И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 35
Текст из файла (страница 35)
4 8.4. ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Поскольку векторы Е и В, характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета (в той же самой пространствснно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т. е. не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля. Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой комбинации векторов Е и В, это (8.9) Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей (8.! ) или (8.2).
Более подробно этот вопрос рассмотрен в задаче 8.9. Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания. Приведем наиболее важные нз них. 1. Из инвариантнасти ЕВ сразу следует, чта в случае, когда в какай-либо системе отсчета Е ) В, т. е, ЕВ = О, та и ва всех других инерциальиых системах отсчета Е'! В'. 2. Из инвариантнасти Š— с В следует, чта в случае, когда 2 2 2 Е= сВ (т. е.
Š— с В = О), та и в любой другой инерциальнай 2 2 э системе отсчета Е' = сВ'. 3. Если в какой-либо системе отсчета угол между векторами Е и В острый (или тупой), — эта значит, чта ЕВ больше (либо меньше) нуля,— то угол между векторами Е' и В' также будет острым (или тупым) ва всякой другой системе отсчета. 4. Если в какой-либо системе отсчета Е'= сВ (нли Е(сВ)— эта значит, чта Š— с В больше (либо меньше) нуля,— та в 2 2 2 любой другой системе отсчета будет также Е' сВ' (или Е' < сВ'), 5.
Если оба ннварианта равны нулю, то ва всех системах отсчета Е.! В и Е = сВ. Именно эта и наблюдается, как мы увидим, в электромагнитной волне. 6. Если равен нулю только инвариант ЕВ, та можно найти такую систему отсчета, в которой или Е' = О, или В' = 0; какое именна, определяется знаком другага ни варианта. Справедливо и обратное утверждение: если в какой-либо системе отсчета Е = 0 или В = О, та ва всякой другой системе отсчета Е' .1 В'.
(Этот вывод был уже в $8.3.) 197 И последнее. Нужно помнить, что поля Е и В, вообпте говоря, зависят и от координат, и от времени, Поэтому каждый из инвариантов (8.9) относится к одной и той же пространственно-временной точке поля, координаты и время которой в разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца. Задачи ° 8.1. Частный случай преобразования полей.
Нерелятивиггский гочечньш' заряд д движсгсн с постоянной скоростью ч. Найти с помощью формул преобразования полей магнитное поле В этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется радиус-вектором г. Р е ш е н и е. Перейдем в К'-систему отсчета, связанную с зарядом. В этой системе имеется только кулоновское поле напряженностью д и' = — — „г, 4пг„г" где учтено, что в К'-системе радиус-вектор г' = г (нерелятивистский случай). Теперь перейдем обратно, из К'-системы в К- систему, ко~прая движется относительно К'-системы со скоростью — ч.
Для этого воспользуемся формулой для поля В из (8.4), в которой роль штриховаиных величин будут играть нештрихованные (и наоборот), а скорость чь надо заменить на — чь (рис. 84). В нашем случае чь = ч, поэтому В = В'+ (чЕ(/с~, Учитывая, что в Кссистеме В' = О и что с = 1Г'еьрь, находим г Нь д(чг( В = — —. 4п Мы получили формулу (8.3), которая ранее была постулиро вана как результат обобщегшя опытных фак~ов.
° 8.2. Большая пластинка из однородного диэлектрика с' пронииаемосгью е движется с постоянной нерглягивистской скоростью ч в однородно,ч магнитно,и поле В, как показано на рис, 8 5. Найти поляризованносгь Р диэлектрика и поверхностную плотность и' связанных зарядов. Рис.
8.5 Рис. 8.4 198 Р е ш е н и е. В системе отсчета, связанной с пластинкой, будет наблюдаться кроме магнитного поля и электрическое, обозначим его Ее. Согласно формулам преобразования полей (8.4) Ее = (ъ В]. Поляризованность диэлектрика е — ! Р=ке Е'=е (чВ), е 0 где учтено, что внутри диэлектрика согласно (3.29) Е' = Ее /е.
Поверхностная плотность связанных зарядов е — ! )о') = Р = е — оВ, е причем на той поверхности пластинки, которая обращена к нам (рис. 8.5), о' ) О, на противоположнои о' (О. ° 8.3. Имеется незаряженный длинный прямой провод с током Е Найти заряд на единицу длинье этого пропода в систелш отсчета, движущейся поступательно с нерелятиоистской скоростью ое вдоль проеодника в направлении тока Е Р е ш е н и е. В движущейся системе отсчета согласно формулам преобразования (8.4) появится электрическое поле Е' = =[ в,В),или Е.
= — ионе//2яг. Здесь выражение для В получено с помощью теоремы о циркуляции, С другой стороны, по теореме Гаусса (в движущейся системе отсчета) Е, = Л'/2пвег, (2) где Л' — заряд на единицу длины провода. Из сравнения (!) и (2) находим Л' = — ое!/с, е где с = 1/сера. Происхождение этого заряда связано с различным лоренцевым сокращением, которое испытывают «цепочки» положительных и отрицательных зарядов (ведь нх скорости разные!) .
° 8.4. В К-системе отсчета имеется узкий пучок протонов, движущихся с релятивистской скоростью о. На некотором расстоянии от пучка напряженность электрического поля равна Е. Найти индукцию В' магнитного поля на том же расстоянии от пучка в К'-системе отсчета, перемещающейся со скоростью оь относительно К-системы в направлении движения протонов. Решение. Этот вопрос проще всего решить с помощью 199 формул (8.1).
