И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 40
Текст из файла (страница 40)
9.7: быстро повернуть ключ К из положения б в положение а. Энергия магнитного поля. Формула (9.29) выражает магнитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Однако и здесь, как и в случае электрической энергии заряженных тел, энергию можно выразить непосредственно через магнитную индукцию В. Убелимся, что это так сначала на простейшем примере длинного соленоида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффектами).
Подстановка в формулу (9,29) выражения Е = рр,п'сдает Из формул (9.30) и (9.31) следует, что магнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью (9.32) Отметим, что полученное выражение относится лишь к тем средам, для которых зависимость В от Н линейная, т. е. р в соотношении В = )ь)зоН не зависит от Н. Другими словами, выражения (9,3!) и (9.32) относятся только к пара- и диамагнетикам.
К ферромагнетикам они не применимы*. Отметим также, что магнитная энергия — величина существенно положительная. Это легко усмотреть из последних двух формул. Еше об обосновании формулы (9.32). Убедимся в справедливости этой формулы, рассуждая в «обратном» порндке, а именно покажем, что если формула (9.32) справедлива, то магнитная энергия контура с током )Р = ь/-/2 С этой целью рассмотрим магнитное поле произвольного конт>ра с током I (ряс. 9.(3). Представим все поле разделенным на элсмен тарные трубки, образующие которых являются лнниямн вектора В. Выделим в одной нз таких трубок элементарный объем АУ = бм5 В соответствии с формулой (932) в этом объеме локализована энергия '/»ВН6/35.
Теперь найдем энергию д)Р в объеме всей элементарной трубки Для этого проинтегрируем послЕднее выражение вдоль оси трубки. Поток АФ = Вд5 сквозь сечение трубки пос. тоянен вдоль всей трубки, поэтому АФ можно Вынести за знак интеграла: б(р = — (у//ш= / —, бб> с ААФ 2 () 2' Рнс. ! !.3 где использована теорема о циркуляции вектора Н (в нашем случае проекции Н, = и) И наконец, просуммир>ем энергию всех элементарных трубок: (Р= !У,/~ бб> = /ФУ2= /./'У2, где ц! — поЛный магнитный поток, охватываемый контуром с током, Ф = ЕД Это и требовалось показать.
* Это обусловлено тем, что н конечном счете выражения («ЕЗ() и (9.32) являются следствннми формулы бА«"» = /ВФ и того факта, что при отсутствии гистерезиса работа ЗА"" идет только на приращение магнитной энергии д(р. Лля ферромагнитной среды дело обстоит иначе: работа 6А»м идет еще и иа приращение внутренней энергии среды, т. е.
на ее иагревание. Определение индуктивности из выражения энергии. Мы ввели индуктивность 1. как коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком Ф н током !. Существует, однако, и другая возможность расчета 1. из выражения энергии. В самом деле, из сопоставления формул (9.31) и (9.29) следует, что при отсутствии ферромагнетика (9. 33) Нахождение Е таким путем свободно от неопределенности, связанной с вычислением магнитного потока Ф в формуле (9.14) — см.
с. 215. К каким расхождениям иногда приводит определение Т. по формуле (9.33) и из выражения потока (9.14), показано в задаче 9.9 на примере коаксиального кабеля. 9 9.9. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ДВУХ КОНТУРОВ С ТОКАМИ Собственная и взаимная энергии. Возьмем два неподвижных контура 1 и 2, расположив их достаточно близко друг к другу (чтобы была магнитная связь между ними), Предполагается, что в каждом контуре есть свой источник постоянной э.
д, с. Замкнем в момент 1 = О каждый нз контуров. Как в том, так и в другом контуре начнет устанавливаться свой ток и, следовательно, появятся э. д. с. самоиндукцни И", и э. д, с. взаимной индукции И',. Дополнительная работа, совершаемая при этом источникамн постоянной э. д. с. п р о т и в м, н м„идет, как мы уже знаем, на создание магнитной энергии, Найдем эту работу за время 31; (9н + Нл) ~! ~~1 (Им+ Ян) ~2 ~~1 Преобразуем эту формулу, учитывая, что Н'н= — (., б),/д(, 9Гл= 1 дб)2(б)ит д' а)г'= 7.,1, 61, + Е,21, о)9+ $.,12 Ыз+ ) 2,12 б)ь Имея в виду, что ) „ = Т.м, представим последнее уравнение в виде д йг = д (Е,!,!2) + д (Е ~!.„~2) + й (й д),l 3), откуда 19.34) Здесь первые два слагаемых называют с о б с т в е н н о й э н е р г и е й тока 1, и тока 1ь последнее слагаемое— в з а и м н о й э н е р г и е й обоих токов.
Взаимная энергия токов — величина алгебраическая в отличие от собственных энергий токов. Изменение направления одного из токов приводит к изменению знака взаимной энергии — последнего слагаемого в (9.34). Пример. Имеются два концентрических контура с токами /, и 1,, направления которых показаны на рис. 9.!4. Взаимная энергия этих токов ()р и = /.ы/,/э) зависит от Рис 9.ы трех алгебраических величин, знаки которых определяются выбором положительных направлений обхода обоих контуров. Полезно, однако, убедиться в том, что знак величины ((г,э (в данном случае Ж',4 - 0) определяется только взаимным направлением самих токов и совершенно не зависит от выбора положительных направлений обхода контуров.
