Васюков В.Н. - Введение в ТЭС (1275345), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Символы, которым соответствуют разные гипотезы, могут иметь разные вероятности появления в сообщении. Поэтому каждая ( -я) гипотеза характеризуется некоторой вероятностью осуществления, которая называется априорной вероятностью. Итак, суммируя, можно ввести усреднённую характеристику (критерий) качества принятия решения, называемую средним риском

.

Средний риск представляет собой математическое ожидание потерь, связанных с принятием решения.

Если априорные вероятности гипотез точно известны, а потери назначены обоснованно, то приёмник, обеспечивающий наименьший средний риск будет наиболее выгодным. Критерий минимума среднего риска называют также критерием Байеса.

Иногда потери, связанные с различными ошибками, принимают равными друг другу , , , тогда оптимальный байесовский приёмник обеспечивает минимальную среднюю вероятность ошибки (критерий идеального наблюдателя)

и называется идеальным приемником Котельникова.

Если также принять равными априорные вероятности гипотез , , то критерий Байеса сводится к критерию минимума суммарной условной вероятности ошибки

.

Проблема синтеза оптимального демодулятора состоит в нахождении границ областей, разбивающих пространство наблюдений наилучшим образом в соответствии с выбранным критерием качества. Ниже эта задача рассматривается для простейшего случая двух простых гипотез, что соответствует АТ-системе связи с пассивной паузой.

1. Бинарная задача проверки простых гипотез

Наиболее просто задача построения оптимального демодулятора (приёмника) решается для случая амплитудной телеграфии с пассивной паузой, что соответствует принятию решения о том, что передавался символ «0» (сигнала нет) или символ «1» (сигнал есть). Таким образом, решается задача обнаружения сигнала в наблюдаемом колебании. Далее предполагается, что помеха в канале представляет собой гауссовский шум с нулевым средним и известной дисперсией, который взаимодействует с сигналом аддитивно (суммируется). Результатом обработки наблюдаемого колебания является случайная величина , которая может иметь различное распределение в зависимости от того, есть ли сигнал в наблюдаемом колебании, а именно: распределение при гипотезе – «сигнала нет» – является гауссовским с нулевым средним, а распределение при гипотезе – «сигнал есть» – отличается сдвигом на величину , зависящую от способа обработки (например, если обработка сводится к взятию отсчета в момент, когда несущее колебание достигает максимума, величина представляет собой его амплитуду). Значение предполагается известным. Таким образом, проверяемые гипотезы описываются двумя условными плотностями распределения вероятности и , изображенными на рис. 6.

В данной постановке демодулятор (приёмник) может принимать решение, основываясь только на наблюдаемом значении : очевидно, чем больше наблюдаемое значение, тем с большей уверенностью можно утверждать, что сигнал в принятом колебании есть. Разумный алгоритм принятия решения в таком случае должен сравнить с некоторым фиксированным значением (порогом) и если больше порога, принять решение о наличии сигнала, в противном случае – о его отсутствии, что можно кратко записать в следующей символической форме:

.

Каким бы ни был порог , очевидно, есть некоторая ненулевая вероятность принять решение о наличии сигнала при его фактическом отсутствии. Эта вероятность называется условной вероятностью ошибки первого рода («ложной тревоги») и определяется выражением

.

Аналогично, существует ненулевая вероятность принять решение об отсутствии сигнала, в то время как на самом деле он есть (условная вероятность ошибки второго рода, или пропуска сигнала)

.

Анализ рисунка показывает, что сумма указанных условных вероятностей минимальна, если порог находится, как абсцисса точки пересечения условных плотностей и . Очевидно, при таком выборе порога приёмник является оптимальным по критерию минимума суммарной условной вероятности ошибки и принятие решения основывается на сравнении значений функций и при наблюдаемом значении :

;

.

Это правило принятия решения можно переписать также в форме

; .

