И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле. Открытие этого явления — наиболее существенный и решающий шаг, сделанный Максвеллом при построении теории электромагнитного поля. Это открытие вполне аналогично открытию электромагнитной индукции, согласно которому переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле. Следует также отметить, что открытие Максвеллом тока смещения — чисто теоретическое открытие, причем первостепенной важности. Рассмотрим пример, в котором проявляют себя токи смещения.
Пример. В неограниченной однор родной проводящей среде находится металлический шар, которому соl г 1 общем положительный электрический ! т заряд (рнс. 10.2) . Электрические токи, текущие в радиальных направлениях, должны возбуждать магнитное поле. Выясним, куда направлен вектор В в произвольной точке Р. Прежде всего ясно, что вектор В не может иметь радиальной составляющей. Если бы это было не твк, поРнс. !0.2 ток вектора В через поверхность сферы 5 (рис. 10.2) был бы отличен от нуля, что противоречит уравнению (7 2). Значит, вектор В должен быть перпендикулярен радиальному направлению в точке Р.
Но это также невозможно, так как все направления, перпендикулярные радиальному, совершенно равноправны, оии ничем не выделены. Остается единственное— магнитное поле всюду равно нулю. Отсутствие магнитного полн при наличии электрического тока плотностью !означает, что кроме тока проводимости 1 в системе имеетсЯ н ток смещениЯ )оо пРичем такой, что полный ток всюду равен нулю, т.
е. в каждой точке ),„= — 1. Или ! Ч д11 1„=! = 4пт" 4пт' д! ' где принято во внимание, что 1) = д/4пт согласно теореме Гаусса. $ !02. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Уравнения Максвелла в интегральной форме. С введением тока смещения макроскопнческая теория электромагнитного поля была блестяще завершена. Открытие тока смещения (д0тгд() позволило Максвеллу создать е д ин у ю теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричества и магнетизма (причем с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии, До сих пор мы рассматривали отдельные части этой теории. Теперь можно представить всю картину в виде системы фундаментальных уравнений электродинамики, называемых ура в не н и я м и Ма кс в елл а в неподвижных средах.
Этих уравнений четыре (мы уже познакомились с каждым из них в отдельности в предшествующих разделах, а сейчас просто соберем их все вместе). 94х В интегральной форме система уравнений Максвелла имеет следующий вид: (1о.1о) (1ол1) где р — объемная плотность сторонних зарядов,) — плотность тока проводимости. Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле.
Содержание этих уравнений заключается в следующем: 1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом под Е понимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатическое (циркуляция последнего, как известно, равна нулю). 2. Поток вектора 0 сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью. 3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.
4. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю. Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов Е и Н следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые; изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого.
Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей, описывающая единое электромагнитное поле. Если же поля стационарны (Е = сонэ( и В = сопз1), то уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений: (10.12) В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга, что и позволило нам изучить сначала постоянное электрическое поле, а затем независимо от него и постоянное магнитное поле. Необходимо подчеркнуть, что рассуждения, с помощью которых мы пришли к уравнениям Максвелла, ни в коей 245 мере не могут претендовать на их доказательство. Этн уравнения нельзя «вывести», они являются основными аксиомами, постулатами электродинамики, полученными путем обобщения опытных фактов.
Эти постулаты играют в электродинамике такую же роль, как законы Ньютона в классической механике или начала термодинамики. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Уравнения (10.10) и (1О.!1) можно представить в дифференциальной форме, т. е. в виде системы дифференциальных уравнений, а именно: (!олз) (10Л 4) Уравнения (10.13) говорят о том, что электрическое поле может возникнуть по двум причинам. Во-первых, его источником являются электрические заряды, как сторонние, так н связанные (это следует из уравнения Ху ° О=р, если учесть, что 0= е„Е+ Р и т7 Р = — р', тогда ху Еоь со (р+ р'). Во-вторых, поле Е образуется всегда, когда меняется во времени магнитное поле (выражение закона электромагнитной индукции Фарадея). Уравнения же (10.14) говорят о том, что магнитное по. ле В может возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями, либо тем н другим одновременно (это следует из уравнения с7Х Н =1+ д0/д1, если учесть, что Н= В/р,—.) и !/Х 3 = 1', тогда х7Х Всз)+ + )' + др/д(+ е4дЕ/д1, где 1' — плотность тока намагничивания; дР/д1 — плотность т о к а п о л я р и з а ц и и.
Первые три тока связаны с движением зарядов, последний ток — с изменяющимся во времени полем Е). Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим зарядам (по аналогии их называют магнитными зарядами), в природе не существует, это следует из уравнения С7 ° В = = О. Значение уравнений Максвелла в дифференциальной форме не только в том, что онн выражают основные законы электромагнитного поля, но и в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля Е и В. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме совместно с уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца др/Ж = дЕ + а (гВ) (10.! 51 246 составляют фундаментальную систему уравнений, Эта система в принципе достаточна для описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые эффекты, Граничные условия.
Уравнения Максвелла в интегральной форме обладают большей общностью, чем дифференциальные, ибо они справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва — поверхности, на которых свойства среды илн полей меняются скачкообразно. Уравнения же Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Можно, однако, достигнуть такой же общности и для дифференциальной формы уравнений, если дополнить их граничными угловилжи, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред.
Эти условия содержатся в интегральной форме уравнений Максвелла и имеют уже знакомый нам вид: 77ы = В,„, В„= Е.„, Вы = Вм, Н„= Нт, (10.16) (здесь первое и последнее условия относятся к случаям, когда на границе раздела нет ни сторонних зарядов, ни токов проводимости). Заметим также, что приведенные граничные условия справедливы как для постоянных, так и для переменных полей. Материальные уравнения.
Фундаментальные уравнения Максвелла еще не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называют материальными уравнениями.
Вообще говоря, эти уравнения достаточно сложны и не обладают той общностью и фундаментальностью, которые свойственны уравнениям Максвелла. Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид (он нам уже знаком): 0= ввсЕ В= Прон 1= о(Е+ Е*), 110,17) где в, р, а — известные нам постоянные, характеризующие 247 электрические и магнитные свойства среды (диэлектрическая и магнитная проницаемости и электропроводимость), Е* — напряженность поля сторонних сил, обусловленная химическими или тепловыми процессами.
$ СВ,З. СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов р и токов !. Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом супер- позиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей. Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда. Чтобы убедиться в этом, возьмем бесконечно малый контур Г, натянем на нето произвольную конечную поверхность 5 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