Напомним, что о знаке величины / и говорилось в Э 9.4. Полевая трактовка энергии (9.34). Есть несколько важных вопросов, которые мы сможем решить, вычислив магнитную энергию двух контуров еще и иначе — с точки зрения локализации энергии в поле. Пусть В, — магнитное поле тока 1 ь а В, — поле тока /ь Тогда по принципу суперпозиции поле в каждой точке В = В, + В, и согласно (9.31) энергия поля этой системы токов )Р' = ~ (В '/2р/4,) с((/. Подставив сюда В '= В,'+ + В,,~+ 2В В „, получим (э.зв) Соответствие друг другу отдельных слагаемых в формулах (9.35) и (9.34) не вызывает сомнения. Формулы (9.34) н (9,35) приводят к таким важным следствиям.
!. Магнитная энергия системы двух (и более) токов— величина всегда положительная, (У/) О. Это вытекает из того факта, что (Г/ со ~ В' д(/, где под интегралом стоят положительные величины. 2. Энергия токов — величина не аддитивная (из-за наличия взаимной энергии). 3. Последний интеграл в (9.35) пропорционален произведению токов 1/ь так как В, сю 1, и В,со1,. Коэффициент 227 же пропорциональности (т.
е. оставшийся интеграл) ока- зывается симметричным относительно индексов ! и 2, а поэтому его можно обозначить !. „ или !.м (в соответ- ствии с формулой (9.34)). Таким образом, действительно М !'эе 4. Из выражения (9.35) вытекает другое определение взаимной индуктивности !. „. В самом деле, сопоставление выражений (935) и (9,34) показывает, что в,в, и (9.66) т,т2 иио 4 9.7. энеРГия и силы в мАГнитнОм пОле Наиболее общим методом определения сил в магнитном поле является энергетический.
В этом методе используют выражение для энергии магнитного поля. Ограничимся случаем, когда система состоит из двух контуров с токами!, и 1ь Магнитная энергия такой систе. мы может быть представлена в виде !р = '/, (1, а, + 1,аэ.,), где Ф, и Фа — полные магнитные потоки, пронизывающие контуры 1 и 2 соответственно. Это выражение нетрудно получить из формулы (9.34), если представить последнее слагаемое как сумму '/~!.
„1,1, + '/К „1,,1 и а затем учесть, что Ш ~ = 1- 1! ~ + !. м ! э ш ~ = ! 2 ! з + !. м ! ь (9. 38) Согласно закону сохранения энергии работа бА*, которую совершают источники тока, включенные в контуры! и 2, идет на теплоту 69, на приращение магнитной энергии системы б)9' (из-за движения контуров или изменения токов в них) и на механическую работу 6А „,„ (вследствие перемещения или деформации контуров): 6Л* = 6!) + о1г'+ 6Л„,„.
(9.39) Мы предположили, что емкость контуров пренебрежимо мала, и поэтому электрическую энергию учитывать не будем. В дальнейшем нас будет интересовать не вся работа источника тока ЬАь, а только та ее часть, которая совершается против э. д, с. индукции и самоиндукции (в каждом контуре). Эта работа (мы назвали ее дополнительной) равна 228 6А"" = — (9'и + У„) /, 6/ (У р+ М' ) / 6/. Учитывая что для каждого контура ЯГ, + а, = — 6Ф/г(/, перепишем, выражение для дополнительной работы в виде 6А"" = /, <НВ, + /и дФе (9.49) Именно эта часть работы источников тока (работа против э. д, с. индукции и самоиндукции), связанная с изменением потоков Ф, и Ф,, и идет на приращение магнитной энергии системы и на механическую работу: /, дФ, +/э ЛФз= АЖ+ 6А„„„.
(9.41) Зта формула является о с н о в н о й для расчета механической работы 6А„„, а из нее и сил в магнитном поле. Из формулы (9.4!) можно получить и более простые выражения для 6А „„, если считать, что в процессе перемещения остаются неизменными или все магнитные потоки сквозь контуры, нли токи в них. Рассмотрим это более подробно. 1.
Если потоки постоянны, Ф„ =- сопз1, то из (9.41) сразу следует, что [И „„= ~Ч ~е.]~ (9.42) гдс символ Ф подчеркивает, что приращение магнитной энергии системы должно быть вьшисленно при постоянных потоках через контуры. Полученная формула аналогична соответствующей ей (4.!5) для работы в электрическом поле. 2.
Если токи постоянны,/, = сопз1,то 6А „,„, = 69г)ь (9.43) действительно, при /, = сопз1 из формулы (9.37) следует, по 6®(г= /г(/~6Ф~+/тйФе), т. е. в этом случае приращение магнитной энергии системы Равно согласно (9.40) половине дополнительной работы источников э. д. с. Другая половина этой работы идет на совершение механической работы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