Но предварительно надо найти индукцию В в К-системе на том же расстоянии от пучка, где задана напряженность Е. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В и теоремой Гаусса для вектора Е, найдем: В = ро1/2яг, Е = А/2пеег, где г — расстояние от пучка, 1 = Хо — сила тока, й — заряд на единицу длины пучка. Из этих формул следует, что В/Е = е,ие1/!. = о/ст, здесь с = 1/сере. Подставив выражение для В из этого ураа- 2 кения в последнюю нз формул преобразования (8.1), получим: Е )с — о,( В'= При атом, если оз(о, то линии вектора В' имеют правовинтовое направление с вектором и,, если же о, ~ о, то — левовинтовое (ибо ток 1' в К'-системе в этом случае будет течь в обратную сторону). ° 8.5. Релятивистская заряженная частица движется в пространстве, где имеются однородные взаимно перпендикулярные электрическое и маенигное поля Е и В.
г/астана движется прямолинейно по направлению, перпендикулярному векторам Е и В. Найти Е' и В' в системе отсчета, перемещающейся поступательно вместе с частицеи. Р е ш е н и е. Из характера движения частицы следует, что ее скорость должна удовлетворять условию 'оВ = Е. (1) Согласно формулам преобразования (8.1) Е+ (чВ) Е'= =О, ибо в нашем случае сила Лоренца, а значит, н величина Е + (чВ) равны нулю. Для магнитного поля согласно тем же формулам преобразования  — ( чЕ) /с' Расположение векторов показано на рис.
8.6, откуда видно, что (чЕ) тт В. Поэтому с учетом того, что согласно (1) о = Е/В, можно записать  — Е'/Вс' В (1 — Рт) ~) 1:р* чП:й' ' нли в векторном виде В' = В ~ ~ -~Е! В) . Полезно убедиться, что полученные выражения удовлетворяют обоим инвариантам поля. ° 8.6. Движение заряда в скрещенных Е и В полях. Нерелятивистская частица с удельным зарядом д/пт движется и области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные Е и В поля (рис. 8 7). В момент Г = О частица находилась в точке 0 и имела нулевую скорость, Найти закон движения частицьь х(7) и у(7).
Р е ш е н и е. Движение частицы происходит под действием силы Лоренца, причем, как нетрудно сообразить, все время в плоскости ХУ. Проще всего ее движение будет выглядеть в такой К'-системе отсчета, где будет наблюдаться только магнитное поле. Найдем зту систему отсчета. Из преобразований (8.4) следует, что Е' = О в такой системе отсчета, которая движется со скоростью чь, удовлетворяющей соотношению Е = — [ ч,В[.
Лучше всего взять ту К'-систему, ~У' т Езу а х' Рис. 8.8 Рнс. 8.6 Рис. 8.7 скорость чр которой направлена в положительную сторону оси Х (рис. 8.7), ибо в такой системе отсчета частица будет двигаться перпендикулярно вектору В' и ее движение будет наиболее простым. Итак, в К'-системе отсчета, которая движется вправо со скоростью оь = Е/В, поле Е' = О и будет наблюдаться только поле В .
Согласно (8.4) и рис. 8.7 В = В [ чьЕ[/с = В(1 — оьв/с ) Для нерелятивистской частицы оь <( с, и можно считать, что В'= В. В данной К'-системе отсчета частица будет двигаться только в магнитном поле, причем перпендикулярно его направлению. Уравнение движения частицы в этой системе отсчета будет иметь вид шоо/)с = Чоюд. Это уравнение записано для момента 1 = О, когда в К'-системе частица двигалась, как показано на рнс. 8.8. Так как сила Лоренца Г направлена всегда перпендикулярно скорости частицы, то ос = сопз1 и из (!) следует, что частица в К'-системе будет двигаться по окружности радиусом )7 = шоо/чВ. Таким образом, частица движстси равномерно со скоростью оь по окружности в К'-системе, которая, в свою очередь, перемещается равномерно вправо также со скоростью ое = Е/В.
Так ведет себя точка у на ободе колеса (рис. 8.9), катящегося с угловой скоростью ы = о ь/К = дВ/тп. Из рнс. 8.9 сразу видно, что координаты частицы о в момент ! есть х= оь1 — К гйп м1 = а(ыг — з(п ы1), у = й — й соз Ы = а (! — соз ы1), где а = тпЕ/уВ, ы = уВ/гп. ° 8.7. В инерциаяьной К-системе отсчета имеется только однородное электрическое поле Е. Найти модули и направления векторов Е' и В' в К'-системе отсчета, движущейся по отношению к К-системе с' постояннои релятивистской скоростью чь под углом а к вектору Е. Р . 8.9 Рис.
8.!О Р е ш е н и е. Согласно формулам преобразования (8.!) с учетом того, что в К-системе В = О, получим Е~~ —— Есоз а, Ея = Ез!п а/4 — Рт, () = оь/с. Отсюда найдем модуль вектора Е'. е' /е', .те е ( а»гол а' между векторами Е' и чь по формуле Аналогичным образом найдем модуль и направление вектора В!! — — О, В» = — [чьЕ]/(с Й! — (! ), В'= В~». Это значит, что вектор В' ! ч ь и его модуль В' = о ьЕ з! и а/( с ~ 'ч' ! — )! ~/. ° 8.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
