Norenkov.Osnovy.Avtomatizirovannogo.Proektirovania.2002 (525024), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Примеры шаблонов для МКРМетод конечных элементов основан на аппроксимации не производных, асамого решения F(z). Но поскольку оно не известно, то аппроксимация выполняется выражениями с неопределенными коэффициентами qtTU(z.) = Q <p(z),T(3.34)тгде Q = (#,, q2, ..., <7„) — вектор-строка неопределенных коэффициентов,cp(z) — вектор-столбец координатных (иначе опорных) функций, заданныхтак, что удовлетворяются граничные условия.При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных элементов, а с учетом их малых размеров можно говорить об использовании сравнительно простых аппроксимирующих выражений U(z) (например, ф (z) — полиномы низких степеней). В результате подстановки U(z) в исходноедифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования получаем систему невязокA(z, Q) = LU(z) -/(z) = I(QT9(z)) -f(z),(3.35)из которой требуется найти вектор Q.Эту задачу (определение Q) решают одним из следующих методов:1) метод коллокаций, в котором, используя (3.35), формируют п уравненийс неизвестным вектором Q:где п — число неопределенных коэффициентов;2) метод наименьших квадратов, основанный на минимизации квадратов невязок (3.35) в п точках или в среднем по рассматриваемой области;3) метод Галеркина, с помощью которого минимизируются в среднем пообласти невязки со специально задаваемыми весовыми коэффициентами.Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения дляанализа прочности объектов.
Для этой задачи можно использовать рассмотренный подход, т. е. выполнить алгебраизацию исходного уравнения упругости(уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказался подход,основанный на вариационных принципах механики.1163.4. Математическое обеспечение анализа на микроуровнеМКЭ в программах анализа механической прочностиВ качестве исходного положения принимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумомпотенциальной энергии.Потенциальная энергия П определяется как разность энергии Э деформациитела и работы А массовых и приложенных поверхностных сил.В свою очередь,Э = 0,5 I 8 T arfR,(3.36)Rттгде е = (en, s22, s33, s)2, 813, 823) - вектор-строка деформаций; ст = (сти, ст22,СУЗЗ, ар, а,3, а?3) — вектор-столбец напряжений; R - рассматриваемая область.Деформации stj можно выразить через перемещенияetj= 0,5(5)^/5* +dW}/dx),(3.37)где Wt — перемещение вдоль оси *, или в матричной формее = 0,5SW,(3.38)где S — очевидный из (3.37) оператор дифференцирования; W = (w , w , \v ).Деформации и напряжения связаны между собой с помощью матрицы D,характеризующей упругие свойства среды, которая представлена в табл.
3.5:a = De.(3.39)Коэффициенты Я и ц , фигурирующие в таблице, называют постоянными Ламе,они выражают упругие свойства материала детали.Подставляя (3.39) и (3.38) в (3.36), получаем3= 0,5j\VTSTDSWdR.RРешением задачи должно быть поле перемещений W(X), где X = (л,, xz, х3).В соответствии с МКЭ это решение аппроксимируется с помощью функций(3.34), которые применительно к совокупности конечных элементов представим в матричной форме:U(X) = NQ,где N — матрица координатных функций; Q — вектор неопределенных коэффициентов.Т а б л и ц а 3.5000Я+2цяк000Я+2цЯяX000Я000Я,+ 2ц00002ц00002ц00002ц1173.
Математическое обеспечение анализа проектных решенийЗаменяя W(X) на U(X), получаемЭ = 0,5|QTNTSTDSNQrfR=0,5QT( J(SN)TDSNrfR)Q=0,5QTKQ,RR(3.40)где К = J(SN)TDSNc?R — матрица жесткости.RВ соответствии с принципом потенциальной энергии в состоянии равновесияимеемдП/dQ = дЭ/dQ - дА/dQ = Оили, дифференцируя (3.40), находимKQ = В,(3.41)где В = 9A/5Q — вектор нагрузок. Таким образом, задача анализа прочности,согласно МКЭ, сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений (3.41).Матрица жесткости также оказывается сильно разреженной, поэтому длярешения (3.41) применяют методы разреженных матриц.П р и м е ч а н и е .
Одним из широко известных методов разреженных матриц являетсяметод прогонки, используемый в случае трехдиагональных матриц коэффициентов всистеме алгебраических уравнений.3.5. Математическое обеспечение анализана функционально-логическом уровнеМоделирование и анализ аналоговых устройствНа функционально-логическом уровне исследуют устройства, в качествеэлементов которых принимают достаточно сложные узлы и блоки, считавшиеся системами на макроуровне.
