Chertov (523131), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Э Динамическая вязкость где р — плотность газа (жидкости); (о) — средняя скорость хаотического движения его молекул; (1) — их средняя длина свободного пробега. Э Закон Ньютона где г — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.
Э Закон Фурье Ла= Л 'т 5Л1 где ЛЯ вЂ” теплота, прошедшая посредством теплопроводности через ат сечение площадью 5 за время Л1; Х вЂ” теплопроводность; —— дх градиент температуры. Э Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа Л ='1,сгр <о> <1>, или Х = — '(,йп <и> <1>, где сг — удельная теплоемкость газа прн постоянном объеме; р— плотность газа; (о) — средняя арифметическая скорость его молекулы; (1) — средняя длина свободного пробега молекул. Э Закон Фнка Л ш О ~ и 5 Л 1 Йх где Лгл — масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью 5 за время Л1; Π— диффузия (коэффициент нп диффузии); — — градиент концентрации молекул; и, — масса одах ной молекулы. Э Диффузия (коэффициент диффузии) 0='1, <о> <1>.
5 мыаз 129 Примеры решения задач Пример 1. Пылинки массой т=10 " г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К. Р е ш е н и е. При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координаты г по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу Больцмана п =пое-щмг( (1) Так как в однородном поле силы тяжести (/=о~дг, то и е-тг~(яг1 (2) По условию задачи, изменение /хп концентрации с высотой мало по сравнению с п(бп/п=0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации Лп можно заменить дифференциалом йп.
Дифференцируя выражение (2) по г, получим дп = — и — ге- а ~мг~бг = — ° й' Так как п,е- г'"г'=и, то бп= — — тпдг мг лт Отсюда находим интересующее нас изменение координаты: ат ап юг== — — —. та а Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты (дг)0) соответствует уменьшение относительной концентрации 0(п(0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы дг и Лп конечными приращениями Лг и Лп: ьт а Лг = — —. тд и' Подставим в эту формулу значения величин Лпlп=0,01, й= =1,38.10 мДж/К, Т=300 К, т=10 "кг,у=9,81м/с'и, произведя вычисления, найдем Лг=4,23 мм.
Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (т=(0 " г) очень быстро изменяется с высотой. Пример 2. В сосуде содержится газ, количество вещества ч которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число Лй/ молекул, скорости о которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости о,. Р е ш е н и е. Для решения задачи удобно воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям и (ие о/гь).
Число и/т'(и) молекул, относительные скорости и которых заключе- !30 (4) ны в пределах от и до ди, определяетея формулой !(М (и) = = е-"*и' ди, (1) где М вЂ” полное число молекул. По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул 0,„=-0,0010„, откуда и „=о„,„!о,=0,00!. Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле, для и«1 имеем е-"' ж 1 — и'.
Пренебрегая значением и'= =(0,001)'=10 ' по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде 037 (и) = = и' ди. 4М (2) Интегрируя зто выражение по и в пределах от 0 до и,„, получим 1Пах 4У з ц г' з 3)Тл о Выразив в (3) число молекул А! через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную формулу: 3'г' з Подставим в (4) значения величин т, Ух и произведем вычисления: 4.1 2.6 02.10м ЛУ = ' ' (10 '")' молекул =5,44 10" молекул. 3 1,77 Пример 3.
Зная функцию 7(р) распределения молекул по импульсам, определить среднее значение квадрата импульса (р'). Р е ш е н и е. Среднее значение квадрата импульса (р') можно определить по общему правилу вычисления среднего: О <р'> =) Р'!'( ) г(, !)1(Я бр (1) о о Функция распределения молекул по импульсам имеет вид ) (р) — 4я и Рч! мп4Т! р~ 1 1М2 (2) 1 2эмЛТ ) Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т.
е. ~1(р) бр= 1. С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе: о < '> = ~ р'!'(р) бр. о Подставим выражение 7'(р) по уравнению (2) в формулу сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла: О <р2> 4я ( р4е-оч!г ьг1 г(р зз1 Г 2ттИТ 7' о (3) (3) и выне- 13! Этот интеграг, можно свести к табличному (см. табл, 2! 3 Г ! х'е "'дх= — !' ла "', положив а =- —. заЬГ ' о В на~нем случае это даст 'Р'>'=4п(3 ЬГ) 3 ) л(3 ЬГ) После упрощений и сокращений найдем (Р2) = зтйт, Пример 4. Средняя длина свободного пробега (1) молекулы угле- кислого газа при нормальных условиях равна 40 нм.
Определить среднюю арифметическую скорость <и> молекул и число г соударе- ний, которые испытывает молекула в 1 с. Р е ш е н и е. Средняя арифметическая скорость молекул опре- деляется по формуле г а> = р 8КТ!лМ, где л4 — молярная масса вещества. Подставив числовые значения, получим (и) =-362 м!с, Среднее число (г) соударений молекулы в 1 с определяется отно- шением средней скорости (о) молекулы к средней длине ее свобод- ного пробега (!); (г)=(п)Я!). Подставив в эту формулу значения (п)=362 м!с, (1)=40 нм= =4 ° !О ' м, получим <з> 9,05.10' с '. Пример 5.
Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной 1=.=-10 см могут свободно вращаться вокруг их обшей оси г. Радиус !с большого цилиндра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером й=---2 мм. Оба цилиндра находится в воздухе при нормаль- ных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с посто- янной частотой п,==20 с '. Внепший цилиндр заторможен. Опреде- лить, через какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения и,,==! с ', При расчетах изменением относительной скорости цилиндров пре- небречь. Масса т внешнего цилиндра равна 100 г.
Р е ш е н и е. При вращении внутреннего цилиндра слой воз- духа увлекается им и начинает участвовать во вращательном движе- нии. Вблизи поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем практически такую же линейную скорость, как и ско- рость точек на поверхности цилиндра, т. е.
и=--2яп, (1х — г(). Так как г(«!с, то приближенно можно считать о=2пп,й. (1) Вследствие внутреннего трения момент импульса передается соседним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За !33 интервал времени Л1 внешний са Ь вЂ” рР, где р — импульс, ром. Отсюда р — 1 7Р. С другой стороны, р=-Ч вЂ”,5Л1, ау цилиндр приобретает момент импульполученный за б! внешним цилинд- (2) г1г где г! — динамическая вязкость; — — градиент скорости; 5— дг площадь поверхности цилиндра (5==-2пР(). Приравняв правые части выражений (2) и (3) и выразив из полу- ченного равенства искомый интервал Л1, получим Л1= б ч17 — 3 (4) дг ЙУ Найдем входящие в эту формулу величины Е, — и 5.
Момент дг импульса г.==Лог, где У вЂ” момент инерцнп цилиндра (У=гпР'); лг — его масса; ыг — угловая скорость внешнего цилиндра (юг=- =-2пп,). С учетом этого запишем (.=тР'2ппг=2ятР'пг. дг и Градиент скорости — ' = — = — . Площадь цилиндра равна 5= дг =2лР(. дг Подставив в (4) выражения 1., —, 5, получим Ог ' Л1 =- — -".
Заменив здесь и по (1), найдем ий3г (б) Динамическая вязкость воздуха 9==17,2 мкПа.с=!,72 10 'Па с (см. табл. !41. Подставив в (5) значения входящих в нее величин и произведя вычисления, получим 100 1О-г 2 1О г ! 2 3,14 1,72 !О '" 3 !О-г 10 1О-'20 Пример 6. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление р==-79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту й, полета неизменной.
Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с 1=5 'С до ! — 1 'С. Какую ошибку ЛЙ в определении высоты допустил летчик? Давление р, у поверхности Земли считать нормальным. Р е ш е н и е. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой р р е-мгг7!лт! 133 Барометр может показывать неизменное давление р при раз- личных температурах Т, и Т, за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте й (которую летчик считает неизмен- ной), а на некоторой другой высоте й,. Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев: р — р е-меь лаг ь р р е-меиг!ьят > Найдем отношение р,!р и обе части полученного равенства про- логарифмируем: РО М ьа1, а» Мкья !п — =- —; 1п — = — . а нт, р нт, Из полученных соотношений выразим высоты й, и й, и найдем их разность: Лй =й,— й, = Р !" 1"ед) !Т,— Т,), (1) Проверим, дает ли правая часть равенства (1) единицу длины: 1)?1 !Т) [! Джбмоль ° К)).К 1 Дж !М1!е) Н кг/моль) (м,'с') 1 Н Подставим в (1) значения величин (давления в отношении р»/р можно выразить в килопаскалях, это не повлияет на окончательный результат): Знак к — » означает, чтой,(6, и, следовательно, самолет снизился на 28,5 м по сравнению с предполагаемой высотой.
Задачи Распределение Больценана 10.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу т=10 " г. Во сколько раз уменьшится их концентрация п при увеличении высоты на Лй=-10 м? Температура воздуха Т=ЗОО К. 10.2. Одинаковые частицы массой»п=!0 " г каждая распределены в однородном гравитационном поле напряженностью 6= =0,2 мкН/кг. Определить отношение п,?п, концентраций частиц, находящихся на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от друга на Аз=10 м.
Температура Т во всех слоях считается одинаковой и равной 290 К. 10.3. Масса т каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна 1 аг. Отношение концентрации п, пылинок на высоте й,=-! м к концентрации и, их на высоте Й,==О равно 0,787. Температура воздуха Т=ЗОО К. Найти по этим данным значение постоянной Авогадро Мк. 10А.
Определить силу Р, действующую на частицу, находящуюся во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение п,?п» !34 концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на Лг=-1 м, равно е. Температуру Т считать везде одинаковой и равной 300 К. 10.5. На сколько уменыпится атмосферное давление р=--100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту й= = 100 м? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой. 10.6. На какой высоте й над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой, 10.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
