухудшением обусловленности ММС. Действительно, длительность Т^ моделируемого процесса должна быть соизмеримой с временем успокоения системыпосле возбуждающего воздействия, т. е. соизмерима с максимальной постоянной времени ттах. Требуемое число шагов интегрирования равноОтношение Ч = тгоах /ттт называют разбросом постоянных времени иличислом обусловленности.
Чем больше это число, тем хуже обусловленность.Попытки применения явных методов к любым ММС чаще всего приводят кнедопустимо низкой вычислительной эффективности, поскольку в реальныхмоделях Ч > 105 — обычная ситуация. Поэтому в настоящее время в универсальных программах анализа явные методы решения СОДУ не применяют.Аналогичный анализ числовой устойчивости неявных методов дает следующие результаты. Вместо (3.24) имееми условие числовой устойчивости принимает видпри любых h > 0. Следовательно, неявный метод Эйлера обладает так называемой А-устойчивостъю.П р и м е ч а н и е .
Метод интегрирования СОДУ называют Л-устойчивым, еслипогрешность интегрирования остается ограниченной при любом шаге h > 0.Применение ^-устойчивых методов позволяет существенно уменьшить требуемые числа шагов Ш. В этих методах шаг выбирается автоматически не изусловий устойчивости, а только из соображений точности решения.Выбор порядка метода решения СОДУ довольно прост; во-первых, болеевысокий порядок обеспечивает более высокую точность, во-вторых, среди неявных разностных методов кроме метода Эйлера ^-устойчивы также методывторого порядка и среди них — метод трапеций. Поэтому преобладающее распространение в программах анализа получили методы второго порядка — модификации метода трапеций.1033. Математическое обеспечение анализа проектных решенийАлгоритм численного интегрирования СОДУОдна из удачных реализаций неявного метода второго порядка, которую можно считать модификацией метода трапеций, основана на комбинированномиспользовании явной и неявной формул Эйлера.
Рассмотрим вопрос, почемутакое комбинирование снижает погрешность и приводит к повышению порядкаметода.Предварительно отметим, что в методах р-то порядка локальная погрешность, т. е. погрешность, допущенная на одном п-ы шаге интегрирования, оценивается старшим из отбрасываемых членовв разложении решения V( t) в ряд Тейлора, где с — постоянный коэффициент, зависящий от метода; |V (/>+1) (t)| — норма вектора (р + 1) — х производных V(/),которая оценивается с помощью конечно-разностной аппроксимации; т — значение времени / внутри шага.Если и-й шаг интегрирования в комбинированном методе был неявным, т. е.выполненным по неявной формуле, то следующий шаг с тем же значением hдолжен быть явным.
Используя разложение решения V(f) в ряд Тейлора в окрестностях точки tn+l, получаем для (п + 1)-го неявного шага+ (d2V/dt 2 )AV2! - (d3 V/dt 3)#/3! + ...(3.28)и для (и + 2)-го явного шагаV(/;+2) = Vfc + 1) + (dVldt)ht + (d2\/dt2)h2x/2\+ (d3V/dt3)h3x/3\+ ..., (3.29)где hn и h — величины неявного и явного шагов, а значения производных относятся к моменту tn+ г . Подставляя (3.28) в (3.29), при h = Ля = /?н получаемV(tn +2) = V(tn) + 2(dV/dt)h + 2(d3V/dt3)h3/3\+ ...,т. е.
погрешности, обусловливаемые квадратичными членами в (3.28) и (3.29),взаимно компенсируются и старшим из отбрасываемых членов становится членс h3. Следовательно, изложенное комбинирование неявной и явной формулЭйлера дает метод интегрирования второго порядка.Неявные методы и, в частности, рассмотренный комбинированный методцелесообразно использовать только при переменной величине шага. Действительно, при заметных скоростях изменения фазовых переменных погрешностьостается в допустимых пределах только при малых шагах, в квазистатическихрежимах шаг может быть во много раз больше.Алгоритмы автоматического выбора шага основаны на сравнении допущенной и допустимой локальных погрешностей. Например, вводится некоторыйдиапазон (коридор) погрешностей d, в пределах которого шаг сохраняется неизменным.
Если же допущенная погрешность превышает верхнюю границудиапазона, то шаг уменьшается, если же выходит за нижнюю границу, то шагувеличивается.1043.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнеМетоды решения систем нелинейныхалгебраических уравненийВычисления при решении СОДУ состоят из нескольких вложенных один вдругой циклических процессов. Внешний цикл — это цикл пошагового численногоинтегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель анализируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточный цикл — итерационный цикл решения системы нелинейных алгебраическихуравнений (СИЛУ). Параметр цикла — номер итерации.
Во внутреннем циклерешается СЛАУ, например, при применении узлового метода формированияММС такой системой является (3.19). Поэтому в математическое обеспечениеанализа на макроуровне входят методы решения СНАУ и СЛАУ.Для решения СНАУ можно применять прямые итерационные методы, такие, как метод простой итерации или метод Зейделя, но в современных программах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
