Chertov (523131), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Стенка неподвижна, поэтому система отсчета, связанная с ней, будет инерциальной. Удар о стенку уп- , т„ ругий; следовательно, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Из него, учитывая, что масса стенки много боль- п ше массы шара, следует равенство ,т модулей скоростей шара 1т! до и !ц1 после удара. Покажем, что угол а' отражения шара от стенки равен углу а падения шара. Спроецируем векторы и и и и на координатные оси Ох и Оу (рис. р«с, 2м 2.4). Так как стенка гладкая, то и„=- = и«.
Учитывая, кроме того, что 1ц«1= 1ч1, получим и«= — о„а отсюда следует равенство углов падения и отражения (а'=-а). Для определения импульса, полученного стенкой, воспользуемся законом сохранения импульса. Для нашего случая этот закон можно записать в виде Рт = Рт+ Р где р, и р,' — импульсы шара до и после удара (1рт(= 1р,'1). Отсюда импульс, полученный стенкой, Из рис. 2.5 видно, что вектор р сонаправлен с осью Ох и его модуль р= — (р1=2р,сова. Подставив сюда выражение импульса р =то, получим р=2то соз а. 25 Произведем вычисления: р=2.0,3 10 — кг м/с=5,20 кг.м/с. ~з Пример 5. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной /.
и массой М перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой гп. На какое расстояние з приблизится лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух пренебречь. Р е ш е н и е. 1-й способ. Для простоты решения будем считать, что человек идет по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также будет двигаться равномерно. ПоРис. 2.5 этому перемещение лодки относитель- но берега определим по формуле э=о/, (1) где о — скорость лодки относительно берега; 1 — время движения человека и лодки. Направление перемещения человека примем за положительное.
Скорость о лодки найдем, пользуясь законом сохранения импульса * (количества движения). Так как, по условию задачи, система человек — лодка в начальный момент была относительно берега в покое, то по закону сохранения импульса получим Мп— — ты=0, где и — скорость человека относительно берега; знак минус указывает на то, что скорости человека и лодки по направлению противоположны. Отсюда о=ты/М. Время 1 движения лодки равно времени перемещения человека по лодке, т, е. г — з,/и=-(/. — з)/и, где з, — перемещение человека относите.чьно берега. Подставив полученные выражения и и 1 в формулу (1), найдем таь — з т з = — ' = — (1,— х) лч и м откуда з=-= т/,/(т+ М).
Заметим, что предположение о равномерности движения человека не яв.чяется обязательным. В приведенном ниже более общем способе решения задачи такое предположение не используется. 2-й способ. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра тяжести ** системы. Применяя это следствие к системе человек — лодка, можно считать, что при перемещении человека ь В данном случае систему человек — лодка можно считать замкнутой, так как векторная сумма внешних сил, действующих на отдельные тела системы, равна нулю. ь' Точнее было бы говорить о центре масс (цеатре инерции системы).
Но в том случае, когда система твердых тел находится в однородном иоле силы тяжести, центр масс и центр тяжести совпадают. по лодке центр тяжести системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем расстоянни от берега. Пусть центр тяжести системы человек — лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку С, лодки (рис.
2.6), а после перемещения лодки — через другую ее точку С,. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение з лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра тяжести 0 лодки. Как видно из Рис. 2.6 рис. 2.6, в начальный момент точка 0 находится слева от вертикали на расстоянии а„а после перехода человека — на расстоянии а, справа от нее. Следовательно, искомое перемещение лодки э=а,+а,.
(2) Для определения а; и а, воспользуемся тем, что относительно центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны. Для точки С, имеем Мда,=ту(1 — а,), где 1 — первоначальное расстояние человека от центра тяжести лодки. Отсюда получим а,=тЦМ+т). Для точки С, имеем Мда,= =ту(Ь вЂ” а, — 1), откуда а,=т(1.
— 1)7(М+ш). Подставив выражения а, и а, в формулу (2), получим з=гн1.7(М+и), что совпадает с результатом, полученным первым способом. Пример 6. Два шара массами гл,— 2,5 кг и т,=1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями о,= — 6 м7с и о,=2 м!с. Определить: 1) скорость и шаров после удара; 2) кинетические энергии 27 шаров Т, до и Т, после удара; 3) долю кинетической энергии ий шаров, превратившейся во внутреннюю энергию.
