Chertov (523131), страница 2
Текст из файла (страница 2)
График зависимости координаты точки от времени представляет собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка содержит пять коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ранее характерных значений координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам 1,=1 с и 1,=6 с: х, = А + В 1, + С1, '= 8 м, хе = А + В1, + Сга = — 7 м. Полученные данные представим в виде таблицы: та=2 хя*х=9 Время, с Координата, и К=э х=О те=-0 хе=А=8 6=1 хе=8 !а=а ха — — — 7 "5 Рис.
1.2 10 Используя данные таблицы, чертим график зависимости координаты от времени (рис. 1.2). График пути построим, исходя из следующих соображений: 1) путь и координата до момента изменения знака скорости совпадая, м ют; 2) начиная с момента возврата (1,) точки она движется в 7 обратном направлении и, следо/ 7 вательно, координата ее убыва- l ет, а путь продолжает возрастать 10 г l по тому же закону, по которог му убывает координата.
Следовательно, график пути 5 до момента времени 1, =2 с совпадает с графиком координаты, а начиная с этого момента является зеркальным отображени- 2 4 б я 8 с ем графика координаты. 2. Средняя скорость <и„) за интервал времени Г, — 1, определяется выражением (пх) = (х,— х,)! (Ге — 1,). Подставим значения х„х„1т, гя из таблицы и произведем вычис"1б ления (гх)= ( — 7 — 8)!(6 — 1) м/с= = — 3 м/с.
3. Среднюю путевую скорость (о) находим из выражения (о) =87 (1,— 1,), где э — путь, пройденный точкой за интервал времени 1,— 1,. Из графика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: з,=х,„— х„который точка прошла за интервал времени 1,— 1„и эа=х,„+~хе~, который она прошла за интервал уз — 1„. Таким образом, путь з = з, + з, = (х,„— х ) + (х,„+ ) хз ~) = 2х,„+ ( хз ~ — х,.
Подставим в это выражение значения х„'~хз~, х,„и произведем вы- числения: (з)=(2 9+7 — 8) м=17 м. Тогда искомая средняя путевая скорость (н)=17!(6 — 1) м=ЗА м, Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна. Пример 3.
Автомобиль движется по закруглению шоссе, имею- щему радиус кривизны )с=50 м. Уравнение в движения автомобиля $Я=А+В1+С1з, где А=10 м, В=10 мыс, С= — 0,5 м!сз. Найти: 1) скорость о автомобиля, его тангенциальное а„нормальное ав и полное а ускорения в момент времени г=5 с; 2) длину пути з и мо- дуль перемещения )Лг~ автомобиля за интервал времени к=10 с, отсчитанный с момента начала движения. Р е ш е н и е.
1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую производную от координаты по времени: о= — =В+2С(. Подставим в это выражение значения В, С, ти д$ =Ж= произведем вычисления: о=5 мыс. Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: а, = — = 2С. Подставив значение С, получим т а, =- — 1 мУсз. Нормальное ускорение определяется по формуле ав=взЯ.
Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления: а„=0,5 м/сз. Полное ускорение, как это видно из рис. 1.1, является геометрической суммой ускорений а, и а„: а=а,+а„. Модуль ускорения а=)'а4+а'„. Подставив в это выражение найденные значения а, и а„, получим а=1,12 м!сз.
2. Чтобы определить путь з, пройденный автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути з равна изменению криволинейной координаты $, т. е. з=$(т) — $(0), или з=А+Вт+Ст' — А=Вт+Ст*.
Подставим в полученное выражение значения В, С, т и произведем вычисления: а=50 м. * В заданном уравнении движения $ означает криволинейную координату, отсчитанную от некоторой начальной точки на окружности. 11 Модуль перемещения, как это видно из рис. 1.3, равен ) Лг (=2)с з(п (а!2), где и — угол между радиусами-векторами, определяющими начальное $(0) и конечное к(т) положения автомашины на траектории. Этот угол (в радианах) находим как отношение длины пути в к ра- диусу кривнзны Я траектории, т.
