И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В К-системе отсчета имеются однородные электрическоее Е и магнитное В поля одного направления. Найти модули векторов Е' и В' и угол между ними в К'-системе отсчета, движущейся с ностоннной релятивистской скоростью чь в направлении, перпендикулярном векторам Е и В. Р е ш е н и е. Согласно формулам (8.1) в К'-системе отсчета оба вектора Е' и В' будут также расположены перпендикулярно вектору чь (рис. 8.10). Модули векторов Е' и В' находим оо формулам: Е'+ (о,))' I В'+ (ь Е/ст) Е' = В'= ' — ("/') у ! — (в /с) Угол между векторами Е' н В' определим через тангенс по формуле 1д а' =- 19 (аг + ан) = (1д ае + 19 ав)/(1 — 1д ас 1д ав). Поскольку 1д аг = о ьВ/Е и 1д ав — — о ьЕ/с В (рис.
8 10), то ь(В + Е /с") (1 — Рт) ЕВ Отсюда видно, что при оь- с(8-«1) угол а'-ни/2. Можно сделать и обратное заключение: если в одной системе отсчета известны Е и В, причем угол между этими векторами меньше 90", то существуют системы отсчета, где оба вектора Е' и В' взаимно параллельны. ° 8.9. Инвариант ЕВ. Показать с помощью формул преобразования (8.!), что величина ЕВ является инвариантом.
Р е ш е н и е. В К'-системе отсчета это произведение Е'В'= (Е1+ Е,) (В„+ В») = Е!Вц+ Е, В . (1) Перепишем последнее слагаемое с помощью формул (8.!): (Е» + [чьВ 1) (В» — [чаЕ ]/с') рт Учитывая, что векторы Е» и В» перпендикулярны вектору чь, преобразуем ~ислитель выражения (2) к виду Е»В» — (оь/с) Е»В» = Е»В» (1 — 8 ), (3) где использован тот факт, что [чьВ х] ° [чьЕх] = оьВхЕхсоза= 2 = озьВ хЕх (рис. 8.11). Остальные два скалярных произведения в (2) равны нулю, поскольку векторы взаимно перпендикулярны. Таким образом, правая часть равенства (!) приобретает следующий вид: Е1!В!+ ЕхВ„= Е!В!+ + Еэ Вэ —— ЕВ, что и требовалось показать.
° 8.10. Поле Е равномерно движущегося заряда. Точечньзй заряд д движется Рис. 8.! ! равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью ч. Найти напряженность Е поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен г и составляет угол 0 с вектором ч. Р е щ е н и с. Пусть заряд движется в положительном направлении оси Х К-системы отсчета. Перейдем в К'-систему, в начале координат которой этот заряд покоится (оси Х' и Х обеих систем совпадают, осн У' и У вЂ” параллельны). В К'-системе поле Е' заряда имеет наиболее простой вид 1 ч Е' = — — г', 4ле, г' и в плоскости Х' У' 1 В,, 1 д (1) 4льа г'' ' з 4лез „ з Теперь совершим обратный переход в исходную К-систему, которая движется относительно К'-системы со скоростью — ч.
В момент, когда заряд проходит через начало координат К-системы, проекции х и у вектора г связаны с проекциями х' и у' вектора г' следующими соотношениями; х = г саз 0 = х' и'1 — рз, у = г з1п 0 = у', (2) где 8 = о/с. Здесь учтено, что продольные размеры испытывают лоренцево сокращение, поперечные же не меняются. Кроме того, согласно преобразованиям, обратным (8.2), Е„= Е'„, Е„= Е'„/4 — !)', Подставив сюда выражения (1), а в них вместо х' и у' соответствующие выражения из формул (2), получим ! д х 1 Ч у Е , Е 4лзз г'з [! рз' " 4лзз г'з .ЧТ! рз 204 Заметим, что Е,/Е = х/у, т.
е. вектор Е направлен радиально, вдоль вектора г. Дело обстоит так, как если бы эффект запаздывания вообще отсутствовал. Но это имеет место только в случае ч = сопз1, если же заряд движется с ускорением, поле Е оказывается не радиальным. Остается найти модуль вектора Е: 1 ! 22 х2 + уг 4ле т 3 2»/ 1 — р' Так как х + у = гг и согласно (2) га ге (2 2+у 2) тг , ! — 822!пгОЧ 1 — Р' ) то напряженность 1 д 1 — рг Е= —— 4ле гг ( „г )322 ' ° 8.11.
Взаимодействие двух движущихся зарядов. Две релятивистские частицы с одинаковым зарядом д движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью и, как показано на рис, 8.12. Расстояние между частицами !. Воспользовавшись выражением (8.7), найти силу взаимодействия между частицами. Р е ш е н и е. В данном случае угол между вектором ч одной из частиц и направлением на другую частицу б = 90', поэтому электрическая часть силы Лоренца в соответствии с формулой (8.7) в 2 гг р,= а=†(1) 4лее !г т)! Рг и магнитная часть силы Лоренца !3 42 2 Р„= Вту= — ' (2) 4л !г )'! 52 ' Рис. 8.12 где принято во внимание, что в нашем случае В связано с Е формулой (8,5), из которой В = иЕ/с, с = !/сере.
Заметим, что отношение реи = ( 'с), как н в нерелятивистском случае (65) Видно, чт«гч и с магнитная часть силы Г„-». 7'и Результирующая сила взаимодействия (отталкивання) — — 2 р=р — р = — — )~ — рг 4лее 12 205 Глава 9 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ $9Л. ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ.
