Norenkov.Osnovy.Avtomatizirovannogo.Proektirovania.2002 (525024), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Резко снизить вычислительные затраты в многокомпонентных средах можно,только применив иной подход к моделированию, основанный на принятииопределенных допущений.Допущение, выражаемое дискретизацией пространства, позволяет перейтик моделям макроуровня. Моделями макроуровня, называемыми такжесосредоточенными, являются системы алгебраических и обыкновенныхдифференциальных уравнений, поскольку независимой переменной здесь853 Математическое обеспечение анализа проектных решенийостается только время /. Упрощение описания отдельных компонентов (деталей)позволяет исследовать модели процессов в устройствах, приборах, механическихузлах, число компонентов в которых может доходить до нескольких тысяч.В тех случаях, когда число компонентов в исследуемой системе превышаетнекоторый порог, сложность модели системы на макроуровне вновь становитсячрезмерной.
Поэтому, принимая соответствующие допущения, переходят нафункционально-логический уровень. На этом уровне используют аппарат передаточных функций для исследования аналоговых (непрерывных) процессов илиаппарат математической логики и конечных автоматов, если объектом исследования является дискретный процесс, т. е. процесс с дискретным множествомсостояний.Наконец, для исследования еще более сложных объектов, примерами которыхмогут служить производственные предприятия и их объединения, вычислительные системы и сети, социальные системы и другие подобные объекты, применяют аппарат теории массового обслуживания, возможно использование инекоторых других подходов, например сетей Петри.
Эти модели относятся ксистемному уровню моделирования.Требования к математическим моделями численным методам в САПРОсновными требованиями к МО являются требования адекватности,точности, экономичности.Модель всегда лишь приближенно отражает некоторые свойства объекта.Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объектас приемлемой точностью. Под точностью понимают степень соответствияоценок одноименных свойств объекта и модели.Экономичность (вычислительная эффективность) определяется затратами ресурсов, требуемых для реализации модели.
Поскольку в САПР используются математические модели, далее речь пойдет о характеристиках именноматематических моделей, и экономичность будет характеризоваться затратами машинных времени и памяти.Адекватность оценивается перечнем отражаемых свойств и областямиадекватности. Область адекватности — область в пространстве параметров,в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых пределах.Например, область адекватности линеаризованной модели поверхности деталиопределяется системой неравенствтах|е 0 |<е д о п ,где е и 8 оп — допущенная и предельно допустимая относительные погрешности моделирования поверхности, максимум берется по всем координатам иконтролируемым точкам; еЧ = Ч(х ист -хI] мод')/хij .ист', хг] ист TAXij мод — z-я коорди"натау'-й точки поверхности в объекте и модели соответственно.r86fjг3.1.
Компоненты математического обеспеченияОтметим, что в большинстве случаев области адекватности строятся в пространстве внешних переменных. Так, область адекватности моделиэлектронного радиоэлемента обычно выражает допустимые для применениямодели диапазоны изменения моделируемых температур, внешних напряжений,частот.Аналогичные требования по точности и экономичности фигурируют при выборе численных методов решения уравнений модели.Место процедур формирования моделейв маршрутах проектированияВычислительный процесс при анализе состоит из этапов формирования модели и ее исследования (решения).
В свою очередь, формирование модели включает две процедуры: во-первых, разработку моделей отдельных компонентов,во-вторых, формирование модели системы из моделей компонентов.Первая из этих процедур выполняется предварительно по отношению к типовым компонентам вне маршрута проектирования конкретных объектов. Какправило, модели компонентов разрабатываются специалистами в прикладныхобластях, причем знающими требования к моделям и формам их представленияв САПР. Обычно в помощь разработчику моделей в САПР предлагаются методики и вспомогательные средства, например, в виде программ анализа дляэкспериментальной отработки моделей. Созданные модели включаются в библиотеки моделей прикладных программ анализа.На маршруте проектирования каждого нового объекта выполняется вторая процедура (рис.
3.1) — формирование модели системы с использованиембиблиотечных моделей компонентов. Как правило, эта процедура выполняетсяавтоматически по алгоритмам, включенным в заранее разработанные программы анализа. Примеры таких программ имеются в различных приложениях и прежде всего в отраслях общего машиностроения и радиоэлектроники.ПользовательИсходное описаниеанализируемого объекта|РезультатыанализаФормированиемоделиобъектаtРешениеуравнениймоделиБиблиотека моделейкомпонентовРазработчикмоделейРис. 3.1. Место процедур формирования моделейна маршрутах проектирования873. Математическое обеспечение анализа проектных решенийПри применении этих программ пользователь описывает исследуемый объектна входном языке программы анализа не в виде системы уравнений, котораябудет получена автоматически, а в виде списка элементов структуры,эквивалентной схемы, эскиза или чертежа конструкции.3.2.
Математические модели в процедурах анализана макроуровнеИсходные уравнения моделейИсходное математическое описание процессов в объектах на макроуровнепредставлено системами обыкновенных дифференциальных и алгебраическихуравнений. Аналитические решения таких систем при типичных значениях ихпорядков в практических задачах получить не удается, поэтому в САПРпреимущественно используются алгоритмические модели. В этом параграфеизложен обобщенный подход к формированию алгоритмических моделей намакроуровне, справедливый для большинства приложений.Исходными для формирования математических моделей объектов намакроуровне являются компонентные и топологические уравнения.Компонентными уравнениями называют уравнения, описывающие свойстваэлементов (компонентов), другими словами, это уравнения математическихмоделей элементов (ММЭ).Топологические уравнения описывают взаимосвязи в составе моделируемой системы.В совокупности компонентные и топологические уравнения конкретнойфизической системы представляют собой исходную математическую модельсистемы (ММС).Очевидно, что компонентные и топологические уравнения в системах различной физической природы отражают разные физические свойства, но могутиметь одинаковый формальный вид.
