И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 33
Текст из файла (страница 33)
7.23 Рис. 7.22 Р е ш е н и е. Согласно теореме о циркуляции вектора Н по окружности диаметром д (см. рнс. 7.22) имеем (пс( — Ь) Н + ЬНь — — Н!, где Н и Нь — модули вектора Н соответственно в железе и прорези. Кроме того, отсутствие рассеяния поля на краях прорези означает, что в в. 185 Из этих двух уравнений с учетом того, что В ррьН и Ь « й, получим пВВ и,И вЂ” ЬВ ° 7.8. Сила, действующая на магнетик. В установке (рис. 7.24) с помощью весов измеряют силу, с которой небольшой пари- магнитный шарик объемом У притягивиется к полюсу магнита М. Магнитная индукция на оси полюсного наконечники зависит от высоты х как В = Вье '", где Вь и а — постоянные. Найти: 1) на какой вьюоте х надо поместить шарик, чтобы сила притяжения была максимальной; 2) магнитную восприимчивость парамагнетика, если максимальная сила притяжения равна р Р е ш е н и е.
!. Пусть для определенности вектор В на оси направлен вверх, туда же направим и ось Х. Тогда согласно (6.34) Р, = рьдВ/дх, где учтено, что магнитный момент р направлен туда же, куда и вектор В (для парамагнетика), поэтому дй заменено на дх. Далее, так как р = /У = тНУ и дВ/дх = — 2аВ хе, то — зьт Г Р„= — Ахе гдеА = 2аВьуУ/ррь. Вычислив производную дг"„/дх и приравняв ее к нулю, получим следующее уравнение для определения х „: ! — 4ах = О, откуда х = 1/з)4а. (2) 2. После подстановки (2) в (1) найдем где учтено, что для парамагнетика р — 1.
° 7.9. Длинный тонкий цилиндрический стержень из пара- магнетика с магнитной восприимчивостью х и площадью поперечного сечения В расположен вдоль оси катушки с током. Один конец стержня находится в центре катушки, где магнитное поле равно В, а другой конец — в области, где магнитное поле практически отсутствует. С какой силой катушка действует на стержень? Ре ш е н и е. Выделим мысленно элемент стержня длиной дх (рис. 7.25), На него действует сила дВ, йу, = вр дп ' Пусть вектор В на оси катушки направлен вправо (на рисунке), в сторону положительных х.
Тогда В, = = В, дп = дх, н так как бр„= = 75 бх = хН5 бх, то дВ х5 йр. = ХН5 дх — = — В 8В. дх ии, Рнс. 7,24 Рнс. 7.28 Проинтегрировав зто выражение, получим а Р,= — ~ ВдВ= — —. х5 г х5Вт Знак минус показывает, что вектор Г направлен влево, т. е. стержень притягивается к катушке с током, ° 7АО. Небольшой шарик объемом У иэ парамагнетика с магнитной восприимчивостью х переместили вдоль оси катушки с током иэ точки, где магнитная индукция равна В, в область, где поле практически отсутствует.
Какую при этом совершили рибату против магнитных сил? Р е ш е н и е. Направим ось Х вдоль оси катушки. Тогда элементарная работа против магнитных снл при перемещении шарика на бх будет иметь вид дВ„ бА = — Е„ах = — р —" йх, (!) дп где Р, — проекция на ось Х магнитной силы (6.34), а знак минус означает, что работа производится против атой силы.
Пусть вектор В на оси направлен в сторону положительных х, тогда В„= В и дп = дх (в противном случае В„= — В, дп = — дх, т. е. производная дВ„?дп не зависит от того, куда направлен вектор В) . Учитывая, что р„= 7У = ХНУ, перепишем уравнение (1) в виде дВ ху бл = — хНУ вЂ” дх = — — В дВ. дх ива Проинтегрировав зто выражение от В до О, получим а А= — — ~ ~Вдд= хр г Иио 2ииа 187 Глава 8 ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ й В.).
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ЗАРЯДА До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное полн раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя. Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться вместе как одно полное электромагнитное поле.
Другими словами, оказывается, что электрическое и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным пол с м. Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относительный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе. Приведем некоторые примеры.
