Chertov (523131), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав гу'=50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от и,= =4 с ' до п,=б с '. Определить угловое ускорение е колеса. 1.59. Диск вращается с угловым ускорением е= — 2 рад!са. Сколько оборотов гт' сделает диск при изменении частоты вращения от п,=240 мин ' до п,=00 мин гу Найти время А1, в течение которого это произойдет.
1.60. Винт аэросаней вращается с частотой а=360 мин '. Скорость и поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью и движется один из концов винта, если радиус тс винта равен 1 му 1.61. На токарном станке протачивается вал диаметром г(= =60 мм. Продольная подача й резца равна 0,5 мм за один оборот.
Какова скорость о резания, если за интервал времени А1= 1 мин протачивается участок вала длиной 1= 12 см? й 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТЕЛА, ДВИЖУЩИХСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО Основные формулы ° Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона): в векторной форме !т и — =,~, Г!, или та=~ Гь !=1 !=1 где ~.', Г; — геометрическая сумма сил, действующих на мате!=! риальную точку; т — масса; а — ускорение; р=тч — импульс; Ф вЂ” число сил, действующих на точку; в координатной форме (скалярной) та„= 'У',Г„о та, = ',РГа!, та, =~я , 'Г,о или где под знаком суммы стоят проекции сил Г, на соответствующие оси координат.
® Сила упругости * Г „= — йх, ' Силы упругости н гравнтацнонвого взаимодействия более подробно рассмотрены в $ 4. 19 где Й вЂ” коэффициент упругости (жесткость в случае пружины); х — абсолютная деформация. Э Сила гравитационного взаимодействия * г"=6 — ', ', где 6 — гравитационная постоянная; и! и тг — массы взаимодей- ствующих тел, рассматриваемые как материальные точки; г — рас- стояние между ними. ® Сила трения скольжения ~гр 1~ где à — коэффициент трения скольжения; !Ч вЂ” сила нормального давления. ° Координаты центра масс системы материальных точек гг~ тгх! ~~~~ т!у; ~~~~ т;г! хс= ~ ус= > гс= '~', т! ~, т! "„Рт! где т! — масса г-й материальной точки; х!, у;, г! — ее координаты. ° Закон сохранения импульса ~~„', р, =сонэ!, или ~~.', гп!ч; = сонэ!, 1=! !=! где М вЂ” число материальных точек (или тел), входящих в систему.
° Работа, совершаемая постоянной силой, ЛА=ГЛг, или ЛА=РКгсоз х, где а — угол между направлениями векторов силы Г и перемеще- ния Ьг. ° Работа, совершаемая переменной силой, А = ) Р (г) сон !х !)г, где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой ® Средняя мощность за интервал времени И ЛА <)у> = —. а! ° Мгновенная мощность Л' =- —, или Л! = го соз а, дА д! где !(А — работа, совершаемая за промежуток времени !)г. Ф Кинетическая энергия материальной точки (или тела), дви- жущейся поступательно, Т=ти'!2, или Т=рг~(2т), Ф Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением . дп .дп, дпт Г= — дга!(П или Г = — (! — +) — т й — ), дх ду дг )' где 1, ), (г — единичные векторы (орты).
В частном случае, когда " См. сноску на с. !9. 20 поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное), 4П г= —, !)г ° Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины) Ахс П= —. 2 ° Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами т, и т„находящихся на расстоянии г друг от друга, П=- — б — ""' .
° Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, П= тдй, где и — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии Ь (()с, где 1с — радиус Земли. ° Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде Т+ П =-сопз(.
° Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров после удара и =(т,о,+т,о,)! (т,+т,) и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара: с! Ф1 !!!с)+2!!Исй и,= г!!1+т~ и, =- с~ (т, — и!) + 2т!с1 И1+ И~ где т, и т, — массы шаров; о, и о, — их скорости до удара.
Примеры решения задач Пример 1. К концам однородного стержня приложены две противоположно направленные силы; Ег=40 Н и Р,=100 Н (рис. 2.1, а). а) ! ф ! Р; Г Т ~г гз ! Рис. 2.1 Определить силу натяжения Т стержня в поперечном сечении, которое делит стержень на две части в отношении 1: 2. Р е ш е н и е. Если бы силы Рг и г', были равны между собой, то сила натяжения в любом сечении стержня была бы одинаковой и равной силам, приложенным к концам стержня. Стержень в этом случае находился бы в покое. Но так как сумма сил, действующих на стержень, отлична от нуля, то стержень будет двигаться с ускорением, величина и направление которого определяются по второму закону Ньютона: а=(Г,+Р,)/т, где т — масса стержня.
Так как обе силы действуют вдоль прямой, то геометрическую сумму можно заменить алгебраической: а=(Р,— Р,)~т. (1) При ускоренном движении стержня силы натяжения в разных сечениях различны. Для определения этих сил применим следующий прием: разделим стержень на две части в интересующем иас сечении и отбросим одну из них, например левую. Действие левой части на правую заменим силой натяжения Т (рис. 2.1, б). В результате действия разности сил Г,— Т оставшаяся правая часть стержня массой тг должна двигаться с ускорением а= (Р,— Т)!тг, равным по величине и направлению прежнему ускорению, выражаемому формулой (1).
