И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Иначе говоря, при постоянстве токов г) (9'(, = 6А „,„, что и требовалось показать. Необходимо подчеркнуть, что оба полученные нами выражения (9.42) и (9.43) определяют механическую работу одной и той жс силы, т. е. можно написать: (9.44) Для вычисления силы с помощью этих формул, конечно, нет необходимости подбирать такой режим, при котором обязательно оставались бы постоянными или магнитные потоки, или токи. Надо просто найти приращение д(ьт магии~ной энергии системы при условии, что либо Ф „ = = сопз(, либо I„ = сопз(, а это является чисто математической операцией.
Ценность полученных выражений (9.42) и (9.43) в их общности: они пригодны для системы, состоящей из любого числа контуров — одного, двух и т. д, Рассмотрим несколько примеров на применение этих формул. Пример !. Сила в случае одного контура с током. Имеется контур с током, у которого А — подвижная перемычки (рис. 9.!5). Индуктивность этого контура зависит определеннььи образом от координаты х, т.
е. известно Е (х). Найти силу А.чпери, действующую на перемычку, двумя способами; при 1 = сопз! и при Ф = сопз!. В нашем случае магнитную энергию системы можно представить согласно (9.29): %'= Е! 12 = Ф~/21., где Ф = 1.1. Переместим перемычку, например, вправо на дх. Так как бА „,„= Р„дх, то дгтт !т дЕ р,= — ( дх ' 2 дх' или дФ' Фг дЕ 1т дЕ дх ь 2Е'-' дх 2 дх т. е. расчет по обеим формулам согласно (9.44) дает один н тот же результат. Пример 2. Взаимодействие двух катушек с токами. На немагнитный сердечник (рис.
9. !6) надеты катушки 1 и 2 с токами 1, и 1,. Пусть взаимная индуктивность катушек зависит от расстояния х между ними по известному закону Е и (х). Найти силу взаимодействия между катушками. 230 Ркс. 9дб Ркс. 9дб Магнитная энергия системы из двух катушек даетси формулой (9.34). /(ля определения силы взаимодействия будем пользоваться выражением (9.43).
Сместим катушку 2 на расстояние бх при неизменных токах 1, и 1 . Соответствующее приращение магнитной энергии системы г(Ф')г = / /з 66,э (х). Так как элементарная механическая работа 6А „,„ = Гэ„ бх, то согласно (9.43) получим д/и(х) 2 ~ 2 дх Пусть токи /, и /з подмагничивают друг друга, тогда 1 м ) О и при дх> О приращение г(1 м < О, т.
с. Е „С О. Следовательно, сила, действующая на катушку 2 со стороны катушки 1, является силой притяжения: вектор Гэ направлен влево на рисунке. Пример 3. Магнитное давление на обмотку соленоида. Увеличим мысленно радиус сечения соленоида на бг, сохраняя при этом неизменным ток /через обмотку. Тогда силы Ампера совеРшат РаботУ 6А „,„= г( 92 (ь В пашем слУчае 6Л „,„=- р5 бг, где р — искомое давление, 5 — боковая поверхность соленоида; гВ х Н' д кг(, = 6 ~ Ь') = — 5 пг. ~, 2н, ) 2п, Здесь учтено, что при ! = сонэ( и В = сонэ(. Из равенства двух этих выражений находим Р= В !2нм Магнитное давление. Полученное в последнем примере выражение для давления можно обобщить на случай, когда по разные стороны от поверхности с током (током проводимости или током намагничивания) магнитное поле 231 В Рис. 9.!8 Рис. 9.!у Теперь найдем соответствующее приращение магнитного потока сквозь контур.
С этой целью обратимся к рис. 9.18. Пусть за время д! наш контур переместился из положения Г, в положение Ге Если в первом положении магнитный поток через поверхность 5 н натянутую на контур, был равен Ф н то соотаетствук>щий магнитный поток во втором положении контура может быть представлен как Ф, + бФ, т. е. как поток через поверхность 5 + с)5. Здесь бФ вЂ” интересующее нас приращение магнитного потока сквозь узкую полоску о5,.ограниченную контурами Г, и Гз.
