Norenkov.Osnovy.Avtomatizirovannogo.Proektirovania.2002 (525024), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Собственно, модель (3.19) получена именно всоответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньютона — высокая скорость сходимости.Представим СНАУ в видеF(X) = 0.(3.30)Разлагая F(X) в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки \k , получаемF(X) = F(Xt) + (SF/dX)(X - Xt) + (X - Xt)T(S2F/dX2)(X - XJ/2 + ... = 0.Сохраняя только линейные члены, имеем СЛАУ с неизвестным вектором X:,(3.31)где Я^ = (5F/3X)|t. Решение системы (3.31) дает очередное приближение ккорню системы (3.30), которое удобно обозначить X t + ,.Вычислительный процесс стартует с начального приближения Х0 и в случаесходимости итераций заканчивается, когда погрешность, оцениваемая какстанет меньше допустимой погрешности е.Однако метод Ньютона не всегда приводит к сходящимся итерациям. Условия сходимости метода Ньютона выражаются довольно сложно, но существуетлегко используемый подход к улучшению сходимости.

Это близость начального приближения к искомому корню СНАУ. Использование этого фактора привело к появлению метода решения СНАУ, называемого продолжением решения по параметру.1053. Математическое обеспечение анализа проектных решенийВ методе продолжения решения по параметру в ММС выделяется некоторый параметр а, такой, что при а = 0 корень Х а = 0 системы (3.30) известен, aпри увеличении а от 0 до его истинного значения составляющие вектора Xплавно изменяются от Х а = 0 до истинного значения корня.

Тогда задача разбивается на ряд подзадач, последовательно решаемых при меняющихся значенияха, и при достаточно малом шаге Да изменения а условия сходимости выполняются.В качестве параметра а можно выбрать некоторый внешний параметр, например, при анализе электронных схем им может быть напряжение источникапитания.

Но на практике при интегрировании СОДУ в качестве а выбираютшаг интегрирования h. Очевидно, что при h = О корень СНАУ равен значениювектора неизвестных на предыдущем шаге. Регулирование значений h возлагается на алгоритм автоматического выбора шага.В этих условиях очевидна целесообразность представления математическихмоделей для анализа статических состояний в виде СОДУ, как и для анализадинамических режимов.Методы решения систем линейныхалгебраических уравненийВ программах анализа в САПР для решения СЛАУ чаще всего применяютметод Гаусса или его разновидности. Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных из системы уравнений.

При исключении k-w. неизвестной xk из системы уравненийАХ = В(3.32)все коэффициенты at] при / > k и у > k пересчитывают по формуле<*„ '- =a,j-alkakjlakk.(3.33)Исключение п - 1 неизвестных, где п — порядок системы (3.32), называют прямым ходом, в процессе которого матрица коэффициентов приобретает треугольный вид. При обратном ходе последовательно вычисляют неизвестные, начиная с х„.В общем случае число арифметических операций для решения (3.32) поГауссу пропорционально п3.

Это приводит к значительным затратам машинного времени, поскольку СЛАУ решается многократно в процессе одновариантного анализа, и существенно ограничивает сложность анализируемых объектов. Можно заметно повысить вычислительную эффективность анализа, еслииспользовать характерное практически для всех приложений свойство высокойразреженности матрицы А в модели (3.32).Матрицу называют разреженной, если большинство ее элементов равно нулю.

Эффективность обработки разреженных матриц велика потому, чтоне требуются, во-первых, пересчет по формуле (3.33), если хотя бы один изэлементов alk или akj оказывается нулевым, во-вторых, затраты памяти для1063.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнехранения нулевых элементов. Хотя алгоритмы обработки разреженных матрицболее сложны, но в результате удается получить затраты машинного времени,близкие к линейным, например, затраты оказываются пропорциональными и1-2.При использовании методов разреженных матриц нужно учитывать зависимость вычислительной эффективности от того, как представлена матрица коэффициентов А, точнее, от того, в каком порядке записаны ее строки и столбцы.Для пояснения этой зависимости рассмотрим два варианта представленияодной и той же СЛАУ.

В первом случае система уравнений имеет вид«11*1«14*4При прямом ходе в соответствии с формулой (3.33) все элементы матрицы,которые первоначально были нулевыми, становятся ненулевыми, а матрица оказывается полностью насыщенной. Элементы, становящиеся ненулевыми впроцессе гауссовых исключений, называют вторичными ненулями. Вторичныененули в табл. 3.3 отмечены знаком « . ».Во втором случае меняются местами первое и пятое уравнения.

Матрицыкоэффициентов имеют вид табл. 3.3 и 3.4, где ненулевые элементы представлены знаком « + ». Теперь вторичные ненули не появляются, матрица остаетсяразреженной, высокая вычислительная эффективность сохраняется.Таким образом, методы разреженных матриц должны включать в себя способы оптимального упорядочения строк и столбцов матриц. Используютнесколько критериев оптимальности упорядочения.