Зарял движется в инерциальной К-системе отсчета с постоянной скоростью т. В этой системе отсчета мы будем наблюдать как электрическое, так и магнитное поля данного заряда, причем оба поля переменные во нремсни. Если же перейти в инерциальную Ксснстему, перемешаюшуюся вместе с зарядом, то в ней заряд покоится и мы будем наблюдать только электрическое поле. Два одинаковых заряда движутся в К-системе отсчета навстречу друг другу с одинаковой скоростью о. В этой системе отсчета мы будем наблюдать и электрическое, н магнитное поля, оба переменные. Найти такую К'-систему, тле наблюдалось бы ~илько одно из полей, в данном случае нельзя. В К-системе о~сче~а существует постоянное неоднородное магнит.
ное поле (например, поле неподвижного постоянного магнита). Тогда в К'-системе, движущейся относительно К-системы, мы будем наблюдать переменное магнитное поле, и как увидим далее, электрическое поле. Таким образом, становится ясным, что соотношения между электрическим и магнитным полями оказываются разными в различных системах отсчета. Прежде чем обратиться к основному содержанию этой главы — законам преобразования полей прн переходе от одной системы отсчета к другой, выясним следующий важный для дальнейшего вопрос: как ведут себя при таких переходах сам электрический заряд д н теорема Гаусса для вектора Е.
Инвариантность заряда. В настоящее время имеются исчерпывающие доказательства того, что полный заряд изолированной системы не меняется при изменении движения носителей заряда. В качестве доказательства можно сослаться на нейтральность газа, состоящего из молекул водорода. В этих молекулах электроны движутся со значительно большими скоростями, нежели протоны. Поэтому если бы заряд зависел от скорости, то заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы — газ оказался бы заряженным. Наблюдения же никакого заряда не обнаружили (с точностью до 10 "! ) .
Или, например, нагрев куска вещества. Поскольку масса электрона значительно меньше массы ядер, скорость электронов при нагреве должна увеличиваться больше, чем у ядер. И если бы заряд зависел от скорости, то при нагреве вещество становилось бы заряженным. Е!нчего подобного никогда не наблюдалось. Далее, если бы заряд электрона зависел от скорости, то в ходе химических реакций суммарный заряд вещества изменялся бы, поскольку средние скорости электронов в веществе зависят от его химического состава. Расчет показывает, что даже небольшая зависимость заряда от скорости приводила бы даже в простейших химических реакциях к огромным электрическим полям. Но и здесь ничего похожего не наблюдалось. И наконец, расчет и работа всех современных ускорителей заряженных частиц основаны на предположении, что заряд частиц не меняется при изменении нх скорости.
Итак, мы приходим к выводу, что заряд любой частицы — релятивистски инвариантная величина, не зависящая от скорости частицы, от выбора системы отсчета. Инваривнтность теоремы Гаусса для поля Е. Оказывается — это следует как обобщение экспериментальных фактов,— что теорема Гаусса ~) Е бЬ = д/е„справедлива не только для покоящихся зарядов, но и для движущихся. При этом поверхностный интеграл должен быть вычислен 189 для одного и того же моменга времени в данной системе отсчета. Кроме того, поскольку различные инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу (согласно принципу относительности), мы можем утверждать, что теорема Гаусса справедлива во всех инерциальных системах отсчета. э 8.2. ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛЕЙ Е и В При переходе от одной системы отсчета к другой поля Е н В определенным образом преобразуются.
Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории относительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспроизводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов. Постановка вопроса. Пусть имеются две инерцнальные системы отсчета: К-система и движущаяся относительно нее со скоростью ч0 система К'.
В некоторой пространственно-временной точке К-системы отсчета известны значения полей Е и В. Какими будут значения полей Е' и В' в той же самой пространственно-временной точке в К'-системе отсчета? Напомним, что одной и той же пространственно- временной точкой называют такую, координаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями Лоренца*.
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами: (8.1) Здесь символами ~~ и 1 отмечены п р о д о л ь н ы е и п о п е р е ч н ы е (по отношению к вектору ч,) составляющие электрического и магнитного полей, р = и,/с, с— скорость света в вакууме (с' = ) /е,н,). х — ч 1 а 190 Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид: (8.21 где предполагается, что оси координат Х и Х' направлены вдоль венгора и,, ось у' параллельна оси у, ось 7' — оси у. Из уравнений (8.1) и (8.2) видно, что каждый из векторов Е' и В' выражается как через Е, так и через В.
Это свидетельствует о е д и н о й природе электрического и магнитного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются. Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его преобразования, являются локалаиымит значения Е' и В' в некоторой пространственно- временной точке К'-системы отсчета однозначно определяются только через значения Е и В в той же пространственно-временной точке К-системы отсчета. Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразования полей: 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