С помощью рис. 9,18 запишем бФ=~ Вдз=~ В]бг,й(]= — !~1]дг,В]Л. (2) Здесь: 1) направление нормали и согласовано с направлением обхода контура — вектором д! (правовинтовая система); 2) направление вектора дз — элемента площади полоски — согласовано с выбором нормалей и; 3) использована циклическая перестановка в смешанном произведении: а ] Ьс] = Ь ]са] = с ] аЬ] = — ] Ьа] с. Разделив выражение (2) на Ж, найдем дФ/дг = — !)> ]чВ] 81, (3) где ч = дг/дй Остается сравнить (3) с (!), откуда и следует, что У, = — дФ/Ы ° 9.3.
Плоская спираль с большим числом свитков, плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости спирали (рис. 9.!9). Наружный радиус витков спирало ровен а. Магнитное поле изменяется во времени по закону В = Вь з)п ый Найти амплитудное значение з. д. с. индукции, наведенной в спирали. Р е ш е н и е. Ввиду того что каждый виток спирали практически не отличается от окружности, в нем наводится э. д, с. индукции е, = — бФ/д! = — пг Вьы соз ый 2 где г — радиус рассматриваемого витка.
На интервал значений радиуса дг приходится число витков ОМ = (М/а) дт, Витки соединены последовательно, поэтому полная э. д. с. индукции в спирали У, = ~ е,(г) ОМ. Проинтегрировав, получим следующее выражение для амплитудного значения э. д. с. индукции: Рнс. 9д9 = '/зпа МВььь ° 9.4. Внутри длинного соленоида находится катушка из М витков с площадью поперечного сечения 5. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью ы вокруг оси, совпадак~щей с ее диаметром и перпендикулярной оси соленоида.
При этом магнитное поле в соленоиде меняется во времени как В = В ь з)п ы1. Найти э. д. с. индукции в катушке, если в момент 1 = 0 ось катушки совпадала с осью соленоида. Р е ш е н и е. В момент 1 полный магнитный поток сквозь катушку гй = МВ5 соз ы1= МВ,5 гйп ы1 ° соэ ы1 = '/эМВв5 з|п 2ы1. Согласно закону электромагнитной индукции У, = — дйт/д1 = — '/гМВь5 ° 2ы соз 2ыг = — МВь5ы соз 2ы1. ° 9.5. Бетатронное условие, Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по орбите постоянного радиуса гь при условии, что магнитное поле на орбите Вь равно половине среднего по площади внутри орбиты значения магнитного поля (В). т. е.
Вь = /э(В) Р е ш е н и е. Представим релятивистское уравнение движения электрона др/д1 = еЕ + е) чВь), где Š— вихревое электрическое поле, в проекциях на касательную т и нормаль п к траектории. Для этого запишем импульс электрона как р = рт и найдем его производную по времени: йр йр — ат йр - ьэ т+р = — т+т — п, (2) йт йг йг "1 го где учтено, что р = гпч, гп — релятивистская масса, и дт/дг = = (о/гь) п, в чем нетрудно убедиться с помощью рис. 9.20. Действительно, дт = д~р п = (од1/г ) и, и дальнейшее очевидно. Кроме того, согласно закону электромагнитной индукции 234 та б Е = — — (В).
2 б! (3) Теперь запишем уравнение (!) с учетом формул (2) и (3) в проекциях на касательную и нормаль к траектории: (4) леднев уравнение можно переписать после сокращения на о иде р = етьВь. Продифференцируем зто уравнение по времени, приняв во внимание, что те = сопз(: бр бВ а — = ег б! О б! зктически зто достигается путем изготовления полюсных наечников специального вида (в форме усеченных конусов).