Простейшим из них является критерий расположения строк в порядке увеличения числа первичных ненулей, более сложные критерии учитывают не только первичные ненули, но ипоявляющиеся вторичные ненули.Методом разреженных матриц называют метод решения СЛАУ на основеметода Гаусса с учетом разреженности (первичной и вторичной) матрицы коэффициентов.Т а б л и ц а 3.3Т а б л и ц а 3.41073. Математическое обеспечение анализа проектных решенийМетод разреженных матриц можно реализовать путем интерпретации и компиляции.

В обоих случаях создаются массивы ненулевых коэффициентов матрицы (с учетом вторичных ненулей) и массивы координат этих ненулевых элементов.При этом выигрыш в затратах памяти довольно значителен. Так, при матрице умеренного размера (200 х 200) без учета разреженности потребуется320 Кбайт. Если же взять характерное значение 9 для среднего числа ненулейв одной строке, то для коэффициентов и указателей координат потребуется неболее 28 Кбайт.В случае интерпретации моделирующая программа для каждой операциив соответствии с (3.33) при a,k Ф 0 и akj * 0 находит, используя указатели,нужные коэффициенты и выполняет арифметические операции по (3.33).

Поскольку СЛАУ в процессе анализа решается многократно, то и операции поиска нужных коэффициентов также повторяются многократно, на что, естественно, тратится машинное время.Способ компиляции более экономичен по затратам времени, но уступаетспособу интерпретации по затратам памяти. При компиляции поиск нужныхдля (3.33) коэффициентов выполняется однократно перед численным решением задачи. Вместо непосредственного выполнения арифметических операцийдля каждой из них компилируется команда с найденными адресами ненулевыхкоэффициентов. Такие команды образуют рабочую программу решения СЛАУ,которая и будет решаться многократно.

Очевидно, что теперь в рабочей программе будет выполняться минимально необходимое число арифметическихопераций.Анализ в частотной областиАнализ в частотной области выполняется по отношению к линеаризованным моделям объектов. Для алгебраизации линейных СОДУ справедливо применение преобразования Фурье, в котором оператор d/dt заменяется операторому'со.Характерной особенностью получающейся СЛАУ является комплексныйхарактер матрицы коэффициентов, что в некоторой степени усложняет процедуру решения, но не создает принципиальных трудностей. При решении задаютряд частот ЮА. Для каждой частоты решают СЛАУ и определяют действительные и мнимые части искомых фазовых переменных. По ним находят амплитудуи фазовый угол каждой спектральной составляющей, что и позволяет построитьамплитудно-частотные, фазочастотные характеристики, найти собственныечастоты колебательной системы и т.

п.Многовариантный анализОдновариантный анализ позволяет получить информацию о состоянии и поведении проектируемого объекта в одной точке пространства внутренних Xи внешних Q параметров. Очевидно, что для оценки свойств проектируемогообъекта этого недостаточно. Нужно выполнять многовариантный анализ,1083.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнет. е.

исследовать поведение объекта, в ряде точек упомянутого пространства,которое для краткости будем далее называть пространством аргументов.Чаще всего многовариантный анализ в САПР осуществляется в интерактивном режиме, когда разработчик неоднократно меняет в математическоймодели те или иные параметры из множеств X и Q, выполняет одновариантный анализ и фиксирует полученные значения выходных параметров. Подобный многовариантный анализ позволяет оценить области работоспособности, степень выполнения условий работоспособности, а следовательно, степеньвыполнения ТЗ на проектирование, разумность принимаемых промежуточныхрешений по изменению проекта и т.

п.П р и м е ч а н и е . Областью работоспособности называют область в пространствеаргументов, в пределах которой выполняются все заданные условия работоспособности, т. е. значения^сех выходных параметров находятся в допустимых по ТЗ пределах.Как упомянуто в гл. 1, среди процедур многовариантного анализа можновыделить типовые, выполняемые по заранее составленным программам. К таким процедурам относятся анализ чувствительности и статистический анализ.Наиболее просто анализ чувствительности реализуется путем численного дифференцирования. Пусть анализ проводится в некоторой точке Хном пространства аргументов, в которой предварительно проведен одновариантныйанализ и найдены значения выходных параметров yj ном. Выделяется TV параметров-аргументов xt (из числа элементов векторов X и Q), влияние которыхна выходные параметры подлежит оценить, поочередно каждый из них получает приращение AJC,, выполняется одновариантный анализ, фиксируются значения выходных параметров у и подсчитываются значения абсолютныхА!,= (У, ~.У,но„)/А.х,и относительных коэффициентов чувствительностиjtJ II НОМ 'У]НОМ*Такой метод численного дифференцирования называют методом приращений.

Характеристики

Список файлов книги