Решение, таким образом, принимается в пользу той гипотезы, которая представляется более правдоподобной при данном значении , поэтому отношение называется отношением правдоподобия и обозначается . Правило называют правилом максимального правдоподобия.

Критерий идеального наблюдателя предполагает учёт априорных вероятностей гипотез, и оптимальный в смысле этого критерия приёмник обеспечивает минимум средней вероятности ошибки, то есть наименьшую сумму безусловных вероятностей ошибок первого и второго рода. Иначе говоря, сравнению подлежат функции и , умноженные на соответствующие априорные вероятности. Правило принятия решения в таком приёмнике можно записать в форме

; .

Используя понятие отношения правдоподобия, можно записать правило в виде

, ,

при этом отношение правдоподобия сравнивается с пороговым значением, зависящим от априорных вероятностей.

Наконец, в случае байесовского критерия решение принимается по правилу

; ,

или

, ,

Итак, во всех случаях оптимальный приёмник (демодулятор, или решающее устройство) «устроен одинаково»: для наблюдаемого значения , зависящего от принятой реализации , вычисляется значение отношения правдоподобия, которое сравнивается с порогом; порог равен для приемника, оптимального в смысле критерия минимума среднего риска, для идеального приёмника Котельникова и 1 для приёмника максимального правдоподобия.

1. Приём полностью известного сигнала (когерентный
   приём)

Рассмотрим принятие решения в системе связи при следующих условиях: синхронизация является точной и форма сигнала на интервале наблюдения точно известна, неизвестен лишь сам факт наличия либо отсутствия сигнала в наблюдаемом колебании. (Эта ситуация наиболее близка к реальности в кабельных линиях связи, где условия распространения сигналов известны и практически неизменны.)

Будем считать, что на интервале наблюдения независимо от сигнала присутствует гауссовский шум с нулевым средним и спектральной плотностью мощности , постоянной в некоторой полосе частот («квазибелый» шум). Полагая, что длительность интервала наблюдения равна , возьмем отсчетов наблюдаемого колебания с шагом , при этом отсчеты шума являются некоррелированными вследствие того, что корреляционная функция квазибелого шума (вида “ ”) пересекает ось абсцисс при значениях времени, кратных . Поэтому совместная плотность распределения вероятности взятых отсчетов (выборочных значений) равна в отсутствие сигнала

,

где . Напомним, что для гауссовских случайных величин некоррелированность влечёт независимость.

Если сигнал присутствует и принимает в моменты взятия отсчетов значения , то совместная плотность распределения вероятности выборочных значений

.

Отношение правдоподобия

.

Подставляя , получим

.

Устремляя к нулю ( ), запишем логарифм отношения правдоподобия

.

Поскольку логарифм является монотонной функцией, правило обнаружения сигнала известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимального правдоподобия, основано на сравнении с нулевым порогом величины

,

где – энергия сигнала. Поскольку энергия сигнала известна, то при обнаружении можно сравнивать значение корреляционного интеграла (случайное в силу случайности реализации ) с порогом, равным .

Правило различения сигналов известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимального правдоподобия, основано на сравнении между собой величин , . Решение принимается в пользу того сигнала, для которого эта величина максимальна. Структура оптимального приемника для различения сигналов показана на рис. 7.

Первое слагаемое в выражении называется корреляционным интегралом, так как совпадает по форме с выражением взаимно-корреляционной функции сигнала и наблюдаемого процесса при нулевом сдвиге. Устройство выбора максимума УВМ вырабатывает на выходе номер канала, в котором величина максимальна. Приёмник упрощается, когда энергии всех сигналов равны.

Пример 10. В проводных системах связи с амплитудной телеграфией могут применяться посылки в форме прямоугольного видеоимпульса. Предположим, что сигнал, соответствующий символу “1”, представляет собой прямоугольный видеоимпульс с амплитудой и длительностью . Тогда корреляционный интеграл имеет вид

,

а порог равен , тогда решающее правило имеет вид

Характеристики

Список файлов книги