Рис. 9.20 Рнс. 9.2! ° 9.6. Индукционный ток. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой длинныи проводник с постоянным такал! )в лежат в одной плоскости (рис. 9.2! ), Индуктивность рамки 1., ее сопротивление т(. Рамку повернули на 180' вокруг оси 00' 235 2пгоЕ = !бФ!'М, где Ф = пте (В) . Отсюда бр ь б — = еЕ = е — — (В), б! = = 2 б! ь' гл — = еьВ,. ть Из сравнения выражений (5) и (4) получаем — В = — — (В>. б! " 2 б! В частности, последнее условие будет выполнено, если в,= 'у, (в).
! 2 ! ! л и остановили. Найти количество электричества, протекшее рамке. Расстояние Ь между осью 00' и прямым проводникол предполагается известным, Р е ш е н и е. Согласно закону Ома в процессе поворота рам. ки ток ! в ней определяется по формуле йф б! р! = — — — е —. й! Ф Поэтому искомое количество электричества 1 г ! о = ~ ! й! = — — ~ (йф+ !. й!) = — — (Дф+ Ь б!).
В~ В Поскольку рамку после поворота остановили, ток в ней пре- кратился и, следовательно, б! = О. Остается выяснить, чему равно приращение потока ЛФ сквозь рамку(ЛФ = Фт — Ф,). Выберем нормаль п к плоскости рамки, например, так, чтобы а конечном положении и было направлено за плоскость рисунка (в сторону В). Тогда нетрудно видеть, что в конечном положении Ф, ) О, а в начальном Ф, ( О (нормаль направлена против В),и бФ оказывается равным просто потоку через площадь, ограни. чеиную конечным и начальным положениями рамки: а-~-а бф = Фт + )Ф,) = ~ Ва г(т, Ь вЂ” а где В является функцией т, вид которой можно легко найти с по. мощью теоремы о циркуляции. Окончательно получим, опуская знак минус: Дф паата Ь+а !и й 2пу Ь вЂ” а' Найденная величина, как видим, от индуктнвности контура не зависит (а случае если бы контур был сверхпроводящим, дело бы обстояло иначе).
° 9.7. Перемычка )2 массы гп скользит без трения по двум длинным проводящим рельсам, расположенным на расстоннии ! друг от друга (рис, 9.22). Система накодится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура. Левые концы рельсов замкнуты через сопротивление Я. В момент ! = О перемычке !2 сообщили вправо начальную скорость ое. Пренебрегая сопротивлением рельсов и перемычки, а также сомоиндукцией контура, найти скорость перемычки в зависимости от времени !. Р е ш е н и е.
Выберем положительное направление нормали к плоскости контура за рисунок (от нас) . Это значит, что положительное направление обхода контура (для э. д. с. индукции и тока) мы взяли по часовой стрелке — а соответствии с правилом правого винта. Из закона Ома следует: йф йб й! = — = —  — = — Вга, Й и! (!) где учтено, что при движении перемычки вправо бФ О. и до/д! = ПВ, (2) где справа записана проекция силы Ампера на ось Х (эта величина является отрицательной, но знак минус мы не пишем, ибо, как видно вз (1), ток ! (О).
Исключив ! из уравнений (! ) и (2), получим до/о = — а 6(. а = В ! /п1В. Интегрирование этого выражения с учетом начальных условий дает )и (о!во) = — аI, о = оэе ° Роль переходных процессов. В стене (рис. 9.23) известны э. д. с. е источника, его онутреннее сопротивление т! и ондуктив.
ности сверхпроводящих катушек В, и В . Найти устиновнвшиесн токи в катуиткак после зи,чыканил клюни К. Рис. 9.22 Рис. 9.23 Р е ш е н и е. Воспользуемся правилами Кирхгофа для кон. туров 97., и 97. э: 6г, 6тт И=У вЂ” б —, У!=У вЂ” б 6! ' 1 6! Из сравнения этих выражений видно, что В установившихся токов )- ~ ! ~о = В э! то. Кроме того, ~ д! ~ —— !.э 6(э, а для ! ~о+ )эа = (о = в!а. Из уравнений (!) и (2) найдем: е г| е ~а !. ! ) ! и (2) Индукционный ток ! согласно правилу Ленца вызывает противодействующую движению силу Ампера — она будет направлена влево.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
