И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 44
Текст из файла (страница 44)
10.3), а затем стянем этот контур в точку, оставляя поверхность 5 конечной. В пределе циркуляция с!) Н б! обращается в нуль, поверхность 5 становится замкнутой и первое из уравнений (10.11) перейдет в $ (1+ —,) 88 = о. Отсюда следует, что 148= — — с~1088= — —, д с дч лс Сз' ас' а это и есть не что иное, как уравнение непрерывности (5.4), которое утверждает, что ток, вытекающий из объема У через замкнутую поверхность 5, равен убыли заряда в единицу времени внутри этого объема )с. Тот же закон (уравнение непрерывности) можно получить и из дифференциальных уравнений Максвелла. Достаточно взять дивергенцию от обеих частей первого из уравнех ний (10.14) и воспользоваться вторым l из уравнений (10.13), и мы получим '7 ° 1 = — др/дб с Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. с Они являются релятивистски инвариантными.
Это есть следствие принРис. !ЦЗ ципа относительности, согласно которо- 248 му все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвелла (относительно преобразований Лоренца) подтверждается многочисленными опытными данными. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам.
Как при этом преобразуются векторы Е и В, мы выяснили в гл. 8. Итак, уравнения Максвелла являются правильными релятивистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики (-!ьютона. О симметрии уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено опять же тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных (насколько известно в настоящее время). Вместе с тем в нейтральной однородной непроводящей среде, где р = О и ! = О, уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т. е. Е так связано с дВ/дй как В с дЕ/дй Х7ХЕ= — дВ/дй Х7 ° Р=О, Х7 Х Н = дР/дй Х7 ° В = О.
Симметрия уравнений относительно электрического и магнитного полей не распространяется лишь на знак перед производными дВ/д! и дР/дй Различие в знаках перед этими производными показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного изменением поля В, образуют с вектором дВ/д! левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением Р, образуют с вектором дР/д! правовинтовую систему ( рис.
! 0.4) . О электромагнитных волнах, Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно — без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Е Н Рис. !0.4 249 Поля такого рода называют эл е к т р о м а г н и т н ы м и вол н а м и. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света с. Выяснилось также, что ток смещения (д0/д1) играет в этом явлении первостепенную роль.
Именно его присутствие наряду с величиной дВ/д1 и означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться — электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве. Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства, а именно: любая электромагнитная волна независимо от ее конкретной формы (это может быть гармоническая волна или электромагнитное возмущение произвольной формы) характеризуется следующими общими свойствами: 1) ее скорость распространения в непроводяшей нейтральной неферромагнитной среде и = с/-~ си, где с = 1/~/ сенс, (10.19) 2) векторы Е, В и т (скорость волны) в з а и м н о перпендикулярны и образуют правовинтов у ю с и с те му (рис.
10.5). Такое правовинтовое соотношение является внутренним свойством электромагнитной волны, не зависящим ни от какой координатной системы; 3) в электромагнитной волне векторы Е и В всегда колеблются в одинаковых фазах (рис. 1О.б, где показана мгновенная «фотография» волны), причем между Рис. 1О.б Рис. ~б.б мгновенными значениями Е и В в любой точке существует определенная связь, а именно Е= оВ, или 'т'еецЕ= 1(рреН.
(10.20) 250 Это значит, что Е и и (или В) одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д. Понимание того, что из дифференциальных уравнений ((0.)8) вытекала возможность существования электромагнитных волн, позволило Максвеллу с блестящим успехом развить электромагнитную теорию света. 4 104.
ЭНЕРГИЯ И ПОТОК ЭНЕРГИИ. ВЕКТОР ПОЙНТИНГА Теорема Пойнтиига. Исходя из представления о локализации энергии в самом поле и рукоиодствуясь принципом сохранения энергии, мы должны заключить, что если в какой-то определенной области энергия уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытекания» через границы рассматриваемой области (среда предполагается неподвижной).