Одинаковая форма записи математических соотношений позволяет говорить о формальных аналогиях компонентных итопологических уравнений. Такие аналогии существуют для механических поступательных, механических вращательных, электрических, гидравлических(пневматических), тепловых объектов. Наличие аналогий приводит к практически важному выводу: значительная часть алгоритмов формирования и исследования моделей в САПР оказывается инвариантной и может быть применена к анализу проектируемых объектов в разных предметных областях.Единство математического аппарата формирования ММС особенно удобно прианализе систем, состоящих из физически разнородных подсистем.В перечисленных выше приложениях компонентные уравнения имеют видVK(dV/dt,\,t)= О,(3.1)топологические уравнения —Ft(V) = 0,88(3.2)3.2. Математические модели в процедурах анализа на макроуровнегде V = (v,, v2, ..., У Я ) — вектор фазовых переменных; t — время.Различают фазовые переменные двух типов, их обобщенные наименования — фазовые переменные типа потенциала (например, электрическое напряжение) и типа потока (например, электрический ток).
Каждое компонентноеуравнение характеризует связи между разнотипными фазовыми переменными,относящимися к одному компоненту (например, закон Ома описывает связьмежду напряжением и током в резисторе), а топологическое уравнение — связимежду однотипными фазовыми переменными в разных компонентах.Модели можно представлять в виде систем уравнений или в графическойформе, если между этими формами установлено взаимно однозначное соответствие.
В качестве графической формы часто используют эквивалентныесхемы.Примеры компонентных и топологических уравненийРассмотрим несколько типов систем.Электрические системы. В электрических системах фазовыми переменными являются электрические напряжения и токи. Компонентами системмогут быть простые двухполюсные элементы и более сложные двух- и многополюсные компоненты. К простым двухполюсникам относятся следующиеэлементы: сопротивление, емкость и индуктивность, характеризуемые одноименными параметрами R, С, L.
В эквивалентных схемах эти элементы обозначают в соответствии с рис. 3.2, а.Компонентные уравнения простых двухполюсников:для сопротивленияи = iR (закон Ома);(3.3)для емкостиг = Cdu/dt;(3.4)для индуктивности(3.5)и - Ldi/dt,где и — напряжение (точнее, падение напряжения на двухполюснике); / — ток.СопротивлениеСухое трениеRЕмкостьСИндуктивностьLаМассаМ-DIГибкостьбРис. 3.2. Условные обозначения простых элементов в эквивалентных схемах:а — электрических, гидравлических, тепловых; б—механических893.
Математическое обеспечение анализа проектных решенийРис. 3.3. Эквивалентная схема биполярного транзистораЭти модели лежат в основе моделей других возможных более сложных компонентов. Большая сложность может определяться нелинейностью уравнений(3.3) — (3.5) (т.
е. зависимостьюR, С, L от фазовых переменных), или учетомзависимостей параметров R, С, L от температуры, или наличием более двухполюсов. Однако многополюсные компоненты могут быть сведены к совокупности взаимосвязанных простых элементов.Топологические уравнения выражают законы Кирхгофа для напряжений(ЗНК) и токов (ЗТК). Согласно ЗНК, сумма напряжений на компонентах вдольлюбого замкнутого контура в эквивалентной схеме равна нулю, а в соответствиис ЗТК сумма токов в любом замкнутом сечении эквивалентной схемы равнанулю:Екмк = о,(3.6)" f = 0,(3:7)где К.р — множество номеров элементов р-то контура; J9 — множество номеровэлементов, входящих в q-e сечение.Примером математической модели сложного компонента может служить модельтранзистора.
На рис. 3.3 представлена эквивалентная схема биполярного транзистора, накоторой зависимые от напряжений источники тока /зд = 1пехр(иэ/(/ифт)) и im= /^ехр^и//(отфт)) отображают статические вольт-амперные характеристики/?—«-переходов; г'^и /я— тепловые токи переходов; /ифт — температурный потенциал; иэи ик— напряжения наэмиттерном и коллекторном переходах; Сэ и Ск — емкости переходов; R^viR^ — сопротивления утечки переходов, /?6и RK — объемные сопротивления тел базы и коллектора;/' = Bi - В i — источник тока, моделирующий усилительные свойства транзистора; В иВи— прямои'и инверсный коэффициенты усиления тока базы. Здесь мэ, мк, 1ж, /ы, /.— фазовые переменные, а остальные величины — параметры модели транзистора.Механические системы. Фазовыми переменными в механических поступательных системах являются силы и скорости. Используют одну из двухвозможных электромеханических аналогий. В дальнейшем будем использоватьту из них, в которой скорость относят к фазовым переменным типа потенциала,а силу считают фазовой переменной типа потока.
Учитывая формальный характер подобных аналогий, в равной мере можно применять и противоположнуютерминологию.903 2. Математические модели в процедурах анализа на макроуровнеКомпонентное уравнение, характеризующее инерционные свойства тел, всилу второго закона Ньютона имеет видF= Mdu/dt,(3.8)где F — сила; М— масса; и — поступательная скорость.Упругие свойства тел описываются компонентным уравнением, котороеможно получить из уравнения закона Гука. В одномерном случае (если рассматриваются продольные деформации упругого стержня)G = £e,(3.9)где G — механическое напряжение; Е — модуль упругости; Е = А/// — относительная деформация; А/ — изменение длины /упругого тела под воздействием G.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
