И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Выбрав ось Х вправо, запишем уравнение движения перемычки ° 9.9. Вычисление индуктивности. Коаксиальный кабель состоит из внутреннего сплошного проводника радиусом а и наружной проводящей тонкостенной трубки радиусом Ь. Найти индуктивность единицы длины кабеля, считая распределение тока по сечению внутреннего проводника равномерным. Магнитная проницаемость всюду равна единице. Р е ш е н и е. В данном случае внутренний проводник не является тонким, поэтому определять индуктивность надо не через магнитный поток, а энергетически.
Согласно (9.33) !'гВт Е, = — ~ 2ягйг, ч р о где г — расстоиние от оси кабеля. Для вычисления этого интеграла надо найти зависимость В (г). С помощью теоремы о царкуяяции имеем: иь! и,! В,,= г,В., = — —,В, =О. (2) 2ла' '~'~' 2п г ' ' * Графический вид этих зависимостей показан на рис 9.24. С учетом (2) интеграл (!) разбивается на две части, и в результате интегрирования мы получим 2пХ 4 а)' Заметим, что определение этой величины через магнитный поток по формуле ).,„= Ф„// приводит к другому — неверному — результату, а именно вместо '/, в круглой скобке получается '/т. Чем тоньше центральный провод, т.
е. больше отношение Ь/а, тем меныце относительное различие результатов подсчета обоими способами: энергетически и нз потока. Рис. 9.24 Рис. 9.25 ° 9.10. Взаимная индукции. Имеется тороидальная катушка и проходящий по ее оси симметрии длинный прямой провод. Сечение катушки прямоугольное, его размеры указаны на рис. 9.25. Число витков катушки й!, магнитная проницаемость окружающей 238 среды равна единице. Найти амплитуду э. д. с., индуцируемой в этой катушке, если по прямому проводу течет переменный ток 1=1 соз ыс. Р е ш е н и е. Искомая э.
д. с. 9', = — бФ/б(, где Ф = МФы Ф, — магнитный поток сквозь поперечное сечение катушки- ь аь но"1 Ь Ф, =1 В„й5=1 — Райт= — 1и —, 2лт 2л а' О где В„определяется с помощью теоремы о циркуляции вектора В. Взяв производную Ф, по времени и умножив полученный результат на М, найдем следующее выражение для амплитуды э. д.
с. индукции: И„ьнт М У, = 1и —. 2л а' ° 9.11. Вычисление взаимной иидуктивности. Два соленоида одинаковой длины и приктически одинакового сечения вставлены полностью один в другой. Индуктивность соленоидов С1 и В г. Пренебрегая краевсими эффектами, найти их взаимную индуктивность (по модулю). Р е ш е н и е. По определению взаимная индуктивность бг = Ф,Г1г, (1) где Ф, — полный магнитный поток через все витки соленоида 1, если в соленоиде 2 течет ток 1г. Поток Ф, = М,Вг5, где М,— число витков в соленоиде 1; 5 — сечение соленоида; В г = = ррьпг(г.
Поэтому формулу (1) можно переписать так (после сокращения на1 ); ~1-4 = Н)ьопгМ~5 = рроп~пг)' (2) где учтено, что М, = и,1; 1 — длина соленоида и 15 = )т — его объем. Выражение (2) можно представить через С, и бг следующим образом: )1- г! = тг иаьп )т ч ааьпг)т= й,~~. Заметим, что это выражение определяет предельное (максимальное значение)(.,г(, вообще же)(.д((Й. ~( г). ° 9.12.
Теорема взаимности. В центре тонкой катушки радиусом а, содержащей М витков, находится небольшой цилиндрический ЦМ магнит М (рнс. 9.26). Катушка подключена к баллистическому гальванометру. Со- Рнс. 9.26 239 противление цепи й. После того как магнит белстро удалили из катушки, через гальванометр прошел заряд Ф //айти магни~ный момент магнита. Р е ш е н и е. В процессе удаления магнита полный магнитный поток через катушку изменялся, и в ней возник индукционный ток, определяемый уравнением йФ ш й! = — — — Š—. Ж й!' Умножим обе части этого уравнения на б/ и учтем, что 1 ю(/ = бд, тогда // ба = — ЛФ вЂ” /.
61: Проинтегрировав последнее выражение, получим //д = — ЛФ— — ЕЛ/. Теперь примем во внимание, что Л/ = О (ток был равен нулю как в начале, так и в конце процесса), поэтому ц = ЛФ/// = Ф///, (1) где Ф вЂ” магнитный поток через катушку в начале процесса (знак минус мы опустили — он не существен). Итак, задача свелась к определению потока Ф через катушку, Непосредственно определить эту величину мы не можем. Однако данную трудность можно преодолеть, воспользовавшись теоремой взаимности. Заменим мысленно магнит на небольшой виток с током, создающий в окружающем пространстве то же магнитное поле, что и магнит. Если площадь витка 5 и ток в нем I, то их произведение должно быть равно магнитному моменту р,„магнита; р„= 15.