Так как стержень однородный, то тг — — т!3 и, следовательно, (2) Приравнивая правые части равенства (1) и (2) и выражая из а) 7 4 полученного равенства силу натяжения Т, находим Т=-Г,— (Р,— Т,У8. Подставив значения Г, и г „получим Т=80 Н. Пример 2. В лифте на пружинных весах находится тело массой т=-1О кг О у (рис. 2.2, а). Лифт движет- х ся с ускорением а=-2 мыс'.
х Определить показания веРис. 2.2 сов в двух случаях, когда ускорение лифта направлено: 1) вертикально вверх, 2) вертикально вниз. Р е ш е н и е. Определить показания весов — это значит найти вес тела П, т. е. силу, с которой тело действует на пружину. Но эта сила, по третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе упругости М (силе реакции опоры), с которой пружина через посредство прикрепленной к ней чашки весов действует на тело, т. е.
б= — № или 0=№ (1) Следовательно, задача определения показания весов сводится к нахождению реакции опоры (ч. Задачу можно решать как в инерцнальной, так н неинерциальной системе отсчета. Решение в инерииальной системе отсчета. На тело действуют две силы: сила тяжести Р и сила й1.
Направим ось г вертикально вверх и спроецируем на нее все силы, действующие на тело. Индекс г у проекции сил опустим, так как проекции и сами силы совпадают по величине. Направление сил учтем знаком плюс илн минус. Напишем уравнение движения: М вЂ” Р=та, откуда Х=Р+та=т(я+а).
(2) Из равенств (1) н (2) следует 6=т (а+а). При вычислении показания весов следует учесть знак ускорения: 1) ускорение направлено вертикально вверх (а)0), тогда 6,=10(9,81+2)Н=118 Н; 2) ускорение направлено вертикально вниз (а(0), тогда 6,=10(9,81 — 2) Н=78 Н. Отметим, что ни модуль, ни направлениескорости лифта не влия- ют на показания весов. Существенны лишь величина н направление ускорения. Решение в неинерциальной систе,не отсчета, т. е. в системе, дви- жущейся ускоренно вместе с лифтом. В этой системе отсчета законы Ньютона не выполняются. Однако если к телу в соответствии с прин- ципом Даламбера дополнительно к действующим на него силам при- ложить силу инерции Р;= — та, где а — ускорение системы отсчета, то с учетом этой силы законы Ньютона будут справедливы.
В этом случае на тело будут действовать три силы: сила тяжести Р, сила упругости Х и сила инерции Г; (рис. 2.2, б). Под действием этих сил тело в данной неннерцнальной системе отсчета покоится. Это значит, что вместо уравнений динамики (законов Ньютона) мож- но воспользоваться законами статики. Если тело под действием системы сходящихся сил покоится, то геометрическая сумма этих снл равна нулю. В данном случае зто приводит к равенству Р+Х+Г;= — О. Спроецнруем все силы на ось г и напишем соответствующее ра- венство для проекций этих сил (индекс г опустим): М вЂ” Р— та=О, откуда сила реакции опоры И= Р+та=- т (я+а) . Из равенств (1) и (3) следует 6=т(8'+а), (3) 23 что совпадает с результатом, полученным при решении в инерциальной системе отсчета.
Пример 3. При падении тела с большой высоты его скорость о „при установившемся движении достигает 80 м!с. Определить время т, в течение которого начиная от момента начала падения скорость становится равной т/, и „. Силу сопротивления воздуха при- Р -- с-.сс--- с -.с-- тела. г'Ъ Р е ш е н и е. На падающее те! ло действуют две силы (рис. 2.3, а): а! сила тяжести тд и сила сопротив. ления воздуха Г,.
а) 6) Сила сопротивления воздуха по условиям задачи пропорциональна скорости тела и противоположна ей по направлению: ~с- зи Г,= — йч, (1) где й — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и от свойств окружающей среды.
Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым <Ь законом Ньютона в векторной форме: и — =тИ вЂ” Г,. Заменив Г, согласно (1), получим т — = тд — йч. ат ссс: (2) Спроецируем все векторные величины на вертикально направленную ось и напишем уравнение (2) для проекций: т — = т3 — яо. Ж После разделения переменных получим <Ь сст ссстс — Ат тсс Выполним интегрирование, учитывая, что при изменении времени от нуля до т (искомое время) скорость возрастает от нуля до Ч, и „(рис. 2.3, б): П'сгст — — — й (-- ) ~ =-.' о Подставим пределы интегрирования в левую часть равенства: ~К вЂ” '!тастст т — — !п тд ссс и найдем из полученного выражения искомое время: т= — 1п И ссср ссср ст сстст () 3 Входящий сюда коэффициент пропорциональности я определим из следующих соображений.
При установившемся движении (ско- 24 рость постоянна) алгебраическая сумма проекций (на ось у) сил, действующих на тело, равна нулю, т. е. тд — йоу„=-О, откуда А=-тд!о „. Подставим найденное значение й в формулу (3): тс „ I«« т= — 1п l«« ! т«« «ти "уст Руст После сокращений и упрощений получим т= —" 1п2. и Проверка размерности в данном случае не обязательна, так как результат очевиден. Подставив в эту формулу значения о „, ас, !и 2 и произведя вычисления, получим т=5,66 с.
Пример 4. Шар массой т=О,З кг, двигаясь со скоростью ту=10 м!с, упруго ударяется о гладкую неподвижную стенку так, что скорость его направлена под углом а=30' к нормали. Определить импульс р, получаемый стенкой. Р е ш е н и е. Сначала проанализируем условие задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