ПРАВИЛО ЛЕНЦА В предыдущей главе мы установили, что существует электромагнитное поле, соотношение между «компонентами» которого — электрическим и магнитным полями — в решающей степени зависит от системы отсчета. Другими словами, обе компоненты эзсктромагнитного поля связаны друг с другом. В этой главе мы увидим, что существует еше более глубокая связь между Е- и В-полямн и обнаруживается она в явлениях электромагнитной индукции.
Открытие Фарадея. В !83! г, Фарадеем было сделано одно из наиболее фундаментальных открытий в электро- динамике — явление э л е к т р о м а г н и т н о й и н д у кц и и. Оно заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока (т. е. потока вектора В), охватываемого этим контуром, возникает электрический ток — его назвали и н д у к ц и о н н ы м. Появление индукционного тока означает, что при изменении магнитного потока в контуре возникает э. д. с. и н д у к ц и н Й'и При этом весьма замечателен тот факт, что в, совершенно не зависит от того, каким образом осуществляется изменение магнитного потока Ф, и определяется лишь скоростью его изменения, т.
е. величиной бФ/Ж. И еще, изменение знака производной бФ/д! приводит к изменению знака или «направления» К Уг Фарадей обнаружил, что инр дукционный ток можно вызвать двумя различными способами, Дальнейшее поясняет рис. 9.1, где изображены катушка К с током 1 (она создает магнитное поле) и рамка Р с гальванометром à — индикатором инРис.
9.! дукционного тока. 206 т'-й способ — перемещение рамки Р (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки К. 2-й способ — рамка Р неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет движения катушки К, или вследствие изменения силы тока 7 в ней, или в результате того и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Г будет показывать наличие индукционного тока в рамке Р. Правило Ленца.
Иаправление индукционного тока (а значит, и знак э. д. с. индукции) определяется п р а в ил о м Л е н ц а: индукционный ток всегда направлен так, чтобгя противодействовать причине, гго вызывающей. Иначе говоря, индукционный ток создает магнитный поток, препятствующий изменению магнитного потока, вызывающего э. д. с. индукции. Если, например, рамку Р (рис. 9.1) приближать к катушке К, то магнитный поток сквозь рамку возрастает. При этом в рамке возникает индукционный ток, направленный по часовой стрелке (если смотреть справа на рамку), Этот ток создает магнитный поток, «направленный» влево, он и препятствует возрастанию магнитного потока, вызывающего этот ток. То же произойдет, если увеличивать силу тока в катушке К, оставляя катушку и рамку Р неподвижными. При уменьшении же силы тока в катушке К индукционный ток в рамке Р изменит свое направление на противоположное (против часовой стрелки, если смотреть справа).
Правило Ленца выражает существенный физический факт — стремление системы противодействовать изменению ее состояния (электромагннтная инерция). Закон электромагнитной индукции. Согласно этому закону, какова бы ни была причина изменения магнитного потока, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре э.
д. с. индукции определяется формулой Знак минус в этом уравнении связан с определенным правилом знаков. Знак магнитного потока Ф связан с выбором нормали к поверхности 5, ограниченной рассматриваемым контуром, а знак э. д. с. индукции У, — с выбором положительного направления обхода по контуру. Здесь предполагается (как и ранее), что направление нормали и к поверхности 5 и положительное направление обхода контура связаны друг с другом правилом правого винта* (рис. 9.2). Поэтому, выбирая (произвольно) направление нормали,мы определяем как знак потока Ф, так и знак (а значит, Рнс92и«напРавление»)э.л.с,инДУкиин'~г При сделанном нами выборе положи- тельных направлений — в соответствии с правилом правого винта — величины Уг и с)Ф/й имеют противоположные знаки.
Единицей магнитного потока является в е б е р (Вб). При скорости изменения магнитного потока 1 Вб/с в контуре индуцируется э. д. с., равная 1 В [см. (9.!) ). Полный магнитный поток (потокосцепление). Если замкнутый контур, в котором индуцируется э. д. с., состоит не из одного витка, а из М витков (например, катушка), то У, будет равна сумме э.
д. с., индуцируемых в каждом из витков. И если магнитный поток, охватываемый каждым витком, одинаков и равен Ф и то суммарный поток Ф сквозь поверхность, натянутую на такой сложный контур, можно представить как (9.2) Ф=МФп Эту величину называют полным магнитным п о т о к о м или п о т о к о с ц е п л е н и е и.
В этом случае соответствующая э. д. с. индукции в контуре определяется согласно (9.1) формулой бФ, тг, = — м — '. (9.3) бт 1 9.2. природа элентромдгнитнон индукции Теперь мы должны разобраться в тех физических причинах, которые приводят к возникновению э. д. с. индукции, и попытаться вывести закон индукции (9.1) из того, что нам уже известно. Рассмотрим последовательно два случая, Контур движется в постоянном магнитном поле. Прежде всего обратимся к контуру с подвижной перемычкой длиной 1 (рис. 9.3). Пусть он находится в однородном * Если бы оба зги направления были связаны правилом левого винта, знака минус в уравнении (9.1) просто не было бы.
208 магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. Начнем двигать перемычку вправо со скоростью ч. С такой же скоростью начнут двигаться и носители тока в перемычке — электроны. В результате на каждый электрон начнет действовать вдоль перемычки магнитная си- Рнс. 9.3 ла Г = — е [чВ) и электроны начнут перемещаться по перемычке вниз— потечет ток, направленный вверх. Это и есть индукционный ток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