По теореме взаимности /.м/= йм/, и вопрос сводится к нахождению магнитного потока через площадь 5 витка, который создает тот же ток 1, но текущий в катушке. Считая, что в пределах витка поле однородное, получим Ф = В5 = рюй//5/2а. (2) Остается подставить (2) в (1) и вспомнить, что /5 = р . Тогда д = рюй/р„/2а// и Р = 2а/сЧ/рюй'. Глава 1О УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ $10.1. ТОК СМЕИ\ЕНИЯ Открытие Максвелла.
Теория электромагнитного поля, начала которой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом. При этом одной из важнейших новых идей, выдвинутых Максвеллом, была мысль о симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей. А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное поле (дВ/д() создает электрическое поле, следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (дЕ/д1) создает магнитное поле. К этой идее о необходимости существования по сути нового явления индукции можно прийти путем, например, следующих рассуждений.
Мы знаем, что со- 8' Я' гласно теореме о циркуляции вектора Н ф Н д(=~1а5. (1ОП) ~,' ,",Ц " Применим эту тео- а) 6 рему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис, 10.1, а). В качестве контура Г возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, например 5 и 5'. Обе поверхности имеют «равные права», однако через поверхность 5 течет ток /, а через поверхность 5' не течет никакого тока1 Получается, что циркуляция вектора Н зависит оттого, какую поверхность мы натягиваем на данный контур (?.'), чего явно не может быть (в случае постоянных токов этого и не происходило).
А нельзя ли как-то изменить правую часть (!О.!), чтобы избежать этой неприятности? Оказывается, можно, и вот как. Первое, что мы замечаем, это то, что поверхность 5' «пронизывает» только электрическое поле. По теореме Гаусса поток вектора 0 сквозь замкнутую поверхность б? 0 б5 — д, откуда д0 дд — Ж = —.
щ щ (10.2) Сложив отдельно левые и правые части уравнений (10.2) и (10.3), получим 241 С другой стороны, согласно уравнению непрерывности (5.4) )аэ = — —. (1о.з) а ф(1+ а )вв=о. (!ом) Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для постоянного тока, Из него видно, что кроме плотности тока проводимости 1 имеется еще одно слагаемое д!э/дй размерность которого равна размерности плотности тока. Максвелл назвал это слагаемое плотностью т о к а смещения: (10.5) 1,„= д0/дд Сумму же тока проводимости и тока смещения называют пол ным током.
Его плотность дп д! ' Согласно (10.4) линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения. Сейчас мы убедимся в том, что введение полного тока устраняет трудность, связанную с зависимостью циркуляции вектора Н от выбора поверхности, натягиваемой на контур Г. Оказывается, для этого достаточно в правой части уравнения (10.1) вместо тока проводимости ввести полный ток, т. е. величину т„„,„= ')( 1+ — ) 45. (!0,7) В самом деле, правая часть (!0.7) представляет собой сумму тока проводимости 7 и тока смещения 1,„: 7„,„,= = 1+ 7„.
Покажем, что полный ток („„„будет одинаков и для поверхности 5, и для поверхности 5', натянутых на один и тот же контур Г. Для этого применим (!0.4) к замкнутой поверхности, составленной из поверхностей 5 и 5' (рис. 10.1, б). Учитывая, что для замкнутой поверхности нормаль п направлена наружу, запишем 7„„„(5') +1„„„(5) = О. что и требовалось доказать. Итак, теорему о циркуляции вектора Н, которая была Теперь, если обернуть нормаль и' для поверхности 5' в ту же сторону, что и для 5, то первое слагаемое в последнем уравнении изменит знак, и мы получим 7....
(50=7.... (5), установлена для постоянных токов, можно обобсцить для произвольного случая и записать (10.9) В таком виде теорема о циркуляции вектора Н справедлива всегда, свидетельством чему является согласие этого уравнения с результатами опыта во всех без исключения случаях. Диффереиннальная форма уравнения (10.81: ХтХ Н=1+ —, д1У дс ' (10.9) е.
ротор вектора Н онределяется плотностью тока проводимости 1 тока смещения до/дс в той же точке. Несколько замечаний о токе смещения. Следует иметь виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости олько в отношении способности создавать магнитное оле. Токи смеШения существуют лишь там, где меняется со ременем электрическое поле. В диэлектриках ток смещепя состоит из двух существенно различных слагаемых. ак как вектор 0 = е„Е+ Р, то отсюда видно, что плот- ость тока смешения д0/д( складывается из «истинного» ока смешения еодЕ/д( и тока поляризации Р/д( — величины, обусловленной движением связанных арядов. В том, что токи поляризации возбуждают магнитое поле, нет ничего неожиданного, ибо эти токи по прирое своей не отличаются от токов проводимости. Принцииально новое содержится в утверждении, что и другая асть тока смещения (еодЕттд(), которая не связана ии каким движением зарядов, а обусловлена только изменением электрического поля, также возбуждает магнитное поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