Удар считать прямым, неупругим. Р е ш е н и е. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, отталкивающие шары друг от друга, и шары после удара бу- дут двигаться совместно с одной и той же скоростью и.
Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шары дви- жутся по одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме: тйпй+тйий=(тй+т,)и, откуда (тйп~+тйпй)~ (тй+т2) Направление скорости первого шара примем за положительное, тогда при вычислении скорость второго шара, который движется навстречу первому, следует взять со знаком минус: и=(2,5 6 — 1,5 2)((2,5+1,5) м!с=-3 м!с.
2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по формулам Т, = — тйо',!2+ т,а,'(2; Т, = (т, + тй) и'!2. Произведя вычисления по этим формулам, получим Т,=(2,5 6",2+1,5.2212) Дж==.48 Дж; Тй=-(2,5+1,5) 3212 Дж=18 Дж. 3. Сравнение кинетических энергий нйаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шаров, по- шедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из со- отношения ш= (Т, — Тйу(Т1; и1=0,62, Пример 7. Шар массой т„движущийся горизонтально с неко- торой скоростью п„столкнулся с неподвижным шаром массой т,.
Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю ш своей ки- нетической энергии первый шар передал второму? Р е ш е н и е. Доля энергии, переданной первым шаром вто- рому, выразится соотношением 2 (1) где Т, — кинетическая энергия первого шара до удара; и, и Т;— скорость и кинетическая энергия второго шара после удара. Как видно из выражения (1), для определения и1 надо найти и,. Воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновре- менно выполняются два закона сохранения: импульса и механиче- ской энергии.
По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, имеем тйпй=тйий+тйий. По закону сохранения 28 энергии в механике, т'"' = тии -)- т2"', Решая совместно два по- 2 2 2 следних уравнения, найдем и,=2т1о11'(т,+т,), Подставив это выражение и, в равенство (1), получим т2 ~ 2т121 ~2 4т,т2 Ы/=— т1 [ 21 (т1+т2) ) )т1+т2)2 Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зави- сит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами. Пример 8. Молот массой т1==200 кг падает на поковку, масса т, которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость п1 мо- лота в момент удара равна 2 м!с.
Найти: 1) кинетическую энергию Тг молота в момент удара; 2) энергию Т„переданную фундаменту; 3) энергию Т, затраченную на деформацию поковки; 4) коэффициент полезного действия ч (КПД) удара молота о поковку. Удар молота о поковку рассматривать как неупругий. Р е ш е н и е. 1. Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле Т1=т,о72. Подставив значения т, и о, и про- изведя вычисления, получим Т,=---400 Дж.
2. Чтобы определить энергию, переданную фундаменту, предва- рительно найдем скорость системы молот — поковка (с наковаль- ней) непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса, который в случае неупругого удара двух тел выражается формулой т1о,+т,о,= (т,+т,)и, (1) где и, — скорость поковки (вместе с наковальней) перед ударом; и— скорость молота и поковки (вместе с наковальней) непосредственно после удара. Так как поковка с наковальней до удара находи- лась в состоянии покоя, то о,-=О.
При неупругом ударе деформация не восстанавливается, вследствие чего молот и поковка (с нако- вальней) движутся как одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (1) найдем эту скорость: т, т1 ) т2 (2) В результате сопротивления фундамента скорость и быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система молотв поковка (с наковальней), передается фундаменту, Зту энергию находим по формуле Т,=- ' ' и'-. 2 Заменим скорость и ее выражением (2): Т,= """', или, 2 (т1+т,) ' учитывая, что Т1=т1и1)2, запишем Т,=,' Т,.
т1+т2 29 Подставив в уравнение (3) значения т,, т, и Т, и произведя вычисления, получим Т.,— 29,6 Дж. 3. Молот до удара обладал энергией Т,; Т, — энергия, переданная фундаменту. Следовательно, на деформацию поковки использовалась энергия Т=Т, — Т,. Подставив в это выражение значения Т, и Т„получим Т=370 Дж. 4. Назначение молота — путем ударов о поковку, находящуюся на наковальне, вызвать деформацию поковки; следовательно, энергию Т следует считать полезной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