В этом отношении существует формальная аналогия с законом сохранения заряда — уравнением (5.4), Смысл этого закона в том, что убыль заряда в данном объеме за единицу времени равна потоку вектора ! сквозь поверхность, охватывающую этот объем. Так и в случае закона сохранения энергии следует признать, что существует не только плотность энергии ю в данной области, но и некоторый вектор Ь, характеризующий плотность потока энергии.
Если говорить только об энергии электромагнитного поля, то его полная энергия в данном объеме будет изменяться как за счет вытекания ее из объема, так и за счет того, что поле передает свою энергию веществу (заряженным частицам), т. е. производит работу над веществом. Макроскопически это утверждение можно записать так: (10.21) где дА — элемент поверхности. Это уравнение выражает теорему Пойнтинга; убыль энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом, плюс работа в единицу времени (т.
е, мощность Р), которую поле производит над зарядами вещества внутри данного объема. В уравнении ((0.2!) (Р' = ~ ю г((т, ю — плотность энергии поля, Р = ~ )Е д(т, ! — плотность тока, Š— напряженность электрического поля, Приведенное выражение для Р 201 еп Ви м = — + —. 2 2 (10.22) Заметим, что отдельные слагаемые этого выражения мы получили ранее [см.
(4.10) и (9.32)). Плотность же потока энергии электромагнитного поля — вектор, называемый в е к т о р о м П о й н т и нг а, — определяется как $ =(ЕИ]. (10.23) Строго говоря, для обеих величин, ш и $, нз уравнений Максвелла нельзя получить однозначных выражений; приведенные выражения являются простейшими из бесконечного числа возможных. Мы должны поэтому рассматривать эти выражения как постулаты, справедливость которых должна быть подтверждена согласием выводимых из них следствий с опытом.
На нескольких примерах мы увидим, что хотя результаты„получаемые с помощью последних двух формул, иногда выглядят странными, обнаружить в них чего-то невероятного, какого-либо расхождения с опытом не удается. А это и является свидетельством тому, что оба выражения правильные. 252 можно получить так.
За время б( поле Е совершит над точечным зарядом д работу бА = дЕ ° и фй где ц — скорость заряда. Отсюда мощность силы дЕ равна Р = диЕ. Переходя к распределению зарядов, заменим д на р цк', р — объемная плотность заряда. Тогда дР= рцЕ дГ= = )Е дГ. Остается проинтегрировать бР по интересующему нас объему. Следует отметить, что мощность Р в (10.21) может быть как положительной, так и отрицательной. Последнее имеет место в тех случаях, когда положительные заряды в веществе движутся против направления поля Е или отрицательные — в противоположном направлении. Например, так обстоит дело в точках среды, где помимо электрического поля Е действует и поле Е* сторонних сил. В этих точках 1 = о (Е+ Е*), н если Ек () Е и по модулю Е~ ) Е, то )Е в выражении для Р оказывается отрицательным.
Пойнтииг получил выражения для плотности энергии ш и вектора Ь, воспользовавшись уравнениями Максвелла (этот вывод мы приводить не будем). Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т. е. нет явления гистерезиса), то плотность энергии электромагнитного поля Пример !. Поток энергнн в электромагнитной волне (в вакууме). Вычислим энергию д(ут, проходящую эа время й !ереэ единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Если в месте нахождения этой площадки известны значения ЕнВ,то где ю — плотность энергии, ю = ееЕ /2+ реН /2.
Для элек~ро- 2 х магнитной волны в соответствии с (10.20) э аоЕ = ИаН Это значнт, что в электромагнитной волне плотность электрической энергии в любой момент равна плотности магнитной энергии в той же точке, и можно записать для плотности энергии: ю=еОЕ. А тогда д(Р = ееЕ с й = х(сее/РеЕ й. Теперь выясним, что мы получим, если воспользуемся вектором Пойнтинга. Эту же величину дВ' можно представить через модуль вектора $ так: дуге = Я й = ЕН й = ч!(е /р~Е й. Таким образом, оба выражения — для ю и $ — приводят к одинаковому результату (последние две формулы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