е. а= д/т) =-вЯ. Таким образом, Я ег !Лг1=2)т з(п й.. Подставим сюда значения 1т', в н 0 й 4 произведем вычисления: ) Лг ( = 47,9 м. Пример 4. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой п,=10 с ', при Рпв 1.3 торможении начал вращаться равноза- медленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой и=--6 с '. Определить угловое ускорение е маховика и продолжительность г торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал рт' — 50 оборотов. Р е ш е н и е. Угловое ускорение маховика связано с начальной в, и конечной в угловыми скоростями соотношением а' — в,'= =2ир, откуда е= (в' — в')1(2~р). Но так как Ч~=-2иМ, в — 2ип, то ап — ва л (л~ — п1) 2~р Л' Подставив значения и, и, п„)У и вычислив, получим з=3,14(6' — 1О')150 рад/с'= — 4,02 рад~с'.
Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно. Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угол поворота ~р со средней угловой скоростью (в) вращения и временем й ~р=(в)1. По условиям задачи, угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать (в)= (в„+в)12, тогда ср==(ва+в)112=-и (и,+и)1, откуда <р 2л1 и(лп+л) пр+п ' Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим Задачи Прямолинейное движение 1.1. Две прямые дороги пересекаются под углом и=60'. От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью п,=60 км!ч, другая со скоростью о,=80 км!ч.
Определить скорости и' и о", с ко- 12 торыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно. 1.2. Точка двигалась в течение 1,= — 15 с со скоростью п,=5 м!с, в течение 1,=10 с со скоростью о,=8 м!с и в течение 1,=6 с со скоростью п,=20 м(с. Определить среднюю путевую скорость (п) точки.
1.3. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью п,=60 км(ч, остальную часть пути — со скоростью о,=80 км/ч. Какова средняя путевая скорость (о) автомобиля? 1.4. Первую половину пути тело двигалось со скоростью о,= =2 м(с, вторую — со скоростью о,=8 м(с. Определить среднюю путевую скорость (о).
1.5. Тело прошло первую половину пути за время 1,=2 с, вторую — за время 1,=8 с. Определить среднюю путевую скорость (о) тела, если длина пути а=20 м, 1.6. Зависимость скорости от времени для движения некоторого тела представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевую скорость (и) за время 1=14 с.
и м1с 5 а,м! 5 -10 Рис. 1.4 Рис. 1.5 1.7. Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую скорость (о) за время 1=8 с. Начальная скорость о,=0, 1.8. Уравнение прямолинейного движения имеет вид х=-А1+В1а, где А=3 м(с, В=0,25 м(с'. Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного движения. 1.9. На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени для некоторого движения тела. Построить графики зависимости скорости и пути от времени для этого движения, если в начальный момент тело покоилось.
1.1О. Движение материальной точки задано уравнением х=-А1+ +В1а, где А =4 м(с, В= — 0,05 м!с'. Определить момент времени, в который скорость о точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени. 1.11, Написать кинематическое уравнение движения х=1(1) точки для четырех случаев, представленных на рис. 1.6.
На каждой !3 позиции рисунка — а, б, в, г — изображена координатная ось Ох„ указаны начальные положение х, и скорость и, материальной точки А, а также ее ускорение а. 1.12. Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии 1=100 м от стены АВ и бросает светлое пятно па эту стену.
Прожектор вращается вокруг вертикальной оси, делая один оборот за время Т= =20 с. Найти: 1) уравнение движения светлого пятна по стене в течение первой четверти оборота; 2) скорость о, с которой светлое пятно движется по стене, в момент времени 1=2 с. За начало отсчета принять момент, когда направление луча совпадает с ОС.
в Ф )Е~ БГ; ' Ф Ф %ААи;и )1Р д~ х,'Д х ~'к, 4 г) 0 Рис. 1.6 Рис. 1.1 1.13. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паро- воза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ус- корением а=0,1 м!с', человек начал идти в том же направлении со скоростью о=1,5 и/с.
Через какое время 1 поезд догонит человека? Определить скорость о, поезда в этот момент и путь, пройденный за это время человеком. 1.14. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движе- ние через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью о,= 1 м7с и ускорением а,=2 и!с', вторая — с начальной скоростью а,= 10 м7с и ускорением а,=1 м!с'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