Поэтому необходимо упростить представлениемоделей этих узлов и блоков по сравнению с их представлением на макроуровне. Другими словами, вместо полных моделей узлов и блоков нужно использовать их макромодели.Вместо двух типов фазовых переменных в моделях функционально-логического уровня фигурируют переменные одного типа, называемые сигналами.Физический смысл сигнала, т. е. его отнесение к фазовым переменным типапотока или типа потенциала, конкретизируют в каждом случае исходя из особенностей задачи.Основой моделирования аналоговых устройств на функционально-логическом уровне является использование аппарата передаточных функций.
При этоммодель каждого элемента представляют в виде уравнения вход-выход, т. е. ввиде,(3.42)где Р.ых и F,x - сигналы на выходе и входе узла соответственно. Если узелимеет более чем один вход и один выход, то в (3.42) скаляры Р,ыхи FBXстановятся векторами.1183 5 Математическое обеспечение анализа на функционально-логическом уровнеОднако известно, что представление модели в виде (3.42) возможно, только если узел является безынерционным, т. е. в полной модели узла не фигурируют производные.
Следовательно, для получения (3.42) в общем случае требуется предварительная алгебраизация полной модели. Такую алгебраизациювыполняют с помощью интегральных преобразований, например с помощьюпреобразования Лапласа, переходя из временной области в пространство комплексной переменной р. Тогда в моделях типа (3.42) имеют место не оригиналы, а изображения сигналов У,ьк(р) и У„(р), сами же модели реальных блоковстараются по возможности максимально упростить и представить моделямитиповых блоков (звеньев) из числа заранее разработанных библиотечныхмоделей.
Обычно модели звеньев имеют видгде h(p)- передаточная функция звена.В случае применения преобразования Лапласа появляются ограничения наиспользование нелинейных моделей, а именно в моделях не должно быть нелинейных инерционных элементов.Другое упрощающее допущение при моделировании на функционально-логическом уровне — неучет влияния нагрузки на характеристики блоков. Действительно, подключение к выходу блока некоторого другого узла не влияет намодель блока (3.42).Собственно получение ММС из ММЭ оказывается вследствие принятыхдопущений значительно проще, чем на макроуровне: ММС есть совокупностьММЭ, в которых отождествлены сигналы на соединенных входах и выходахэлементов.
Эта ММС представляет собой систему алгебраических уравнений.Получение ММС проиллюстрируем простым примером (рис. 3.12), где показана система из трех блоков с передаточными функциями ht(p), h2(p) иh3(p). ММС имеет видилигде ад = h}(p)h2(p)/(l-Рис. 3.12. Пример схемы из трех блоков1193 Математическое обеспечение анализа проектных решенийТаким образом, анализ сводится к следующим операциям:1) заданную схему устройства представляют совокупностью звеньев, и еслисхема не полностью покрывается типовыми звеньями, то разрабатывают оригинальные модели;2) формируют ММС из моделей звеньев;3) применяют прямое преобразование Лапласа к входным сигналам;4) решают систему уравнений ММС и находят изображения выходных сигналов;5) с помощью обратного преобразования Лапласа возвращаются во временную область из области комплексной переменной р.Математические модели дискретных устройствАнализ дискретных устройств на функционально-логическом уровне требуется прежде всего при проектировании устройств вычислительной техники ицифровой автоматики.
Здесь дополнительно к допущениям, принимаемым прианализе аналоговых устройств, используют дискретизацию сигналов, причембазовым является двузначное представление сигналов. Удобно этими двумявозможными значениями сигналов считать «истину» (иначе 1) и «ложь» (иначе 0), а сами сигналы рассматривать как булевы величины. Тогда для моделирования можно использовать аппарат математической логики. Находят применение также трех- и более значные модели. Смысл значений сигналов вмногозначном моделировании и причины его применения будут пояснены далее на некоторых примерах.Элементами цифровых устройств на функционально-логическом уровне служат элементы, выполняющие логические функции и возможно функции хранения информации.
Простейшими элементами являются дизъюнктор, конъюнктор, инвертор, реализующие соответственно операции дизъюнкции (ИЛИ)у = a or b, конъюнкции (Н)у = a and b, отрицания (НЕ)д> = not а, где у— выходной сигнал, а и b — входные сигналы. Число входов может быть и болеедвух. Условные схемные обозначения простых логических элементов показанына рис. 3.13.Математические модели устройств представляют собой систему математических моделей элементов, входящих в устройство, при отождествлении сигналов, относящихся к одному и тому же соединению элементов.уДизъюнкторКонъюнктора•I•УИнверторРис. 3.13. Условные обозначения логических элементов на схемах1203.5. Математическое обеспечение анализа на функционально-логическом уровне&1—R(\А&г~&(ВL&ссРис.
3.14. Схема ./US'-триггераРазличают синхронные и асинхронные модели.Синхронная модель представляет собой систему логических уравнений, вней отсутствует такая переменная, как время. Синхронные модели используютдля анализа установившихся состояний.Примером синхронной модели может служить следующая система уравнений, полученная для логической схемы триггера (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
